Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X

17.09.2015, 21:29

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X

Meine Frage:
Hallo Leute,
ich brauche ganz dringend eure Hilfe!
Folgendes Problem:
Habe volgende Geleichung mit vier Aufgaben:

f(x)= a*{ 0, für t<0
2-t^2, für 0<= t<= 1
2/t^4 für t>1

1. Unter welcher Bedingung für a erhält man eine Dichte?
2. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X
3. Ermitteln Sie Erwartungswert, 2tes Moment, Varianz und Median der Zufallsvariablen X
4. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(X<=2).

Meine Ideen:
zu 1
habe ich für a= 0,6 raus aber das habe ich nur für die erste Gleichung (2a-t^2a),ausgerechnet. Meine Frage hier, muss ich a auch seperat für die zweite Gleichung (a*(2/t^4))ausrechnen?

zu 2:
Ich weiß wie man die Verteilungsfunktion ausrechnet. Aber ich weiß nicht genau wie ich die zweite Gleichung
(a*(2/t^4)) betrachten soll.

Wenn ich die zweite Gleichung quasi ignoriere habe ich folgendes raus:
F(X)= { 0 für x<=0
(1/3)x^3+(2/3)x für 0<x<=1
1 für x<1

aber ich glaub ich kann die zweite Gleichung nicht einfach ignorieren.
Ich hoffe ihr könnt mir hier weiterhelfen.

Mit den letzten zwei Aufgaben habe ich mich noch nicht befasst, da ich die ersten beiden erst mal verstehen will!

17.09.2015, 23:23

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X
es gibt nur eine Funktion : $\begin{eqnarray*} f_a(x) = \begin{cases} \text {???} & x < 0 \\ 2a-x^{2a} & 0\leq x \leq 1 \\ 2a/x^4 & x > 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

und diese enthält nur einen Parameter.

Also ist zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty} ^{\infty}\, f_a(x)\, \dd x =1 \end{eqnarray*}$

18.09.2015, 08:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Bissel was durcheinander geraten am späten Abend...
Ich nehme an, du meinst $\begin{eqnarray*} f_a(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 2a-ax^2 & 0\leq x \leq 1 \\ \frac{2a}{x^4} & x > 1 \end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

18.09.2015, 12:21

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X
Hallo,
danke für eure Rückmeldung.

Ja Hall 9000 dass ist die Funktion die ich meine!

ich muss ja zuerst herausfinden was a ist. Laut meiner Rechnung kommt da 0,6 raus. Ist das jetzt richtig oder falsch?
Und wenn ich a habe kann ich erst die Verteilungsfunktion richtig ausrechnen. Aber leider weiß ich nicht genau wie ich das machen soll.
Ich glaube nämlich das die Verteilungsfunktion die ich ausgerechnet habe falsch ist.

18.09.2015, 13:08

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

0,6 ist falsch. Halte dich bitte genau an Dopaps Vorschlag: $\begin{align*} a \end{align*}$ muss so gewählt werden, dass $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_a(x) ~ \dd x = 1 \end{align*}$ erfüllt ist.

Bei einer intervallweise gegebenen Funktion wie diesem $\begin{align*} f_a \end{align*}$ hier bedeutet dies, dass auch dieses Integral für die Berechnung in eben jene Intervalle aufgeteilt wird, d.h., es ist

$\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_a(x) ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^0 0 ~ \dd x ~+~ \int\limits_0^1 (2a-ax^2) ~ \dd x ~+~ \int\limits_1^{\infty} \frac{2a}{x^3} ~ \dd x \end{align*}$ .

Das sollten nun aber genug Informationen sein, dass du die Berechnung von $\begin{align*} a \end{align*}$ erneut in Angriff nehmen kannst.

18.09.2015, 17:55

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Vielen Dank für diesen Hinweis, ich wusste nicht so recht wie ich diese beiden Funktionen miteinander "kombinieren" soll.

Also, ich habe die Integrale ausgerechnet und folgendes für die jeweiligen Integrale herausbekommen:

0 + (2a-1/3a) + 2/3a = 1
a*(7/3) = 1 |*3/7

a = 3/7

Ich hoffe das ich es jetzt richtig hab!!!

