Volumenneuberechnung eines Pyramidenstumpfs wenn sich Höhe ändert

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11.09.2015, 17:48	DuHansDampf	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenneuberechnung eines Pyramidenstumpfs wenn sich Höhe ändert Hallo, ich suche nach einer Lösung bei der ich das Volumen eines Pyramidenstumpfes neu berechnen kann. Das Volumen soll auf der Basis neu berechnet werden, dass sich die Höhe verändert. Die kleinere Fläche bleibt dabei unverändert. Es verändert sich aber die Fläche der größeren Fläche. Wie kann ich diese neu ausrechnen um dann wieder das Volumen neu zu berechnen zu können? Gruß Mathias
11.09.2015, 19:09	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Schön, die Deckfläche bleibt konstant und die Höhe ändert sich. soweit so gut. Und die Grundfläche ändert sich auch. Wie ? Etwa so, dass das Volumen unverändert bleibt
11.09.2015, 19:18	DuHansDampf	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die Kantenlängen werden auch alle kleiner. Bis die größere Fläche halt irgendwann die Größe der kleinen Fläche hat und die Höhe dann ja Null ist. Die Fläche bleibt aber immer Quadratisch. Das Volumen wird dadurch auch weniger. Gruß Mathias
11.09.2015, 19:25	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Höhe und Grundfläche sind ja eigentlich unabhängig. Was passiert eigentlich mit dem ursprünglichen Pyramidenstumpf ? Wie sieht das bildlich aus ?
11.09.2015, 19:37	DuHansDampf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Vielleicht wird es anders erklärt klarer. Wir haben einen Behälter der die Form eines Pyramidenstumpfes hat. In diesem Behälter befinden sich Holzpellets zum Heizen. Wir messen mit einem Ultraschallsensor den Abstand zum Sensor. Dadurch wissen wir ja den Füllstand des Behälters. Da der sich ja verändert, möchten wir das Volumen ausrechnen um zu wissen wie lange die aktuelle Füllung noch hält bevor nachgefüllt werden muss. Von daher bleibt der Stumpf gleich und durch die Änderung der Höhe verändert sich auch die Grundfläche.
11.09.2015, 19:59	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
also so, nur auf dem Kopf stehend. Sei $\begin{eqnarray} S=b^2, G=a^2 \end{eqnarray}$ quadratischer Pyramidenstumpf $\begin{eqnarray} V=\tfrac 13 h(G+S+\sqrt{GS}) \end{eqnarray}$ demnach: $\begin{eqnarray} V=\tfrac 13 h (a^2+b^2+ab) \end{eqnarray}$ voller Behälter. diese Maße ( a,b,h) entnimmt man dem Originalbehälter. nun ändert sich die Höhe ( der Pellets ) zu $\begin{eqnarray} h_2 \end{eqnarray}$ und damit ist das neue Volumen: $\begin{eqnarray} V_2=\tfrac 13 h_2 (a_2^2+b^2+a_2b) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} h_2 \end{eqnarray}$ kann man indirekt messen, so bleibt noch übrig $\begin{eqnarray} a_2 \end{eqnarray}$ zu berechnen. Wie könnte das gehen?
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11.09.2015, 20:09	DuHansDampf	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau
11.09.2015, 20:19	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
hatte Probleme mit dem Bild. Der Rest :siehe oben !
11.09.2015, 20:52	DuHansDampf	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der Grundfläche bleib ich auch noch hängen. Ändert sich vielleicht die Grundfläche proportional zur Höhe oder so? Es muss ja nicht auf den mm³ genau sein. Aber ziemlich genau sollte es schon sein.
11.09.2015, 21:29	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn man eine Pyramide hätte, dann könnte man den Strahlensatz anwenden. eine Idee: lineare Interpolation gesucht FUNKTION a2 in Abhängigkeit von h2 1.) von S ausgesehen nach oben sei h2=0 ( keine Pellets ) , dann sind beide Quadrate gleich groß ( a=b) und $\begin{eqnarray} a_2(0)=b \end{eqnarray}$ 2.) wenn h2=h, ( voller Behälter ), dann ist a2=a also $\begin{eqnarray} a_2(h)=a \end{eqnarray}$ man kennt also von dieser Funktion 2 Wertepaare (0,b) (h,a). damit kann man eine lineare Funktion ( a2) finden, deren Graph diese Punkte enthält. damit es gewohnter ist kannst du a2=y und h2=x setzen. zu deutsch: lineare Funktion y=mx+c enthält die Punkte (0,b) und (h,a) bestimme m und c kriegst du das hin? ----------------------------- Edit: ähnliche Flächen verhalten sich quadratisch bei zentrischer Streckung. keine gute Idee. Edit2:mathematisch geht das ganz exakt, physikalisch eben so genau wie die Messdaten es zulassen...
17.09.2015, 13:19	DuHansDampf	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal für die Mühe!!! Ich glaube ich habe das schon irgendwie verstanden. Werde aber irgendwie nicht schlau daraus, wie ich die Formel aufbauen muss. Leider werde ich mit Google auch nicht schlauer. Nimmst du da den zweiten Strahlensatz? Aber da geht es ja um die Länge der Außenkanten des Behälters, oder? Aber die messe ich ja gar nicht.
17.09.2015, 14:53	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
die Kanten spielen keine Rolle. Also nochmal: b=kleine Grundflächenseite a=große Grundflächenseite. h= Abstand Der Flächen. Die 3 Werte musst du einmal messen. Der Ultraschallsensor misst nun h1= Abstand Pellets große Grundseit, damit ist $\begin{eqnarray} x=h-h_1 \end{eqnarray}$ die Dicke der Pellets. $\begin{eqnarray} a_2=y=\frac{a-b}{h}\cdot x +b \end{eqnarray}$ ist dann die große Grundflächenseite der Pellets. beides in die Volumenformel eingesetzt ergibt das gewünschte Pelletvolumen: $\begin{eqnarray} V_2(x,y)=\tfrac 13x(y^2+b^2 +yb) \end{eqnarray}$

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