Definition Zähldichte und Wahrscheinlichkeitsmaß

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ascer Auf diesen Beitrag antworten »
Definition Zähldichte und Wahrscheinlichkeitsmaß
Huhu allerseits,


ich hätte gerne folgende Verständnisfragen geklärt:


Zähldichte:

So wie ich es verstanden habe definiert sich eine Zähldichte durch:

mit sodass gilt.

D.h. jede Abbildung über einen Ergebnisraum ist eine Zähldichte, sobald sie alle abbildet auf ein mit den Bedingungen und die Summe aller muss genau 1 ergeben.

Habe ich das richtig verstanden?



Wahrscheinlichkeitsmaß:

Ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist nun eine Abbildung:

mit den Bedingungen, dass ist, sowie das für zwei disjunkte Mengen gilt, dass .

Also ist dies eine Abbildung, die die Potenzmenge von in das Interval abbildet, sodass man nicht nur für Elementarwahrscheinlichkeiten die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, sondern auch für ganze Mengen .
Ferner muss die Gesamtwahrscheinlichkeit () natürlich wieder 1 ergeben.
Außerdem ist die Additivität zweier disjunkter Mengen wichtig, da man ohne diese Bedingung Elemente "doppelt zählen" könnte.

Ist das ebenfalls korrekt verstanden? Fehlt noch etwas?



Danke & viele Grüße
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, es fehlt die wichtige Anmerkung, dass das alles hier nur für höchstens abzählbare so funktioniert, d.h., du sprichst von diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen.

Für überabzählbare ist allein schon diese Summation nicht erklärt. Augenzwinkern
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort smile

Ja, das hätte ich wohl noch ergänzen sollen.

Ist aber nicht sogar auch noch nicht konkret genug? Zu den höchstens abzählbaren Mengen gehören doch auch abzählbar unendliche Mengen wie und mit würde man ja keinen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum mit zugehöriger Zähldichte hinbekommen, weil die Summe über alle doch nicht genau 1 ergeben könnte?!

Also gilt das nicht sogar nur für endliche Mengen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ascer
mit würde man ja keinen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum mit zugehöriger Zähldichte hinbekommen, weil die Summe über alle doch nicht genau 1 ergeben könnte?!

Doch, das klappt - Beispiele gibt es zuhauf, etwas die geometrische Verteilung oder die Poissonverteilung. Augenzwinkern


Richtig ist, dass sich für endliche alles nochmal einfacher darstellt; für echt abzählbar unendliche ist alles eine Spur aufwändiger, da muss man z.B. hier

Zitat:
Original von ascer
sowie das für zwei disjunkte Mengen gilt, dass .

auch etwas mehr fordern, nämlich



für eine Folge paarweise disjunkter Ereignisse.

Aus der Vereinigung zweier Mengen kann man nämlich auf beliebige endliche Vereinigungen schließen, nicht aber auf eine abzählbare Vereinigung, deswegen wurde (*) mit in die Axiome aufgenommen.
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für das Feedback, ich muss allerdings gestehen, dass ich noch nicht ganz verstehe wieso (*) tatsächlich als zusätzliches Axiom nötig ist.
Sobald für alle disjunkten Mengen mit das Axiom gilt, müsste doch sowieso schon die rechte Seite von (*) das gleiche wie die linke Seite von (*) ergeben?

Könntest du das eventuell noch weiter ausführen?


Ich dachte ehrlich gesagt eben (mit Zettel und Kugelschreiber^^) auch daran, dass mir spontan kein Weg einfällt eine Zähldichte bzw. ein Wahrscheinlichkeitsmaß zu definieren:

Für würde wegen der abzählbaren Unendlichkeit doch das folgende zumindest für ein Laplacemaß nicht funktionieren, also nicht zeigbar sein?!:



bzw.



Und auch für andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen fällt mir zumindest gerade keine Idee dein, die Gültigkeit zu zeigen^^
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ascer
Sobald für alle disjunkten Mengen mit das Axiom gilt, müsste doch sowieso schon die rechte Seite von (*) das gleiche wie die linke Seite von (*) ergeben?

