Schätzverfahren und Verteilungsfunktion

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Naryxus Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzverfahren und Verteilungsfunktion
Hallo,

ich rechne gerade eine Aufgabe als Klausurvorbereitung und finde einfach keinen Ansatz (es gibt leider keine Musterlösungen):

Seien unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit Wahrscheinlichkeitsdichte

mit unbekanntem Parameter

Seien nun für die Zufallsvariable


Nun soll die Verteilung der Zufallsvariable mit zugehörigem Parameter bestimmt werden und die Wahrscheinlichkeiten für und berechnet werden.

Den einzigen Schluss, den ich ziehen kann, ist dass mit einer Wahrscheinlichkeit von kleiner als 0 ist. Das heißt mein wäre mit der Wahrscheinlichkeit gleich 1. Aber so richtig eine Verteilungsfunktion will mir gerade nicht in den Kopf gehen.

Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.

Grüße, Naryxus
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Naryxus
Das heißt mein wäre mit der Wahrscheinlichkeit gleich 1

... und mit der Wahrscheinlichkeit gleich 0, d.h., ist diskret auf den beiden Punkten 0 und 1 verteilt, mit eben jenen Wahrscheinlichkeiten.

Noch nie die Verteilungsfunktion einer solchen diskreten Zufallsgröße gesehen? Stichwort: Treppenfunktion, mit "Stufen" (d.h. Sprüngen) an den Stellen 0 und 1.
Naryxus Auf diesen Beitrag antworten »

Doch, das habe ich schon. Nur hätte ich nicht gedacht, dass es derart einfach wäre...

Damit wäre also meine Verteilungsfunktion



Und die gesuchten Wahrscheinlichkeiten und ?


Im nächsten Teil soll dann die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable sowie deren Erwartungswert und die Varianz bestimmt werden.

Rein aus Intuition hätte ich jetzt vermutet, dass diese Zufallsvariable binomial-verteilt ist. Aber das glaube ich nicht wirklich... Auch hier fehlt mir wieder der Ansatz.

Für den Erwartungswert hätte ich jetzt zuerst den Erwartungswert von berechnet:



Nun gilt nach den Rechenregeln für Erwartungswert:



Für die Varianz berechne ich und entsprechend

Damit gilt


Stimmt das so?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Naryxus

Falsch - das wäre eine Einpunktverteilung auf dem Wert . unglücklich


Richtig ist

.


Zitat:
Original von Naryxus
Im nächsten Teil soll dann die Verteilungsfunktion der Zufallsvariable sowie deren Erwartungswert und die Varianz bestimmt werden.

Rein aus Intuition hätte ich jetzt vermutet, dass diese Zufallsvariable binomial-verteilt ist. Aber das glaube ich nicht wirklich...

Doch, ist sie: Es ist und in der Summe .
Naryxus Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort!

Eine letzte Teilaufgabe hätte ich noch hierbei:

Die Funktion ist ein erwartungstreuer Schätzer für .

Nun soll überprüft werden, ob die Folge konsistent für ist.

Mein Ansatz lief über den folgenden Satz: Sind erwartungstreu und gilt , ist die Folge konsistent.

Nach meiner Umformung würde sich ergeben:



An diesem Punkt komme ich leider nicht weiter. Ich muss auch leider gestehen, dass die Berechnung von Grenzwerten nun schon ein wenig her ist bei mir... Ups

Ist mein Ansatz überhaupt korrekt? Und hätte jemand einen Tipp, wie es von dort aus weitergehen könnte?


Grüße,
Naryxus
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Berechnung von - und damit dann auch die von - ist falsch, überprüfe die nochmal!

Basierend auf ergibt sich jedenfalls , und damit dann die gewünschte Konsistenz.
 
 
Naryxus Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt. Ich bin noch von meiner alten Verteilungsfunktion ausgegangen...

Es gilt also:



Ist diese Gleichung so richtig?


Wenn ja, dann vielen vielen Dank für deine Geduld!

Grüße
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Naryxus
Stimmt. Ich bin noch von meiner alten Verteilungsfunktion ausgegangen...

Falls du damit die obige Einpunktverteilung auf meinst: Mit der wäre herauskommen.

Dein Wert wird für große irgendwann negativ, was generell für Varianzen schlicht unmöglich ist. unglücklich

Zitat:
Original von Naryxus
Ist diese Gleichung so richtig?

Sofern du auch im vorletzten Term der Gleichungskette das dort notwendige ergänzt - dann ja.
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