Klausuraufgaben: Mengen skizzieren + Berechnungen

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Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »
Klausuraufgaben: Mengen skizzieren + Berechnungen
Hallo,

Ich hab hier ein paar Klausuraufgaben vom letzten Jahr mitgebracht und brauche Hilfe. Mein Problem ist, dass ich mir Mengen allgemein schlecht vorstellen kann bzw. vom Skizzieren keine Ahnung hab.

[attach]39056[/attach]

Nehmen wir erstmal die erste.

Meine Ideen hierzu sind, dass immer gleich 2 sein muss, da sonst ja die Bedingung in der Mengenbeschreibung nicht erfüllt ist. Weiterhin können und niemals negativ werden.

Nach meinen Überlegungen ist , wenn und , analog bei .

Also müssten -1 und 1 für beide Variablen doch die jeweiligen Schranken der Menge sein oder? Da ich ja nicht größer werden darf, weil sonst immer gleich 2 nicht mehr erfüllt ist. Ob das alles so richtig ist, da habe ich aber keine Ahnung.

Ich mache sowas mit Ausnahme von einer Aufgabe (da ging es um eine Menge zwischen Sinus und Cosinus - das kann ich mir dann schon vorstellen) zum ersten Mal.

Ich freue mich über jeden Tipp.
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Meine Ideen hierzu sind, dass immer gleich 2 sein muss


Das ist nicht ganz richtig, da hast du wohl falsch umgeformt.

Es handelt sich bei den beiden Punktmengen übrigens um sehr klassische und oft benutzte Figuren (ich verrate jetzt natürlich noch nicht welche), die dir oft begegnen werden und eigentlich einen recht hohen Wiedererkennungswert haben. Von daher merke dir im Anschluss unbedingt, woran man diese Art von Figur direkt erkennen kann.

Ein erstes Herantasten, könnte über das Einzeichnen von passenden Punkten (x|y) (welche die Gleichung erfüllen) in ein entsprechendes 2D-Koordinatensystem laufen.
 
 
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Um ehrlich zu sein, habe ich da gar nix umgeformt. Das war einfach durch "Gleichung angucken". Was muss ich denn wie umformen?
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

g(x,y)=0 bedeutet ja 2-x²-y²=0 und in dieser Gleichung könnte man z.B. dafür sorgen, dass die Variablen auf einer Seite stehen und die Zahl auf der anderen Seite.
Das könnte dich dann evtl. an den Herrn Pythagoras erinnern.

Im Notfall kannst du die Gleichung auch nach y auflösen und mit einer kleinen Wertetabelle entsprechende Punkte in ein Koordinatensystem zeichnen und verbinden.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst, wenn ich dann

habe, ist das wie ?

Also dann oder wie? Gut, das hab ich vorher nicht gesehen. Aber was bringt mir das denn jetzt? verwirrt

Auf jeden Fall aber schonmal danke für deine Hilfe!
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

AHA, die linke Seite der Gleichung ist der Betrag eines Vektors, hab ich recht? Also ist die Menge ein Kreis mit Mittelpunkt im Ursprung und dem Radius Wurzel 2? verwirrt verwirrt
Bjoern1982 Auf diesen Beitrag antworten »

Na das war ja wohl mal eine echte Erleuchtung. Idee!
Sehr gut, das ist vollkommen richtig. Freude

Ich bin jetzt erstmal bis abends nicht da.
Wenn es noch weitere Fragen gibt, kann gerne ein anderer Mitleser übernehmen.
Ansonsten schaue ich heute Abend nochmal rein.

Bis dahin mache dir vielleicht noch klar, um welchen Teil des Kreises es genau geht, falls











Diesen Gedankengang brauchst du nämlich dann noch für Aufgabe 4).

Viel Erfolg weiterhin und bis später. Wink
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das verstehe ich jetzt leider nicht mehr. Warum sollte sich der Kreis ändern?

Weil ich ja nun so umgestellt und "gewurzelt" habe, ist das ja fest, also geht es ja nur um oder nicht? Weil ich habe da ja schon mit eingebaut.

Dank für deine Hilfe bis hier her
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
also geht es ja nur um oder nicht?