Aha - und wie beweist du das?

Ich überlege gerade, ob du diese Anmerkung dazu

Zitat:
Original von HAL 9000
Aus der Vereinigung zweier Mengen kann man nämlich auf beliebige endliche Vereinigungen schließen, nicht aber auf eine abzählbare Vereinigung, deswegen wurde (*) mit in die Axiome aufgenommen.

gelesen hast, oder nicht...
 
 
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe halt aktuell wirklich nicht, wo da der eminente Unterschied ist?

Wenn ich fordere, dass bei gegebenen genau mit das Axiom gelten soll...

...dann ist doch die Aufsummierung der Einzelwahrscheinlichkeiten von paarweise disjunkten Teilmengen äquivalent zu der Gesamtwahrscheinlichkeit aller zuerst aufsummierter paarweise disjunkter Teilmengen .

Da könnte man ja auch mit vollst. Induktion zeigen, dass wenn gilt, dies auch für gelten würde.

Und in der Gesamtwahrscheinlichkeit paarweise disjunkter Mengen sehe ich ehrlich gesagt keinen Unterschied mehr zu der Gesamtwahrscheinlichkeit der Vereinigung eben dieser Mengen: .

Ich sehe also keinen Fehler in:

für .

Und das wäre doch per Induktion auch für n=3, 4, ... zeigbar.


Offensichtlich, sonst würdest du dies ja nicht ansprechen, habe ich da einen elementaren Logik-/Denkfehler, aber ich sehe den aktuell nicht - deshalb die Bitte der weiteren Aufklärung. Wo ist mein Fehler?




Unabhängig davon, wie gesagt, hatte ich auch tatsächlich gar nicht an das Axiom gedacht, sondern vielmehr daran, dass man mindestens für ein Laplacemaß keine Zähldichte bzw. kein Wahrscheinlichkeitsmaß findet, wenn man abzählbar unendlich viele Elementarereignisse hat, sodass man mit diesen Abbildungen (Zähldichte/Wahrscheinlichkeitsmaß) wirklich alle Elemente in das Interval [0, 1] abbildet und man gleichzeitig aber garantiert.

Und auch für andere Verteilungen wüsste ich jetzt spontan gedanklich nur den Weg, dass man ab einem endlichen n einfach den Trivialfall annimmt und alle folgenden Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 definiert.
Ansonsten, da man ja abzählbar unendlich viele Elementarereignisse hat, würde man doch definitiv über eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 kommen, wenn die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse größer 0 ist?!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ascer
Und in der Gesamtwahrscheinlichkeit paarweise disjunkter Mengen sehe ich ehrlich gesagt keinen Unterschied mehr zu der Gesamtwahrscheinlichkeit der Vereinigung eben dieser Mengen: .

Beweise, wie du den Sprung von endlich vielen Mengen (was per vollständiger Induktion beweisbar ist, was ich nicht bestreite) zu abzählbar vielen Mengen schaffst. Dass du da "keinen Unterschied" siehst ist kein Beweis und damit irrelevant.

ist übrigens symbolischer Blödsinn, ich nehme einfach mal an, du meinst da .


Zitat:
Original von ascer
Und auch für andere Verteilungen wüsste ich jetzt spontan gedanklich nur den Weg, dass man ab einem endlichen n einfach den Trivialfall annimmt und alle folgenden Ereignisse mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 definiert.
Ansonsten, da man ja abzählbar unendlich viele Elementarereignisse hat, würde man doch definitiv über eine Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 kommen, wenn die Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse größer 0 ist?!

Es ist wunderschön anzusehen, wie du meine konkret vorgetragenen Beispiele ignorierst:

Zitat:
Original von HAL 9000
Doch, das klappt - Beispiele gibt es zuhauf, etwas die geometrische Verteilung oder die Poissonverteilung.

