Definition "Teilverhältnis" für "Strecken"

11.09.2015, 19:13

Chemiestudent2,718

Definition "Teilverhältnis" für "Strecken"

Meine Frage:
Hallo.
Ich habe in mehreren unabhängigen Literaturquellen die selbe Definition des Teilverhältnis od auch Teilungsverhältnis für STRECKEN gefunden, wobei mir etwas unklar ist: Da Es ja 2 Möglichkeiten gibt die eine Teilstrecke (zwischen Teilungspunkt und den begrenzenen Punkten der Strecke)durch die andere zu teilen, wird immer extra darauf hingewiesen, dass die Reihenfolge der Punkte nicht egal ist. Da aber eine Strecke ja im Unterscheid zum VEKTOR keine Richtung hat ist Die Strecke AB nunmal das Selbe wie die Strecke BA also wieso ist es nicht für Vektoren definiert ????!!! Zu sagen die Reihenfolge der Punkte ist nicht egal widerspricht doch der Definition einer Strecke (??) Also gibt es auch 2 Möglichkeiten für ein "Teilverhältnis" von einer "Strecke"...
Und in der Formel werden die Teilstrecken dann seltsamer Weise als Vektoren hingeschrieben, obwohl DEREN Richtung für den Quotienten der Beträge ja gleichgültig ist (??)
Kann mich jemand Aufklären? Danke und LG

Meine Ideen:
keine

11.09.2015, 20:54

echnaton

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Es ist äußerst schwierig deinen Gedanken zu folgen.

Zitat:

dass die Reihenfolge der Punkte nicht egal ist.

Zitat:

Zu sagen die Reihenfolge der Punkte ist nicht egal widerspricht doch der Definition einer Strecke (??)

Die Reihenfolge bezieht sich auf das Teilverhältnis, nicht auf Strecken.

Für die Strecke zwischen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} [AB] = [BA] \end{eqnarray*}$ . Wenn diese Strecke durch einen Punkt $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ in zwei Teilstrecken $\begin{eqnarray*} [AT] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} [TB] \end{eqnarray*}$ geteilt wird, kann das Verhältnis durch $\begin{eqnarray*} \frac{|AT|}{|TB|} \end{eqnarray*}$ oder durch den Kehrwert $\begin{eqnarray*} \frac{|TB|}{|AT|} \end{eqnarray*}$ definiert werden. Dabei muss auf die Reihenfolge (oder besser Bezeichnung) geachtet werden.

Die Sache mit dem Vektor verstehe ich überhaupt nicht.

11.09.2015, 21:17

Leopold

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@ Chemiestudent2,718

Um es kurz zu sagen: Du hast recht. Du hast die Mathematik bei einer Inkonsistenz ertappt. Ich kann dir nur sagen: Es ist halt mal so üblich. Wörter wie "Strecke" haben im Lauf der Geschichte ihre Bedeutung gewandelt oder je nach Zusammenhang unterschiedliche Bedeutungen gehabt. Wenn wir heute in der Geometrie von einer Strecke sprechen, dann meinen wir damit eine Menge von Punkten. Und ob wir von der Strecke $\begin{align*} AB \end{align*}$ oder $\begin{align*} BA \end{align*}$ sprechen, spielt keine Rolle. Das muß aber nicht immer so gewesen sein. Akzeptiere einfach, daß beim vorliegenden Problem "Strecke" nicht die übliche Bedeutung hat, sondern im Sinn von "gerichteter Strecke" zu verstehen ist. Bei dieser Definition bedeutet also $\begin{align*} AB \end{align*}$ etwas anderes als $\begin{align*} BA \end{align*}$ .

Man sagt: $\begin{align*} T \end{align*}$ teilt die Strecke $\begin{align*} AB \end{align*}$ im Verhältnis $\begin{align*} \tau \end{align*}$ , falls $\begin{align*} \overrightarrow{AT} = \tau \cdot \overrightarrow{TB} \end{align*}$ ist.

11.09.2015, 21:32

echnaton

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Zitat:

Original von Leopold
Das muß aber nicht immer so gewesen sein. Akzeptiere einfach, daß beim vorliegenden Problem "Strecke" nicht die übliche Bedeutung hat, sondern im Sinn von "gerichteter Strecke" zu verstehen ist.

Sooo einfach und trotzdem wäre ich nie darauf gekommen. Big Laugh

12.09.2015, 18:02

Chemiestudent2,718

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Danke, hat mir sehr geholfen.
Es fällt mir auch nicht schwer zu akzeptieren, dass das nunmal so ist. Dachte nur ich hab was nicht verstanden od nicht bedacht und das hat mich verwirrt.
Ich war mir auch nicht sicher ob es vielleicht eine Definition für den Begriff des Verhältnisses gibt, bei der der Quotient nur größergleich 1 oder kleinergleich 1 sein darf. Dann würde es nämlich nur eine Möglichkeit geben und es wäre auch für eine richtungslose Strecke eindeutig. Nach Wikipedia ist ein Verhältnis aber einfach das selbe wie ein Quotient

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