Im Moment ja, aber wie Bjoern1982 schon sagte, kommen in Aufgabe 4 weitere Gedankengänge hinzu. Behalte einfach nur im Auge, daß x² + y² immer gleich dem Quadrat des Abstandes des Punktes (x,y) vom Ursprung ist. smile
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke, diese Aussage habe ich nun verstanden und behalte die auch im Hinterkopf smile

Ich zeichne nun also einen Kreis mit Radius Wurzel2 (ich denke ich kann einfach einen Strich ziehen und Wurzel2 dran schreiben oder?) um den Ursprung eines Koordinatensystemes mit x und y und habe die Menge skizziert richtig? Somit also ein Teil der Aufgabe gelöst smile

Wenn ich nun begründen muss, warum die Funktion auf dieser Menge ein Minimum und Maximum annimmt, kann ich da so argumentieren, dass der Kreis ja auch einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt hat? HP wäre ja bei Wurzel2 und der TP bei -Wurzel2 auf der y-Achse, die Nullstellen analog auf der x-Achse.

Denke ich so richtig?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Ich zeichne nun also einen Kreis mit Radius Wurzel2 (ich denke ich kann einfach einen Strich ziehen und Wurzel2 dran schreiben oder?) um den Ursprung eines Koordinatensystemes mit x und y und habe die Menge skizziert richtig?

Sofern der Strich halbwegs die Form eines Kreises hat, bin ich einverstanden. smile

Zitat:
Original von Seppelkoi
Wenn ich nun begründen muss, warum die Funktion auf dieser Menge ein Minimum und Maximum annimmt, kann ich da so argumentieren, dass der Kreis ja auch einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt hat? HP wäre ja bei Wurzel2 und der TP bei -Wurzel2 auf der y-Achse, die Nullstellen analog auf der x-Achse.

Denke ich so richtig?

Eher nicht. Mir leuchtet auch nicht ein, wieso eine Menge einen Hochpunkt bzw. einen Tiefpunkt haben soll. Eher geht es hier um andere Begriffe wie "Kompaktheit", falls du diesen schon mal gesehen haben solltest.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mal auf dem Matheboard ein wenig gesucht und festgestellt:

Eine Menge ist genau dann Kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Dies ist meiner Meinung nach bei meinem Kreis mit Raduis Wurzel2 gegeben smile Wie hilft mir das nun weiter? Ich gehe mal davon aus, du wolltest mir damit sagen, dass eine Funktion auf einer kompakten Menge immer ein HP und TP annimt smile

Mein Problem ist, ich verstehe immer noch nicht so ganz, was es bedeutet, dass "AUF" der Menge etwas annimmt. Wie ist das zu verstehen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Ich gehe mal davon aus, du wolltest mir damit sagen, dass eine Funktion auf einer kompakten Menge immer ein HP und TP annimt smile

Genau.

Zitat:
Original von Seppelkoi
Mein Problem ist, ich verstehe immer noch nicht so ganz, was es bedeutet, dass "AUF" der Menge etwas annimmt. Wie ist das zu verstehen?

Von der Funktion f werden ja nicht alle Bilder (Funktionswerte) betrachtet, sondern nur diese, bei denen die Urbilder aus einer bestimmten Menge M stammen. Es wird also die Funktion f eingeschränkt auf einer Menge M betrachtet.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, für die Berechnung des HP und TP betrachte ich auf dem abgeschlossenen Intervall von 0 bis ? Da ja meine Schranke der Menge ist und kein Element der Menge außerhalb des Kreises liegen kann, da Kompakt.

Oder muss ich viel mehr meine Kreisformel als kritischen Punkt ansehen?

Sorry, bin noch nicht so vertraut mit dem Thema
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Das heißt, für die Berechnung des HP und TP betrachte ich auf dem abgeschlossenen Intervall von 0 bis ?

Nein, du betrachtest auf der Menge M. Und die Menge M ist in diesem Fall (das sollte inzwischen hinlänglich bekannt sein) die Kreislinie mit Radius um den Ursprung.

