Gibt es eine bessere Version für diesen Beweis?

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niagu Auf diesen Beitrag antworten »
Gibt es eine bessere Version für diesen Beweis?
Meine Frage:
Vielen Dank, dass ihr mal reinschaut!

Hier habe ich einen Satz aus meinem Analysis Buch:

Beh: Es gibt r aus R: r^2 =2 und für alle q aus Q: q^2 ? 2.

Wie würdet ihr diese Beh. zeigen? Bitte schaut auch das Bild an, wie kommt er auf diese Def. c:= (2r+2)/(r+2)? 1(Beim Beweis ist öfters das Problem, dass ich selber einfach nicht draufkommt, was ich für meinen Beweis definieren soll, um ihn zu zeigen. )?

[attach]39091[/attach]

Meine Ideen:
Zur Def.: c:= 2r+2/r+2?1 Aus r>0 => 2r>r=> 2r+2>r+2
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gibt es eine bessere Version für diesen Beweis?
Willkommen im Matheboard!

Kannst du nochmal ein neues, besser lesbares Bild einstellen? An einigen Stellen kann ich nicht entziffern, was da stehen soll. Oder du schreibst die wichtigen Stellen hier auf. Dann aber bitte den Formeleditor benutzen, sonst kommt da wieder sowas raus:
Zitat:
Original von niagu
und für alle q aus Q: q^2 ? 2.

smile
niagu 1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gibt es eine bessere Version für diesen Beweis?
Zitat:
Original von niagu
Meine Frage:
Vielen Dank, dass ihr mal reinschaut!

Hier habe ich einen Satz aus meinem Analysis Buch:

Beh: Es gibt r aus R: r^2 =2 und für alle q aus Q: q^2 ? 2.

Wie würdet ihr diese Beh. zeigen? Bitte schaut auch das Bild an, wie kommt er auf diese Def. c:= (2r+2)/(r+2)>=1(Beim Beweis ist öfters das Problem, dass ich selber einfach nicht draufkommt, was ich für meinen Beweis definieren soll, um ihn zu zeigen. )?

[attach]39091[/attach]

Meine Ideen:
Zur Def.: c:= 2r+2/r+2>=1 Aus r>0 => 2r>r=> 2r+2>r+2



Es gibt r aus R: r^2 =2 und für alle q aus Q: q^2 =! 2.

Def. c:= (2r+2)/(r+2)>=1

[attach]39094[/attach]
lanvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gibt es eine bessere Version für diesen Beweis?
Vielen Dank für die ANtwort! Nun habe ich mich registriert! Ein sichtliches Bild wurde hochgeladen und die unklaren Stellen wurde ausgebessert. Danke!


Willkommen im Matheboard!
Du bist hier mit zwei Accounts angemeldet. Daher werden wir niagu demnächst löschen.
Gruß
Guppi12
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gibt es eine bessere Version für diesen Beweis?
Wieso hast du einen zweiten Account erstellt? Du hattest doch schon einen.


Gibt es eine Stelle im Beweis, die dir unklar ist? Oder was genau ist deine Frage dazu?


Zitat:
Original von niagu
Wie würdet ihr diese Beh. zeigen?

In dem Beweis, den ich kenne, zeigt man Eindeutigkeit und Existenz der Quadratwurzel einer Zahl (also nicht speziell für , sondern gleich allgemein für alle nicht-negativen Zahlen).
Eindeutigkeit: Wenn es zwei Zahlen gibt mit , dann gilt . Weil ein Produkt genau dann Null ist, wenn es einer der Faktoren ist, folgt daraus die Gleichheit von und .
Existenz: Man definiert . Diese Menge ist beschränkt, und für gilt natürlich . Man zeigt dann noch, dass nicht sein kann, also muss gelten.

Für den zweiten Teil (Irrationalität der Quadratwurzel von 2) findest du unzählige Seiten im Internet, die das genauso beweisen wie ich (und wohl auch viele andere hier) das tun würde, z.B. auf Wikipe
dia
. Das ist praktisch ein "Standardbeweis", den man immer wieder sieht.
lanvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gibt es eine bessere Version für diesen Beweis?
Vielen Dank für die Antwort! Nun habe ich diesen Beweis im Buch gefunden und habe einigen Stellen nicht verstanden.

Bitte schauen Sie das Bild an:

[attach]39112[/attach]

Die Unklarheiten:

Bitte erklären Sie mir ab x^p > a.

Wie ist er aus S. 2.21(Bernoullische Ungl.) zur (x-1/n)^p = (unklar!) x^p(1-1/nx)^p > x^p(1-p/nx) gekommen?

Und wieso n>max{1/x, p*x^p/x(x^p-a)} ? Bitte versuchen mir schritt für schritt erklären. Vielen Dank!
 
 
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gibt es eine bessere Version für diesen Beweis?
Zitat:
Original von lanvin
Wie ist er aus S. 2.21(Bernoullische Ungl.) zur (x-1/n)^p = (unklar!) x^p(1-1/nx)^p > x^p(1-p/nx) gekommen?

Da wurde zuerst ausgeklammert und dann ein Potenzgesetz verwendet:




Zitat:
Original von lanvin
Und wieso n>max{1/x, p*x^p/x(x^p-a)} ?

Das muss so groß gewählt werden, die die folgenden beiden Abschätzungen funktionieren:

Wenn man die Bernoulli-Ungleichung auf anwenden kann, muss sein (bzw. für die strikte Ungleichung ). Das bedeutet bzw. . Diese Voraussetzung wurde eigentlich schon etwas weiter oben benutzt: "Sei mit ..."

Und dann gilt noch folgendes:



Insgesamt kommt man also auf .


Übrigens duzen wir uns hier im Board. smile
lanvin Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gibt es eine bessere Version für diesen Beweis?
Vielen Dank für die Antwort! Entschuldige für die spätere Rückmeldung!

Nun verstehe ich nicht, warum man (x-1/n)^p > a annehmen kann? MfG!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wird nicht "angenommen", sondern das wurde doch an dieser Stelle gezeigt:

"Für gilt:
"
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