Matrizen potenzieren

16.09.2015, 03:23

dödel

Matrizen potenzieren

Meine Frage:
Die Aufgabe ist folgende:
Berechne $\begin{eqnarray*} A^{1000} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} A = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 13 & 2 & -1 \\ 4 & 11 & 2 \\ -8 & -2 & 6\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich suche also nach einer Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D = TAT^{-1} \end{eqnarray*}$ um die Ähnlichkeitstransformation umdrehen zu können und dann $\begin{eqnarray*} A^n = TD^nT^{-1} \end{eqnarray*}$ rechnen zu können. Habe dazu die Eigenwerte (1, 2 und 3) mitsamt Eigenvektoren $\begin{eqnarray*} v_1 = (1,-2,4)^T, v_2 = (-1,2,1)^T, v_3 = (-2,4,2)^T \end{eqnarray*}$ bestimmt. Damit ist dann
$\begin{eqnarray*} T^{-1} = \begin{pmatrix}1 & -1 & -2 \\ -2 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und damit
$\begin{eqnarray*} T = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ -2 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Allerdings ist mein $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ nicht diagonal. Wo ist mein Fehler? Ich sehe ihn absolut nicht.

16.09.2015, 05:36

IfindU

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RE: Matrizen potenzieren
Es ist $\begin{eqnarray*} 2v_2 = v_3 \end{eqnarray*}$ . D.h. beide haben wenn überhaupt den gleichen Eigenwert, aber sicher keinen verschiedenen.

16.09.2015, 06:53

dödel

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RE: Matrizen potenzieren
Das habe ich nur fehlerhaft aufgeschrieben. Es ist $\begin{eqnarray*} v_3 = (-2,-1,2) \end{eqnarray*}$ . Da habe ich mich verschrieben. Da die Eigenwerte 2 und 3 sind, können deren Eigenvektoren ja nicht linear abhängig sein. In der Inversen der Transformationsmatrix habe ich das ganze auch richtig eingetragen. Sorry.
Und auch in der Transformationsmatrix fehlt ein Minus. Ergo hier nochmal die richtigen Werte:
$\begin{eqnarray*} v_1 = (1,-2,4) \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert 1.
$\begin{eqnarray*} v_2 = (-1,2,1) \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert 2.
$\begin{eqnarray*} v_3 = (-2,-1,2) \end{eqnarray*}$ zum Eigenwert 3.
Transformationsmatrix (bzw. deren Inverses) $\begin{eqnarray*} T^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2 \\ -2 & 2 & -1 \\ 4 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

16.09.2015, 10:15

IfindU

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RE: Matrizen potenzieren

Zitat:

$\begin{eqnarray*} D = TAT^{-1} \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} A^n = TD^nT^{-1} \end{eqnarray*}$

.

Das passt auch nicht zusammen. Ist $\begin{eqnarray*} D = TAT^{-1} \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} T^{-1} D = A T^{-1} \end{eqnarray*}$ nach Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} T^{-1} \end{eqnarray*}$ von links und damit $\begin{eqnarray*} A= T^{-1} D T \end{eqnarray*}$ nach Multiplikation mit T von rechts.

16.09.2015, 11:23

dödel

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RE: Matrizen potenzieren
Ah, das stimmt natürlich. Soweit komme ich aber wie gesagt nicht, da ich mein $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ nicht bekomme. Grundsätzlich ist die Idee aber richtig - diagonalisieren, die Diagonalmatrix potenzieren und wieder zurück transformieren? Dann würde sich das Ganze wohl wirklich nur um einen Rechenfehler handeln und keine Konzeptschwäche.

16.09.2015, 12:34

IfindU

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RE: Matrizen potenzieren
Von der Idee her ist alles richtig.

16.09.2015, 13:34

dödel

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RE: Matrizen potenzieren

Zitat:

Original von IfindU
Von der Idee her ist alles richtig.

Danke. Ich hab LinAlg I nur schon einige Zeit hinter mir und bin mir dann stellenweise etwas unsicher bei der Klausurvorbereitung für Teil II.

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Matrizen potenzieren

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