Parameter t in Koeffizientenmatrix herausfinden

15.09.2015, 13:55

lordmek

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Parameter t in Koeffizientenmatrix herausfinden

hallo liebe mathematik-freunde!
hatte auf der uni ein klausur-beispiel zu lösen, welches ich einfach nicht zustande bringe.
es geht um eine koeffizienten matrix mit störvektor, in der ein parameter t teil der matrix und des störvektors ist.

leider haben wir soetwas in der ganzen übung nie gemacht.
kann mir bitte jemand sagen wie ich an so ein beispiel herangehe?
und auch an die drei verschiedenen lösungen?
mit gauß'schen eliminations verfahren? i hab leider keine ahnung...

im anhang ist das beispiel zu sehen,

vielen dank, lerne für die nachklausur...

15.09.2015, 16:54

sixty-four

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Du wirst nicht darum herumkommen, die Determinante deiner Koeffizientenmatrix zu berechnen. Ich würde dir noch folgenden Tip geben:
Addiere die erste zur dritten Zeile deiner Matrix. Dann subtrahiere das Doppelte der ersten von der zweiten Zeile. Dadurch ändert sich die Determinante deiner Matrix nicht und du kannst nach der ersten Spalte entwickeln (Laplacescher Entwicklungssatz)
Du wirst sehen, dass du dann eine ganz einfache Form bekommst.

Jetzt musst du den Wert des Parameters t bestimmen, für den die Determinante 0 ist.

Das solltest du zuerst mal machen. Dann sehen wir weiter.

16.09.2015, 15:55

lordmek

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sehr geehrter sixty-four, ich habe deine Tips befolgt, wie geht es nun weiter?
ich habe nach den elementaren Zeilenumformungen und Laplace für den parameter t eine quadratische gleichung herausbekommen, die ich mit der kleinen lösungsformel gelöst habe. als beide nullstellen des quadratischen polynoms habe ich 5 und -1 herausbekommen.
ich weiß, dass wenn die determinante 0 ist kann die matrix nicht invertiert werden.
wie komme ich nun auf die drei richtigen antworten?

17.09.2015, 15:46

Matt Eagle

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Das passt soweit schon mal und Teil (b) kannst Du damit beantworten.

Um nun auch (a) und (c) zu beantworten, könntest du das Ganze für t=-1 und t=5 auswerten.

17.09.2015, 17:09

sixty-four

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Zitat:

Original von lordmek
sehr geehrter sixty-four, ich habe deine Tips befolgt, wie geht es nun weiter?
ich habe nach den elementaren Zeilenumformungen und Laplace für den parameter t eine quadratische gleichung herausbekommen, die ich mit der kleinen lösungsformel gelöst habe. als beide nullstellen des quadratischen polynoms habe ich 5 und -1 herausbekommen.
ich weiß, dass wenn die determinante 0 ist kann die matrix nicht invertiert werden.
wie komme ich nun auf die drei richtigen antworten?

Die Teilaufgabe b) kannst du damit beantworten. Immer wenn $\begin{eqnarray*} t \neq -1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t \neq 5 \end{eqnarray*}$ ist, hast du eine eindeutige Lösung.

Jetzt musst du dir überlegen, wann es keine Lösung gibt. Das kann nur dann der Fall sein, wenn die Determinante den Wert 0 hat, also für die Parameterwerte t=-1 und t=5. Ich empfehle dir, die beiden Fälle getrennt zu behandeln und nacheinander in dein Gleichungssystem einzusetzen. Dann erhältst du ein zwei parameterfreie Gleichungssysteme. Die Tatsache, dass die Determinante 0 ist bedeutet, dass mindestens eine Zeile eine Linearkombinatoin der anderen beiden ist. Du musst jetzt sehen, ob der Wert auf der rechten Seite ebenfalls aus derselben Linearkombination hervorgeht. Wenn das nicht der Fall ist, gibt es keine Lösung.

Rein rechnerisch kannst du das so machen: In deiner Koeffizientenmatrix ersetzt du die erste Spalte durch die rechte Seite. Wenn sich dann eine Matrix ergibt, deren Determinante verschieden von Null ist, ist das System nicht lösbar. Wenn auch diese Determinante 0 ist, machst du das gleiche mit der 2. Spalte u.s.w. Solange bis du eine findest, die ungleich 0 ist. Wenn alle drei Determinanten 0 sind, gibt es unendlich viele Lösungen.

Wie man die rauskriegt, schauen wir uns dann an.