Zitat:
Original von Seppelkoi
Sorry, bin noch nicht so vertraut mit dem Thema

Hier findest du eine gängige Methode, wie man Optimierungsaufgaben im Mehrdimensionalen lösen kann:
https://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, dass heißt ich muss die Funktion wie mit Nebenbedingung rechnen, das habe ich schonmal gemacht smile

Ich habe mittlerweile noch gelernt, dass nur STETIGE Funktionen auf kompakten Mengen einen HP und TP annehmen. Das ging irgendwie in unserer Konversation unter, könnte aber evtl. irgendwann mal wichtig sein smile

Weiterhin habe ich mich mit der Aufgabe von Bjoern befasst:

a) ist nur die Linie des Kreises

b) ist alles innerhalb des Kreises, aber ohne die Linie

c) ist alles innerhalb des Kreises UND die Linie

(Frage zu b) und c), in diesem Fall wäre nur c) eine kompakte Menge, oder?)

d) alles außerhalb des Kreises ohne die Linie

e) alles außerhalb des Kreises UND die Kreislinie

Ist das so richtig? smile
Meine Rechnung folgt dann gleich
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Ist das so richtig? smile

Ja.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab meine Rechnung bis jetzt mal abfotografiert. Das geht einfacher für mich als Latex.

[attach]39057[/attach]


Soweit ich das verstanden habe, liefert mir der Lagrange Multiplikator meine kritischen Punkte. Deswegen habe ich hier versucht nach Lambda aufzulösen.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Soweit ich das verstanden habe, liefert mir der Lagrange Multiplikator meine kritischen Punkte.

Nun ja, der Lagrange Multiplikator hilft bei der Suche nach den kritischen Punkten unter Beachtung der Nebenbedingung.

Zitat:
Original von Seppelkoi
Deswegen habe ich hier versucht nach Lambda aufzulösen.

Etwas anderes bleibt ja auch kaum noch übrig, wenn du eine Gleichung in lambda hast. smile

Wenn du am Schluß noch die Wurzel auflöst, ist die Rechnung ok.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Kontrolle,

Das Endergebnis lautet:

Das wiederum bedeutet, dass meine kritischen Punkte und sind. Da lasse ich nun ganz normal die Hessematrix drüberlaufen oder? Und dann bin ich fertig mit Aufgabe 3 smile
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, wie du auf diese Punkte gekommen bist. Jedenfalls erfüllen beide nicht die Bedingung x² + y² = 2 . geschockt
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ups, dann habe ich wohl den Wiki Artikel falsch verstanden...

Da ist ne Beispielaufgabe und da steht am Ende: Lambda gleich = und somit sind die krit. Punkte bla bla bla.
Deswegen habe ich gedacht, dass wären quasi dann schon die krit. Punkte.

Ich denke nun, dass das Lambda wohl eher als dritte Komponente eines krit. Punktes zu verstehen ist, also wie bei f(x,y,z), nur dass z hier eben Lambda ist.

Ich mach mich mal wieder an das LGS Hammer
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Ich denke nun, dass das Lambda wohl eher als dritte Komponente eines krit. Punktes zu verstehen ist, also wie bei f(x,y,z), nur dass z hier eben Lambda ist.

So ist es. Augenzwinkern
Beachte auch, daß du rein formal auch den Fall y=0 betrachten mußt. Das war ja schließlich auch ein Teilergebnis bei der Lösung des Gleichungssystems.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab schonmal die geänderte HM aufgestellt:



Ich hab aber ein Problem. Ich setze Lambda in die vorhandenen Terme ein und bekomme dafür



und

.

Als Lösungen hätte ich dann x = 0 und y = 0, was aber nicht stimmen kann, da dann ja wieder die NB nicht erfüllt wird, weil -2 ungleich 0.

Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich hier auf x und y komme? Hab viel rumprobiert aber finde es im Moment nicht.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt doch erstmal das Gleichungssystem komplett lösen und damit die kritischen Punkte komplett bestimmen, bevor du damit in diese Hesse-Matrix einsteigst.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Also mir ist mittlerweile natürlich klar, dass die KP höchstwahrscheinlich

und sind,

ich will aber wissen, wo mein Fehler liegt bzw. warum ich das LGS nicht richtig lösen kann.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Du mußt doch erstmal das Gleichungssystem komplett lösen und damit die kritischen Punkte komplett bestimmen, bevor du damit in diese Hesse-Matrix einsteigst.