Anzeige

18.09.2015, 18:41

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist korrekt. Freude

Freude

Für die Verteilungfunktion ist nun $\begin{align*} F(t) = \int\limits_{-\infty}^t f(x) ~ \dd x \end{align*}$ für alle möglichen reellen $\begin{align*} t \end{align*}$ zu ermitteln. Dabei hilft die Eigenschaft

$\begin{align*} F(t) = F(t_0) + \int\limits_{t_0}^t f(x) ~ \dd x \end{align*}$ ,

wenn man sich bei intervallweise gegebenen Funktionen langsam vortasten will - als $\begin{align*} t_0 \end{align*}$ wird jeweils der linke Intervallrandpunkt des aktuell zu berechnenden Intervalls gewählt - das ist nämlich gleichzeitig der rechte Intervallrandpunkt des zuletzt berechneten Intervalls:

1) Für $\begin{align*} t\leq 0 \end{align*}$ kein Problem, da ist $\begin{align*} F(t)=0 \end{align*}$

2) Für $\begin{align*} 0\leq t\leq 1 \end{align*}$ nehmen wir $\begin{align*} t_0=0 \end{align*}$ , es ist dann $\begin{align*} F(t) = F(0) + \int\limits_0^t \frac{3}{7}(2-x^2) ~ \dd x \end{align*}$ .

3) Für $\begin{align*} t\geq 1 \end{align*}$ nehmen wir $\begin{align*} t_0=1 \end{align*}$ , es ist dann $\begin{align*} F(t) = F(1) + \int\limits_1^t \frac{6}{7x^4} ~ \dd x \end{align*}$ .

18.09.2015, 18:52

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank
Hoffe Sie könne mir auch hier weiter helfen:
Hab jetzt die zweite Aufgabe versucht
Aber auch hier bin ich mir nicht ganz sicher

$\begin{eqnarray*} t < 0 \Rightarrow 0<br /> <br /> 0\leq t\leq 1 \Rightarrow <br /> \int_{-\infty }^{0} \! 0 \, dx + \int_{0}^{t} \! \frac{6}{7} - \frac{3}{7}x^{2} \, dx = \frac{6}{7}t - \frac{1}{7}t^{3} <br /> <br /> t > 1<br /> \int_{- \infty }^{0} \! 0 \, dx + \int_{0}^{1} \! \frac{6}{7} - \frac{3}{7}x^{2}\, dx + \int_{1}^{t} \! \frac{6}{7x^{4} } \, dx = \frac{2}{7t^{4}} +1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t<1 <br /> 1 sonst \end{eqnarray*}$

Diese 4 Fälle habe ich dann raus.
Sind die Fälle richtig gewählt und richtig ausgerechnet?

18.09.2015, 18:54

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Oh den rest der Antwort habe ich jetzt erst gelesen...

18.09.2015, 18:55

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube genau so habe ich das gerade gerechnet... oder?

18.09.2015, 18:56

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Da hat sich wohl mein EDIT mit deinem Beitrag überkreuzt ... die Verteilungsfunktionswerte für die ersten beiden Fälle stimmen. Freude

Freude

Im letzten Fall $\begin{align*} t\geq 1 \end{align*}$ ist dir ein Fehler unterlaufen, und zwar einer, der bei einer kleinen Kontrollbetrachtung bereits "auffliegt": Verteilungsfunktionswerte dürfen NIE größer als 1 werden, was bei $\begin{align*} \frac{2}{7t^4}+1 \end{align*}$ aber der Fall wäre...

18.09.2015, 19:00

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh stimmt!

Ok ich schau nochmal drüber und hoffe das ich den Fehler finde.
Sind die Grenzen bei mir denn richtig gewählt?

18.09.2015, 19:06

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den Fehler gefunden!!!

habe jetzt folgendes für das dritte raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{7} + \frac{2}{7t^{3} } \end{eqnarray*}$

Hoffe inständig das dass jetzt richtig ist!!! geschockt

geschockt

das vierte sollte aber auch stimmen

18.09.2015, 19:06

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathehilfedringend
Sind die Grenzen bei mir denn richtig gewählt?

Das stimmt schon soweit - du musst dich beim letzten Teilintegral verrechnet haben.

18.09.2015, 19:09

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt es immernoch nicht?

18.09.2015, 19:19

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Es stimmt immer noch nicht - richtig ist $\begin{align*} 1-\frac{2}{7t^3} \end{align*}$ .

Bei $\begin{align*} \frac{3}{7} + \frac{2}{7t^3} \end{align*}$ versagen gleich zwei Kontrollen:

(a) das ist streng monoton fallend statt wachsend

(b) der Grenzwert für $\begin{align*} t\to\infty \end{align*}$ ist nicht 1.