23.09.2015, 14:13

lordmek

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sehr geehrter sixty-four,

ich habe eine zeit gebraucht, bis ich verstanden habe was Sie gemeint haben.
Nun habe ich die erste Spalte meiner Matrix mit der rechten Seite ersetzt, mit zwei verschiedenen Verfahren habe ich als Determinante $\begin{eqnarray*} -2*t^3+62t+60 \end{eqnarray*}$ herausbekommen.

da ich deine angabe nicht ganz kapiert habe,
habe ich die rechte seite auch statt der ersten spalte eingesetzt, und für t=-1 eingesetzt.
hierbei ergibt sich eine determinante von -224

wenn man die erste spalte mit der rechten seite ersetzt, und für t=5 einsetzt,
ergibt sich eine determinante von 120.

was sagt mir das ganze jetzt? das es keine lösung bei t=-1 und t=5 gibt, das es immer eine eindeutige lösung bei t ungleich -1 oder 5 gibt, und das es nicht unendlich viele lösungen gibt?

liebe grüße, Max

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23.09.2015, 15:51

sixty-four

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Zitat:

Original von lordmek
sehr geehrter sixty-four,

ich habe eine zeit gebraucht, bis ich verstanden habe was Sie gemeint haben.

Hallo Max,
du kannst doch jederzeit noch mal nachfragen wenn du etwas nicht verstanden hast.
Übrigens: Hier ist es glaube ich üblich dass sich alle duzen.

Zitat:

Original von lordmek
Nun habe ich die erste Spalte meiner Matrix mit der rechten Seite ersetzt, mit zwei verschiedenen Verfahren habe ich als Determinante $\begin{eqnarray*} -2*t^3+62t+60 \end{eqnarray*}$ herausbekommen.

Das verstehe ich nun wieder nicht. Du musst doch nur noch die Fälle t=5 und t=-1 betrachten. Für alle anderen Werte von t gibt es eine eindeutige Lösung. Das weißt du doch schon. Wenn du z.B. t=-1 in deine Matrix einsetzt, kommt doch überhaupt kein Parameter t mehr vor. Dann hast du ein parameterfreies Gleichungssystem. Du kannst natürlich auch das t als Parameter stehen lassen, die Determinanten ausrechnen und dann t=-1 bzw. t=5 einsetzen. Das ist aber schwieriger zu rechnen. Wenn du nun also t=-1 einsetzt, bekommst du folgendes Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix}1 & 8 & 0 \\ 2 & 16 & 0 \\ -1 & -8 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 16\\-15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn du jetzt nacheinander die erste, zweite und dritte Spalte der Matrix durch die rechte Seite ersetzt, siehst du mit einem Auge schon was herauskommt. Wenn ich das richtig sehe, sind alle drei Determinanten ebenfalls 0. (Das ist deshalb so, weil die zweite Zeile immer das doppelte der ersten ist).
Was bedeutet das für die Lösungsmenge?

Das gleiche machst du jetzt nochmal für t=5.

23.09.2015, 16:17

sixty-four

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Zitat:

Original von lordmek

wenn man die erste spalte mit der rechten seite ersetzt, und für t=5 einsetzt,
ergibt sich eine determinante von 120.

was sagt mir das ganze jetzt? das es keine lösung bei t=-1 und t=5 gibt, das es immer eine eindeutige lösung bei t ungleich -1 oder 5 gibt, und das es nicht unendlich viele lösungen gibt?

Das ist richtig. Was bedeutet das für die Lösungsmenge?

24.09.2015, 13:54

lordmek

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sehr geehrter sixty-four, danke für deine Unterstützung smile

smile

also für t=-1 ist wie gesagt jede der determinanten 0.
für t=5 ergibt sich eben eine determinante gleich beim ersatz der ersten spalte von 120.

leider weiß ich nicht was das jetzt für die lösungsmenge bedeutet.
vielleicht das es für t=5 keine lösung gibt, und für t=-1 unendlich viele?

lg Max

24.09.2015, 16:41

sixty-four

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Zitat:

Original von lordmek
sehr geehrter sixty-four, danke für deine Unterstützung smile

smile

also für t=-1 ist wie gesagt jede der determinanten 0.
für t=5 ergibt sich eben eine determinante gleich beim ersatz der ersten spalte von 120.

leider weiß ich nicht was das jetzt für die lösungsmenge bedeutet.
vielleicht das es für t=5 keine lösung gibt, und für t=-1 unendlich viele?

