Lp-Räume

16.09.2015, 19:07

-Sirius-

Lp-Räume

Im Artikel über $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ -Räume steht auf Wikipedia im Abschnitt über Bochner-Lebesgue-Räume das folgende:

Sei $\begin{eqnarray*} (E,\|\cdot\|) \end{eqnarray*}$ ein Banachraum und $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},\mu) \end{eqnarray*}$ ein Maßraum, dann ist für $\begin{eqnarray*} 0<p<\infty \end{eqnarray*}$ die Menge
$\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^p(\Omega,\mathcal{A},\mu;E,\|\cdot\|):=\left\{ f\colon \Omega \to E: f\, {\rm ist\ messbar}\,, \int_\Omega \|f(x)\|^p \,{\rm d}\mu(x) < \infty \right\} \end{eqnarray*}$
ein Vektorraum.

Nun ist doch ein Vektorraum immer bzgl. eines Körpers definiert und besitzt noch eine additive Verknüpfung der Vektoren und eine multiplikative der Vektoren mit den Skalaren des Körpers. Beides fehlt mir in dem Artikel komplett. Ist die obige Aussage auf Wikipedia dann gleichzusetzen mit der folgenden?

Sei $\begin{eqnarray*} (E,\|\cdot\|) \end{eqnarray*}$ ein Banachraum, also ein $\begin{eqnarray*} (\mathbb{K},+,\cdot) \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} (E,\oplus,\odot) \end{eqnarray*}$ , der bzgl. der aus der Norm induzierten Metrik vollständig ist und $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{A},\mu) \end{eqnarray*}$ ein Maßraum, dann ist für $\begin{eqnarray*} 0<p<\infty \end{eqnarray*}$ die Menge
$\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^p(\Omega,\mathcal{A},\mu;E,\|\cdot\|):=\left\{ f\colon \Omega \to E: f\, {\rm ist\ messbar}\,, \int_\Omega \|f(x)\|^p \,{\rm d}\mu(x) < \infty \right\} \end{eqnarray*}$
ein Vektorraum $\begin{eqnarray*} (\mathcal{L}^p,\oplus,\odot) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} (\mathbb{K},+,\cdot) \end{eqnarray*}$ .

16.09.2015, 19:13

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lp-Räume
Genau. Es überträgt sich die Vektorraumstruktur von E auf L^p. Das folgt daraus, dass man alles puntkweise definiert, d.h. zum Beispiel $\begin{eqnarray*} (f+g)(x) = f(x) + g(x) \end{eqnarray*}$ . Die Addition links ist die Definition und rechts die Addition ist die Addition auf E.

17.09.2015, 22:39

-Sirius-

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lp-Räume
Danke für deine Antwort!

Eine weitere kleine Frage hab ich dazu noch: Hat man als Ausgangspunkt den Vektorraum $\begin{eqnarray*} \mathcal{L}^p(\Omega,\mathcal{A},\mu;E,\|\cdot\|_E) \end{eqnarray*}$ , so definiert man nun die Äquivalenzrelation

$\begin{eqnarray*} R:=\{(f,g)\mid (f,g\in\mathcal{L}^p)\wedge (f=g\,\text{$\mu$-fast-überall})\} \end{eqnarray*}$

und daraus den Faktorraum

$\begin{eqnarray*} L^p(\Omega,\mathcal{A},\mu;E,\|\cdot\|_E):=\mathcal{L}^p(\Omega,\mathcal{A},\mu;E,\|\cdot\|_E)/R=\{[f]_R\mid f\in\mathcal{L}^p\} \end{eqnarray*}$ .

Auch dieser scheint nun ein Vektorraum $\begin{eqnarray*} (L^p,\oplus,\odot) \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} (K,+,\cdot) \end{eqnarray*}$ zu sein. Geh ich richtig in der Annahme, dass die Verknüpfungen von Äquivalenzklassen bzw. einer Äquivalenzklasse mit einem Skalar aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{K} \end{eqnarray*}$ wie folgt definiert ist?

$\begin{eqnarray*} [f]\oplus [g]=[f_i\oplus g_j]\quad\text{für bel. $f_i\in[f]$ und $g_j\in[g]$ mit $f_i,g_j\in\mathcal{L}^p(\Omega,\mathcal{A},\mu;E,\|\cdot\|_E)$} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha\odot[f]=[\alpha\odot f_i]\quad\text{für $\alpha\in\mathbb{K}$ und bel. $f_i\in[f]$ mit $f_i\in\mathcal{L}^p(\Omega,\mathcal{A},\mu;E,\|\cdot\|_E)$} \end{eqnarray*}$

Zumindest würde das für mich Sinn machen, da es ja egal ist, welche Mitglieder zweier Äquivalenzklassen man miteinander verknüpft; man landet immer in derselben Äquivalenzklasse ungleich [f] und [g]. Leider konnte ich das noch nirgends so nachlesen.