Das weiß ich, ich kann das LGS aber grade nicht lösen, weil ich auch dem Schlauch stehe LOL Hammer

Das habe ich doch geschrieben.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Moment... Moment...

Es ist gar kein LGS, weil und vorkommen...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Das weiß ich, ich kann das LGS aber grade nicht lösen, weil ich auch dem Schlauch stehe LOL Hammer

Das habe ich doch geschrieben.

Daß du in dieser Richtung was geschrieben hast, kann ich nicht erkennen. Aber egal.

Du hast doch aus der 2. Gleichung erhalten.
Ersetze lambda jeweils mit den beiden Lösungen und setze das dann in die 3. Gleichung ein.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi

Kannst du mir einen Tipp geben, wie ich hier auf x und y komme? Hab viel rumprobiert aber finde es im Moment nicht.


Eben hab ich es, ich hab mich grad nur vollkommen selbst verwirrt als ich dann über nichtlineare GS auf Wikipedia gelesen hab usw.

Also die Punkte sind meiner Meinung nach und

Nun habe ich aber das Problem, dass die HM bei dem ersten Punkt folgende Hauptminoren hat:

0, -4 und 0. Damit wäre die Matrix indefinit, was einen Sattelpunkt bedeuten würde. Somit gehe ich davon aus, dass die Punkte schon wieder nicht stimmen, da ja nach keinem Sattelpunkt gefragt ist und wir ja auch gesagt haben, dass die Funktion immer einen HP und TP annimmt.

Bei dem zweiten Punkt ist das Ergebnis übrigens das selbe.

Wo ist denn mein Denkfehler gerade? Sorry wenn ich grad etwas dumm da stehe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß ja nicht, was du rechnest:
1. ist lambda_2 = -3/2 . Somit fällt Punkt P_2 sofort raus.
2. sieht man sofort nach Einsetzen von P_1 und P_2 in die beiden ersten Gleichungen, daß dies keine Lösungen sind.

Tipp: es gibt insgesamt 4 kritische Punke. smile
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich poste die Rechnungen nicht, bei denen ich davon ausgehe, sie sind falsch.

Mittlerweile brennt mein Schädel.

[attach]39058[/attach]

Hier ein neuer Versuch.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend gelingt es dir nicht einmal mehr, Gleichungen korrekt abzuschreiben. Zur Erinnerung:
Zitat:
Original von klarsoweit
Du hast doch aus der 2. Gleichung erhalten.

Bitte nimm genau diese Gleichung zum Einsetzen für lambda und nicht .
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bekomme 1 raus. Bei beiden. 1 und -1 für x und y.

Ich hab keine Ahnung, was die anderen beiden kritischen Punkte sind. Kannst du net einfach mal sagen, ob das richtig ist oder nicht? Ich rechne jetzt schon 2 Stunden an dem Kram. Lass mich doch net immer wieder gegen die Wand laufen.

Ich hab bereits vor einer Weile schon gesagt 1 und -1 und das war falsch, wenn ich das so rechne kommt das aber raus.

Für dieses Ergebnis ist die Gleichung erfüllt. Sowohl für -1 als auch für 1. Bei der HM kommt dann aber Müll raus. Indefinit. Heißt Sattelpunkt. KANN DAS SEIN JA ODER NEIN.

Ich hab keine Lust mehr.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Hier bitte meine Rechnung.

[attach]39059[/attach]
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Ich rechne jetzt schon 2 Stunden an dem Kram. Lass mich doch net immer wieder gegen die Wand laufen.

Sorry, für deine Rechenfehler kann ich nichts. Ich finde es auch blöd, daß du nur unvollständige Ergebnisse lieferst, anstatt mal komplett die 4 Punkte zu benennen, die als Lösung des Gleichungssystems rauskommen:

, , und .

Es gehen eben nicht alle Kombinationen von x = +/- 1 und y = +/- 1 und lambda_1 bzw. lambda_2.

Zur weiteren Beurteilung der kritischen Punke solltest du dir https://de.wikipedia.org/wiki/Ger%C3%A4nderte_Hesse-Matrix ansehen.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Nur eine Frage:

WARUM hast du nicht einfach gesagt "Nein, z.B. (1|1|-0,5) ist hier zwar von den Zahlenwerten an sich richtig, aber die KOMBINATION stimmt nicht."

