Minions Ü Eis

08.09.2015, 21:29	leoclid	Auf diesen Beitrag antworten »
Minions Ü Eis In jedem 7. Ei befindet sich eine von 8 Ü-Ei Minions Figuren Es soll untersucht werden, wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist nach genau $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ gekauften Ü Eiern alle Minions zu haben. Meine Idee. 7 der Minions müssen unter den ersten $\begin{eqnarray} k-1 \end{eqnarray}$ gekauften Ü Eiern sein. Wähle aus 8 Minions, 7 die das sind. 8 Möglichkeiten. Diese Minions können jeweils an $\begin{eqnarray} k-1 \end{eqnarray}$ verschiedenen Stellen stehen. Die Reihenfolge wird wegen unterschiedlicher Minions beachtet. $\begin{eqnarray} (k-1)!/(k-8)! \end{eqnarray}$ Möglichkeiten Berechne nun für jede dieser Möglichkeiten ihre Wahrscheinlichkeit Diese beträgt: $\begin{eqnarray} \frac{1}{56} ^{7}\frac{46}{56} ^{k-8} \end{eqnarray}$ Nun die Wahrscheinlichkeit für jeden dieser einzelnen Pfade mit der Gesamtzahl Phade multiplizieren. Wir erhalten $\begin{eqnarray} \frac{1}{56} ^{7}\frac{46}{56} ^{k-8} \frac{(k-1)!}{(k-8)!} * 8 \end{eqnarray}$ Nun muss ja noch im kten Ei die gewünschte 8.te Figur sein, also müsste die WK, nach k Käufen alle Minions zu haben $\begin{eqnarray} \frac{1}{56} ^{7}\frac{46}{56} ^{k-8} \frac{(k-1)!}{(k-8)!} * 8 / 56 \end{eqnarray}$ betragen, habe das aber überprüft und das kann irgendwie nicht sein. Was habe ich falsch gemacht?? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit nach $\begin{eqnarray} k-1 \end{eqnarray*}$ gekauften Ü Eiern 6 Minions
08.09.2015, 21:47	leoclid	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Rechenfehler mit 46 statt 48 habe ich bemerkt, klappt trotzdem nicht.
09.09.2015, 12:19	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube nicht, daß man diese Aufgabe lösen kann, ohne sich zuvor ein ordentliches Modell zu basteln. Wie willst du denn Dinge zählen, indem du sie nach gewissen Merkmalen aus der Gesamtzahl aller Dinge auswählst, wenn du nicht einmal weißt, wie diese Dinge aussehen? Ich schlage daher Folgendes vor: Wir nehmen 56 unterscheidbare Kugeln, von 1 bis 56 durchnumeriert. Die Kugeln 1 bis 8 stehen für die Minions, die Kugeln 9 bis 56 für die Nieten. Jetzt ziehen wir k-mal eine Kugel mit Zurücklegen. Der Ergebnisraum $\begin{align} \Omega_k \end{align}$ besteht daher aus allen $\begin{align} k \end{align}$ -Tupeln $\begin{align} \omega = \left( t_1,t_2,\ldots,t_k \right) \ \ \text{mit} \ \ t_1,t_2,\ldots,t_k \in \{ 1, \ldots, 56 \} \end{align}$ Wir dürfen von einem Laplace-Modell ausgehen (das Modell unterstellt wie wohl auch die Aufgabe, daß alle Minion-Figuren gleich häufig vorkommen). Die Mächtigkeit des Ergebnisraumes ist $\begin{align} \left\| \Omega_k \right\| = 56^k \end{align}$ Nun interessiert uns das Ereignis $\begin{align} A \end{align}$ mit genau denjenigen $\begin{align} \omega \end{align}$ , bei denen in den ersten $\begin{align} k-1 \end{align}$ Koordinaten alle Ziffern von 1 bis 8 bis auf eine vorkommen, die fehlende Ziffer aber in der $\begin{align} k \end{align}$ -ten Koordinate nachgereicht wird. Wir können das Ereignis zerlegen: $\begin{align} A = A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_8 \end{align}$ wobei $\begin{align} A_j \end{align}$ genau diejenigen $\begin{align} \omega \in A \end{align}$ enthalte mit der Nummer $\begin{align} j \end{align}$ in der letzten Koordinate. Die Vereinigung ist offenbar disjunkt, und aus Symmetriegründen sind alle ihre Glieder gleichmächtig, womit folgt: $\begin{align} \left\| A \right\| = 8 \cdot \left\| A_1 \right\| \end{align}$ Jetzt untersuchen wir $\begin{align} A_1 \end{align}$ . Die letzte Koordinate eines $\begin{align} \omega \in A_1 \end{align}$ liegt fest, es ist die $\begin{align} 1 \end{align}$ . In den Koordinaten davor darf die $\begin{align} 1 \end{align}$ nicht vorkommen, die Nummern $\begin{align} 2 \end{align}$ bis $\begin{align} 7 \end{align}$ jedoch müssen vorkommen. Wir reduzieren das Tupel um seine letzte Koordinate, betrachten also den Raum $\begin{align} \Omega_k' \end{align}$ aller $\begin{align} (k-1) \end{align}$ -Tupel $\begin{align} \omega' = \left( t_1,t_2,\ldots,t_{k-1} \right) \ \ \text{mit} \ \ t_1,t_2,\ldots,t_{k-1} \in \{ 2,3,\ldots,56 \} \end{align}$ Hier gilt $\begin{align} \left\| \Omega_k' \right\| = 55^k \end{align}$ Und hierin betrachten wir $\begin{align} A_1' \end{align}$ mit genau denjenigen $\begin{align} \omega' \in \Omega_k' \end{align}$ , die alle Ziffern von 2 bis 8 enthalten. Es sei $\begin{align} B_1' \end{align}$ das Gegenereignis von $\begin{align} A_1' \end{align}$ . Dann gilt: $\begin{align} B_1' = C_2' \cup C_3' \cup \ldots \cup C_8' \end{align}$ wobei $\begin{align} C_j' \end{align}$ genau diejenigen $\begin{align} \omega' \in \Omega_k' \end{align}$ enthalte, bei denen die Nummer $\begin{align} j \end{align}$ nicht vorkommt. Leider ist die letzte Vereinigung nicht disjunkt. Es muß also die Siebformel her. Wenn die Zufallsgröße $\begin{align} X \end{align}$ die Wartezeit bis zu einem vollständigen Minion-Ensemble bezeichnet, habe ich Folgendes erhalten: $\begin{align} P(X=k) = \frac{\left\| A \right\|}{\left\| \Omega_k \right\|} = \frac{1}{7} \sum_{j=0}^7 (-1)^j {7 \choose j} \cdot \left( \frac{55}{56} - \frac{j}{56} \right)^{k-1} \, , \ \ k \geq 8 \end{align}$ Ich stelle das Ergebnis unter Vorbehalt, denn leider ist auch ein alter Hase bei solchen kombinatorischen Überlegungen weder vor Leichtsinnsfehlern noch vor schweren Irrtümern gefeit. Das Abschneiden der letzten Koordinate spricht dafür, daß sich auch eine Lösung, die über bedingte Wahrscheinlichkeiten geht, erarbeiten läßt. Mögen andere sich darum kümmern.

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