Also im Fall der geometrischen Verteilung mit wäre das für alle , das sind nicht nur endlich viele, sondern abzählbar unendlich viel Nichtnull-Werte.

Das lässt mich doch arg zweifeln, dass du an einer wirklichen inhaltlichen Diskussion interessiert bist. Anscheinend willst du nur die Monologe mit deinen falschen Ansichten vortragen, na dann viel Spaß noch. Wink
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ ascer

ascer Auf diesen Beitrag antworten »

@HAL 9000: Danke für die Präzisierungen. Das Beispiel mit der geometrischen Verteilung war schön smile
Nun verstehe ich das schon eher^^

Im Übrigen verstehe ich allerdings nicht, warum du stets mit Sätzen wie:
"Ich überlege (...) ob du (XYZ) gelesen hast, oder nicht",
"das lässt mich arg zweifeln, dass du an einer wirklichen inhaltlichen Diskussion interessiert bist",
"wunderschön anzusehen, wie du meine (...) Beispiele ignorierst",
...antwortest.

Ich empfinde diese Formulierungen als unhöflich, dienen sie doch definitiv nicht der Diskussion(-skultur). Mir fällt es schwer, darin (in diesen Sätzen, deine restlichen Erklärungen waren ja ok) etwas anderes als profane Anfeindungen und/oder teilweise den Unterton "lies was ich dir schrieb, da ist meine Weisheit bereits drin enthalten" zu sehen.

Ich behaupte einfach mal, kaum jemand würde sich derartige Mühe mit Formulierungen und Latex-Code machen, wenn er nur trollen wollen würde und an keinerlei Austausch interessiert ist. Da gibt es ja nun definitiv einfachere Wege, zumal ich dich ja auch in keinster Weise angegriffen habe.

Ich war und bin sowohl an dem Diskurs als auch an der zugrunde liegenden Thematik interessiert, sonst hätte ich nicht gefragt & mehrmals nachgefragt.


Im Übrigen hätte das einfache "endlich (abzählbar) unendlich" von @Leopold (vielen Dank!) schon ausgereicht - das war ja nämlich mein Denkfehler bei meinem Gedankengang. Ich habe in meinem Eifer vergessen, dass ich mit meiner Umformung plus der gedanklichen Induktion dies immer nur für ein festes, endliches n zeige, keinesfalls aber für ein abzählbar unendliches, wie es bei nötig wäre.


Abgesehen davon fand ich in der Tat zuerst auch komisch. Ich habe mir das allerdings nicht aus den Fingern gesogen, sondern aus dem Buch "Stochastik für Einsteiger (10. Auflage)" publiziert von Springer Spektrum. Nachzulesen auf Seite 39 unter den Axiomen bei 6.2.
Autor des Buches ist Prof. Dr. Norbert Henze, unter anderem Dozent für Stochastik am Karlsruher Institut für Technologie (KIT).
Er empfiehlt sein Buch als Standardwerk für die Vorlesung Stochastik 1 und so manch anderer Professor anderer Universitäten, wie auch mein Prof an meiner Uni, empfehlen es ebenso.

Anscheinend ist dem guten Herren dann ja aber ein Fehler unterlaufen...ich hab mich beim Lesen auch daran gestoßen, dachte dann aber die Herren Professoren werden (in der 10. Auflage) wohl recht haben...

...solltest du eine bessere Literaturempfehlung haben: immer her damit smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ascer
Ich empfinde diese Formulierungen als unhöflich, dienen sie doch definitiv nicht der Diskussion(-skultur).

In dem Sinne ist es wohl besser, wenn ich mich hier verabschiede: Beiträge nicht lesen, aber dafür moralische Vorträge halten kenne ich schon, und diese Kombination ist mir abgrundtief unsympathisch. Wink

P.S.:

Zitat:
Original von ascer
Im Übrigen hätte das einfache "endlich (abzählbar) unendlich" von @Leopold (vielen Dank!) schon ausgereicht - das war ja nämlich mein Denkfehler bei meinem Gedankengang.