Dann wäre ich zu 100% auf die Idee gekommen, den ganzen Krempel mit den anderen Lösungen mal zu vertauschen und dann zu schauen, anstatt wie ein Blöder immer wieder von vorne zu beginnen, weil ich davon ausgehe, die Werte an sich sind falsch.

Ich kann verstehen, dass du von meiner Unfähigkeit genervt bist, ich bin es ja selber auch von ihr. Aber dann sollte man halt manchmal einfach nur eine Sache klarstellen, damit das Gegenüber nicht immer wieder wie das Zieh-mich-auf-Männchen gegen die Wand rennt und immer gereizter wird. Nur so für die Zukunft.


"Es gehen eben nicht alle Kombinationen...." Dieser Satz etwas früher hätte mir viel viel mehr geholfen als das Ganze so oft neu anzugehen.

Davon aber mal abgesehen, hätte ich ohne dich und Bjoern diese Aufgabe niemals lösen können, da ich einfach noch keine Ahnung habe. Nur dank eurer Hilfe war mir dies möglich.


Nach Überprüfung in der HM ergibt sich:

P1 und P2 sind Hochpunkte und P3 und P4 sind Tiefpunkte



Für die zweite Aufgabe mache ich erstmal Pause und melde mich morgen wieder.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Nur eine Frage:

WARUM hast du nicht einfach gesagt "Nein, z.B. (1|1|-0,5) ist hier zwar von den Zahlenwerten an sich richtig, aber die KOMBINATION stimmt nicht."

Dann wäre ich zu 100% auf die Idee gekommen, den ganzen Krempel mit den anderen Lösungen mal zu vertauschen und dann zu schauen, anstatt wie ein Blöder immer wieder von vorne zu beginnen, weil ich davon ausgehe, die Werte an sich sind falsch.

Weil ich zu diesem Zeitpunkt selber nicht die korrekten Lösungen kannte. geschockt
Glaubst du, ich rechne eine Aufgabe von vorne bis hinten komplett durch, bevor ich eine Antwort poste?
Ich schaue auf das, was geschrieben wurde, und mache Kontrollen, ob das Ergebnis plausibel ist. Erst nachdem du zum 2. Mal die falschen Punkte gepostet hast, habe ich selber gerechnet. Warum du aber deine Lösungen durch Einsetzen in die Gleichungen nicht kontrollierst, mußt du dich selber fragen.

Abgesehen davon finde ich deine Erwartungshaltung etwas lustig, daß ich deine Gedankengänge "na ja, wenn die Lösung nicht stimmt, vertausche ich hier mal was und da mal was, bis es paßt" irgendwie erkennen und darauf eingehen soll. Ich halte es lieber mit sauberer Methodik und diese war bei dir nicht zu erkennen.
Seppelkoi Auf diesen Beitrag antworten »

Für die nächste Aufgabe ergeben sich zwei Kreise:





Die Skizze der Menge ist also ein Koordinatensystem mit zwei Kreisen mit Mittelpunkt im Ursprung, ein Kreis ist der Einheitskreis und der andere hat den Radius .

Die Menge ist die Fläche zwischen den beiden Kreisen, also quasi wie ein riesen Donut smile

Zum Einstieg für das Integral, darf ich da dieses Gesetz verwenden, dass aus dem einen Integral ein Doppelintegral wird mit den Schranken der Menge als Grenze für dx und der Funktion als Grenze für dy? Mir fällt der Name dieses Gesetzes leider gerade nicht ein.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Seppelkoi
Zum Einstieg für das Integral, darf ich da dieses Gesetz verwenden, dass aus dem einen Integral ein Doppelintegral wird mit den Schranken der Menge als Grenze für dx und der Funktion als Grenze für dy? Mir fällt der Name dieses Gesetzes leider gerade nicht ein.

Hm, ich weiß jetzt nicht, was du da meinst. Möglicherweise "Fubini", aber das allein reicht noch nicht. Da du über einen Kreisring integrierst, solltest du das Integral noch mittels Polarkoordinaten transformieren.
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