18.09.2015, 06:09

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lp-Räume
Alles richtig, außer

Zitat:

Zumindest würde das für mich Sinn machen, da es ja egal ist, welche Mitglieder zweier Äquivalenzklassen man miteinander verknüpft; man landet immer in derselben Äquivalenzklasse [bold]ungleich[/bold] [f] und [g].

.

Für $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ landet man in der gleichen Äquvialenzklasse.

Das sind übrigens die exakt gleichen Konstruktionen/Definitionen, die man für die üblichen $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ Räume (d.h. für $\begin{eqnarray*} E = \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} E = \mathbb C^n \end{eqnarray*}$ ) definiert.

Dass $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ wirklich ein Vektorraum ist, kann man sehr allgemein zeigen. Das ganze läuft dann unter dem Begriff Faktorraum (Wiki-Link).

18.09.2015, 23:18

-Sirius-

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lp-Räume

Zitat:

Original von IfindU
Für $\begin{eqnarray*} \alpha = 1 \end{eqnarray*}$ landet man in der gleichen Äquvialenzklasse.

Ja, da hast du Recht. Mit meiner Aussage hab ich mich explizit nur auf die Verknüpfung zweier Äquivalenzklassen bezogen.

Danke für den Link! Ist praktisch genau das, wonach ich gesucht habe. Um es ganz genau hinzuschreiben, müsste man eigentlich immer noch zusätzlich beschreibende Indizes an die Zeichen der Verknüpfungsoperationen setzen, also z.B.:

$\begin{eqnarray*} [f]\oplus_{L^2}[g]=[f\oplus_{\mathcal{L}^p}g]\quad\text{für }f\in[f]\text{ und }g\in[g]\text{ bel.} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha\odot_{L^2,\mathbb{K}}[f]=[\alpha\odot_{\mathcal{L}^p,\mathbb{K}}f]\quad\text{für }f\in[f]\text{ bel.} \end{eqnarray*}$

Wird zwar noch unübersichtlicher als es eh schon ist, aber zumindest hat man keine Doppeldeutigkeiten mehr drin, wie z.B. in der Wiki mit dem Zeichen +. Bin zwar kein Mathematiker, aber ich denke, das ganze mit Indizes zu schreiben ist gegen die allgemeine Konvention, wenngleich nich falsch?^^

19.09.2015, 07:42

IfindU

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lp-Räume
Die Indizese an die Verknüpfungen zu schreiben ist am Anfang wichtig und lehrreich. Und wenn es dir hilft, schreib ruhig alles explizit dazu.

Du beschäftigst bloss gerade mit einem Thema für "fortgeschrittene" Mathestudenten. Dort geht man davon aus, dass sowohl dem Schreiber, als auch dem Leser immer bewusst ist um welche Verknüpfung es sich handelt. Häufig werden Formeln so kompliziert, dass es einfach noch unleserlicher wird wenn man alles explizit mitschreibt. Als Beispiel. Für $\begin{eqnarray*} \alpha \beta \in \mathbb K, \quad f \in L^2 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} (\alpha \beta) f = \alpha ( \beta f) \end{eqnarray*}$ . Jetzt das ganze mit allen Verknüpfungen explizit ausgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} (\alpha \cdot_{\mathbb K } \beta) \odot_{L^2} f = \alpha \odot_{L^2} ( \beta \odot_{L^2} f) \end{eqnarray*}$ .

Die Formel wurde plötzlich doppelt so lang und "weniger intuitiv". Du kannst dir sicher vorstellen wie das aussieht wenn man wirklich damit arbeitet.

Übrigens $\begin{eqnarray*} f \in [f] \end{eqnarray*}$ ist "klar". Schreibe lieber $\begin{eqnarray*} f \in L^p \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ -- verwechselst du gerade ein wenig).

20.09.2015, 18:17

-Sirius-

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lp-Räume
Ja, unleserlich wird es da zum Teil sehr, auch ist es viel Schreibarbeit. Aber wie du schon sagst, wenn man nicht in der Materie drin ist - und das ist bei mir so - hilft es zum Verständnis von Zusammenhängen enorm.

Stimmt, hab ausversehen den $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ reingemischt, da ich zu dem Zeitpunkt mit Fourier-Reihen auf dem $\begin{eqnarray*} L^2 \end{eqnarray*}$ rumhantiert habe.

Danke nochmal für deine Hilfe!

Neue Frage »

Antworten »

Lp-Räume

Verwandte Themen