lg Max

Ja, das heißt es. Die Frage ist: Hast du aber auch verstanden, warum das so ist?
Ich gebe die mal ein einfaches Beispiel. Betrachte mal dieses einfache Gleichungssystem:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12 \\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier sieht man sofort, dass die Determinante der Koeffizientenmatrix 0 ist, da die zweite Zeile das doppelte der ersten ist. Wenn du aber die erste Spalte der Matrix durch die rechte Seite ersetzt, hat die Determinante den Wert 24, also ungleich 0. Wenn die Koeffizientendeterminante 0 ist, bedeutet das, dass eine Zeile von der anderen linear abhängig ist. Wenn sich die gleiche lineare Abhängigkeit auf der rechten Seite wiederfindet, ist das System lösbar, sonst nicht und das testest du, indem du die Matrixspalten nacheinander durch die rechte Seite ersetzt. Wenn die dadurch entstehenden Matrizen ebenfalls alle 0 sind hast du auf der rechten Seite dieselbe Abhängigkeit wie links. Hier ist das nun nicht so und es leuchtet ja auch sofort ein, dass es hier keine Lösung gibt. Wenn nämlich x+y=12 ist, kann nicht 2x+2y=0 sein.
Das ist also die gleiche Situation wie bei deiner Aufgabe für den Parameterwert t=5.

Jetzt kommen wir zum Parameterwert t=-1. Hier hast du gesehen, dass auf der linken Seite eine lineare Abhängigkeit besteht. (Die zweite Zeile ist das doppelte der ersten). Die Gleiche Abhängigkeit findet sich auch auf der rechten Seite (da alle mit der rechten Seite gebildeten Determinanten gleich 0 sind). Wenn ich die dafür wieder ein vereinfachtes Beispiel geben soll, sieht es z.B. so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12 \\24 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die zweite Zeile ist also das Doppelte der ersten und zwar sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite. Was bedeutet das? Die erste Zeile in Gleichungsform bedeutet ja: x+y=12. Daraus geht aber schon hervor, dass 2x+2y=24 sein muss, das ist also eine Binsenweisheit oder anders ausgedrückt: Die zweite Gleichung liefert dir überhaupt keine neu Information über die Beziehung zwischen x und y, die du noch nicht kanntest. Deshalb kannst du auch auf die zweite Gleichung verzichten, du kannst sie einfach streichen. Damit hast du nur nur noch x+y=12. Hier kannst du x beliebig wählen und dann daraus ein y =12-x bestimmen. Das sind aber unendlich viele Lösungen.

Jetzt bist du ja noch nicht fertig mit deiner Aufgabe. Du musst ja noch die Lösungen für t=-1 angeben. Das kannst du mit dem Gauß-Algorithmus machen, wobei du die zweite Zeile weglässt.

24.09.2015, 17:25

lordmek

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sehr geehrter sixty-four,

danke für deine deppensichere Beschreibung, genau das habe ich gebraucht! Freude

Freude

das mein ich natürlich ernst!! ^^ Mit Zunge

Mit Zunge

anhand deines Beispiels wäre dann die lösungsmenge ein Intervall mit [0;12] da bei y=12-x
das x ja jeden wert zwischen 0 und zwölf annehmen könnte.
tut mir leid das ich das jetzt sage Hammer

Hammer

, aber ich weißeinfach nicht wie ich dieses wissen jetzt auf mein Beispiel anwenden kann, damit ich die fragestellung c endlich richtig beantworten kann.
wie wende ich Gauß dabei an?

habe mir gedacht, wenn ich die zweite zeile weglasse, also nur noch eine zweizeilige matrix habe,
und zur zweiten zeile die erste dazu addiere, komme ich auf zwei gleichungen: x1+8x2=8
und x3=2.5

bitte nicht Hammer

Hammer

danke für alles

24.09.2015, 18:35

sixty-four

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Zitat:

Original von lordmek
sehr geehrter sixty-four,

danke für deine deppensichere Beschreibung, genau das habe ich gebraucht! Freude

Freude

das mein ich natürlich ernst!! ^^ Mit Zunge

Mit Zunge

anhand deines Beispiels wäre dann die lösungsmenge ein Intervall mit [0;12] da bei y=12-x
das x ja jeden wert zwischen 0 und zwölf annehmen könnte.

Normalerweise können x und y Werte aus der Menge der reellen Zahlen annehmen und dazu gehören auch die negativen. Der Vektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 15 \\ -3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gehört ebenso zur Lösungsmenge wie z.B.