Dann war das viel weiter oben stehende

Zitat:
Original von HAL 9000
Aus der Vereinigung zweier Mengen kann man nämlich auf beliebige endliche Vereinigungen schließen, nicht aber auf eine abzählbare Vereinigung

wohl schon zuviel Text?
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe wirklich nicht, wie du das so empfinden kannst. Ich habe mich für deine Beiträge bedankt und fand mehrere von ihnen hilfreich - sie haben dem Thread und mir Verständnis/Klärung gebracht.

Des Weiteren habe ich, nun mehrmals, darauf hingewiesen, dass ich jeden deiner Posts (und auch darin jeden Satz) sehr wohl gelesen habe. Ich habe ja sogar immer darauf geantwortet.

Das mein lückenhaftes Wissen, inkludiert meiner Denkfehler, dazu führte, dass ich mehrmals zu verschiedenen Sachen nachgefragt habe, zeigt meiner Meinung nach doch einzig mein Interesse.
Ob du das nun so empfindest, dass ich deinen Weisheiten in ihrer Gesamtheit nicht gelauscht hätte, ist doch deine eigene Interpretation und verfehlt die Realität: mit meinen offenen Fragen konnte ich schlicht nicht adäquater Antworten, sondern musste erneut nachfragen.

Selbst jetzt noch, erneut ("abgrundtief unsympathisch", "...zu viel Text?"), in persönliche Anfeindungen abzudriften finde ich höchst unpassend. Ist dir nicht klar, dass du hier der Einzige bist, der sich unsympathisch verhält?
Warum musst du überhaupt auf die persönliche Schiene (immer wieder) abdriften?

Jeder andere hier hat rein sachliche Texte geschrieben...
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Sache zurück: Die Formel



ist irritierend. Aber möglicherweise verwendet der Autor das Summenzeichen bei Mengen statt des Vereinigungszeichens, wenn er andeuten will, daß die Vereinigung eine disjunkte ist. Ich meine, so etwas in der Mengenlehre schon gesehen zu haben. Einfach einmal im Lehrbuch auf der Seite nachschauen, wo grundlegende Begriffe erklärt werden.
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke nicht, denn direkt ein paar Axiome weiter unten hat der Autor dort die Vereinigungsmenge von mehreren Teilmengen benutzt, um die Subadditivität zu zeigen, bei 6.2. (g):



Er benutzt Vereinigungsmengen also definitiv.

Ferner nimmt er seine Summennotation auch, um die Gegenwahrscheinlichkeit zu beweisen. So liest man noch ein Stück weiter z.B. folgende als Beweis deklarierte Rechnung:





Woraus er sodann folgert.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Aber möglicherweise verwendet der Autor das Summenzeichen bei Mengen statt des Vereinigungszeichens, wenn er andeuten will, daß die Vereinigung eine disjunkte ist.


Ich bin jetzt auch kurz davor, mit dir zu schimpfen. Denn das meine ich ja gerade: Das Vereinigungszeichen wird verwendet, wenn über paarweise Disjunktheit nichts bekannt ist, das Summenzeichen, wenn die Vereinigungsglieder paarweise disjunkt sind.
So geht jedenfalls meine Vermutung. Und dein letzter Beitrag bestärkt meine Vermutung eher. Widerlegen tut er sie jedenfalls nicht.
ascer Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, vielen Dank!

Ja, dass könnte tatsächlich sein...jetzt geht mir das Licht auf smile

In dem Buch (und auch seinem Skript) gibt es in der Tat, wie so oft, extra ein paar Seiten am Ende mit Begriffsdefinitionen...allerdings steht dort nichts von der Verwendung des Vereinigungszeichens bzw. Summenzeichens in diesen Fällen.

Aber die Erklärung von dir ist nun natürlich definitiv die einzig sinnvolle.


Diese Diskussion wurde von hier abgespalten. (Guppi12)
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