$\begin{eqnarray*} \frac13 \begin{pmatrix} -1 \\ 37 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von lordmek
tut mir leid das ich das jetzt sage Hammer

Hammer

, aber ich weißeinfach nicht wie ich dieses wissen jetzt auf mein Beispiel anwenden kann, damit ich die fragestellung c endlich richtig beantworten kann.
wie wende ich Gauß dabei an?

habe mir gedacht, wenn ich die zweite zeile weglasse, also nur noch eine zweizeilige matrix habe,
und zur zweiten zeile die erste dazu addiere, komme ich auf zwei gleichungen: x1+8x2=8
und x3=2.5

bitte nicht Hammer

Hammer

danke für alles

Wenn du die zweite Gleichung weglässt bleibt folgendes System:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 8 & 0 \\ -1 & -8 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 8 \\ -15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das ist ein Gleichungssystem von 2 Gleichungen mit 3 Variablen. Habt ihr im Seminar nicht besprochen, wie man sowas löst?

Du musst wissen, dass eine allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems immer aus der Summe einer speziellen Lösung des Systems plus der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems besteht. Das homogene System ist das system, was entsteht, wenn du auf der rechten Seite den Nullvektor setzt. Die Lösungen des homogenen Systems bilden einen Verktorraum. In diesem Fall ist die Dimension dieses Vektorraumes 1. Das bedeutet, dass deine Lösung so aussieht:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \\ z_0 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eine spezielle Lösung kannst du finden, indem du eine Vektorkomponente beliebig vorgibst und die anderen dann daraus eindeutig bestimmst. In diesem Fall kannst du x oder y vorgeben, z.B. y=1.
Dann hast du x+8 = 8 und -x -8 -6z = -15. Daraus ergibt sich x=0 und z=7/6.

Damit hast du schon mal die spezielle Lösung. Für die Lösung des homogenen Systems gehst du genauso vor.

26.09.2015, 16:27

lordmek

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also gut, ich habe das homogene system berechnet, habe auch hier für y=1 eingesetzt.

somit würde ich auf eine allgemeine Lösung von
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 7/6 \end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix} -8 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

kommen. stimmt das ?

26.09.2015, 17:24

sixty-four

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Zitat:

Original von lordmek

kommen. stimmt das ?

Diese Frage solltest du selbst beantworten können. Setze in beide verbliebenen Gleichungen des Systems ein:

$\begin{eqnarray*} x= -8\lambda \quad y=1+\lambda \text{ und } z=\frac76 \end{eqnarray*}$ ein. Dann muss das herauskommen, was auf der rechten Seite steht.

26.09.2015, 17:59

lordmek

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also wenn ich für lambda = -1 einsetze, kommt auf der rechten seite 8 und -15 raus.
heißt das eben, dass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 7/6 \end{pmatrix}+\lambda*\begin{pmatrix} -8 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
die lösungsmenge für antwort c ist?
wenn ja - genau kapiert warum das die lösungsmenge für unendlich viele lösungen ist, habe ich nicht. :-(

26.09.2015, 18:18

lordmek

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eben weil die determinanten, wenn man eine spalte der koeffizientenmatrix mit der rechten seite ersetzt, 0 sind. ist das nun antwort genug - und reicht das für die volle punktezahl? ? smile

smile

26.09.2015, 19:50

sixty-four

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Für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ musst du gar nichts einsetzen. Einsetzen musst du anstelle des Vektors
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
deine errechnete Lösung
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -8\lambda \\ 1+\lambda \\ \frac76 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Das heißt du musst die Matrizenmultiplikation

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 8 & 0 \\ -1 & -8 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -8\lambda \\ 1+\lambda \\ \frac76 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ausführen. Und da muss für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der Vektor

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 \\ -15 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
herauskommen. Das muss wie gesagt für alle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ gelten. Deshalb gibt es auch unendlich viele Lösungen. Dein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist also ein Parameter, der die Lösungsmenge beschreibt.

28.09.2015, 12:24

lordmek

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sehr geehrter sixty-four,

ich möchte mich sehr herzlich bei dir für deine große Hilfe bedanken.

Vielen dank

28.09.2015, 16:32

sixty-four

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Sehr gern, hoffentlich kommt die Lösung noch rechtzeitig um deine Punkte zu bekommen. Wichtiger ist aber, dass du es verstanden hast.

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