18.09.2015, 19:34

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja jetzt hab ichs.

Habe beim Ableiten einen Fehler gemacht!!

Danke!!

Ich versuch mich jetzt mal an die Aufgabe 3
Ich danke dir vielmals das du mir bis hier her geholfen hast.
Ich meld mich gleich weider!

18.09.2015, 19:58

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Also
ich hab mich jetzt erst mal an den Erwartungswert und an die Varianz gemacht.
habe folgendes ausgerechnet:

Erwartungswert:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{0} \! 0 * x \, dx + \int_{0}^{1} \! x*\left(\frac{6}{7} - \frac{3}{7 }x^{4} \right) \, dx + \int_{1}^{\infty } \! x*(\frac{6}{7x^{4}} ) \, dx = \frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Varianz:
$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty }^{0} \! 0 * x^{2} \, dx + \int_{0}^{1} \! x^{2} *\left(\frac{6}{7} - \frac{3}{7 }x^{4} \right) \, dx + \int_{1}^{\infty } \! x^{2} *(\frac{6}{7x^{4}} ) \, dx - \left(\frac{3}{4} \right)^{2} = \frac{277}{560} \end{eqnarray*}$

Richtig soweit?

18.09.2015, 20:24

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt. Freude

Freude

18.09.2015, 22:06

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!

Kannst du mir vielleicht sagen, wie man den Median ausrechnet? Mit der Formel im Binomi kann ich nicht viel anfangen...

18.09.2015, 23:25

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn X deine Zufallsvariable und $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ deine gerade berechnete Verteilungsfunktion von X ist, dann liefert

$\begin{eqnarray*} F_X^{-1}(\tfrac 12)=\inf\{x\in \mathbb R \, | \, P(x)\geq \tfrac 12 \} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} F_X^{-1}(x) \end{eqnarray*}$ ist Umkehrfunktion zu $\begin{eqnarray*} F_X(x) \end{eqnarray*}$ , den Median.

vereinfacht ausgedrückt: schneide $\begin{eqnarray*} y=F_X(x) \quad \text {mit}\quad y=\tfrac 12 \end{eqnarray*}$

19.09.2015, 00:25

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey danke,

sag mal muss ich dann $\begin{eqnarray*} F_{X}(x) \end{eqnarray*}$ als integrale darstellen? so wie ich am anfang versucht habe das a auszurechnen? und das gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ setzte?

also quasi:
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1} \! \frac{6}{7}t - \frac{1}{7}t^{3} \, dx + \int_{1}^{\infty} \! \frac{-2}{7t^{4}} +1 \, dx \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Hoffe das ich das richtig verstanden hab...

19.09.2015, 00:33

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast doch $\begin{align*} F \end{align*}$ schon ausgerechnet - schon wieder vergessen?

$\begin{align*} F(t) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\; t<0\\ \frac{6t-t^3}{7} & \;\mbox{für}\; 0\leq t\leq 1\\ 1-\frac{2}{7t^3} & \;\mbox{für}\; t>1\end{cases} \end{align*}$

Jetzt musst du die Stelle finden, für die $\begin{align*} F(t)=\frac{1}{2} \end{align*}$ gilt. Da ist zunächst zu klären, in welchem der drei Definitionsintervalle die liegt:

Im ersten sicher nicht. Ob nun im zweiten oder dritten, kann man sehr gut anhand von $\begin{align*} F(1)=\frac{5}{7} \end{align*}$ sehen...

19.09.2015, 01:03

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dann im zweiten.

Ich weiß aber nicht so recht ob ich das richtig verstanden hab, wenn ich ehrlich sein soll.

ich hab jetzt die zweite Gleichung = 0,5 gesetz und quasi t ausgerechnet. da kommt was mit 0,6238 raus und das liegt ja dann im Intervall von 0<=t<=1
also nehme ich mal an das es die zweite Gleichung ist...

19.09.2015, 07:45

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathehilfedringend

[...] also nehme ich mal an das es die zweite Gleichung ist...

Das brauchst du nicht anzunehmen, das ist von vorneherein sicher.
Die Verteilungsfunktion ist im 2.Intervall streng monoton steigend .

Nun, der rechte Rand des Intervalls hat den Wert
$\begin{eqnarray*} F_X(1)=\frac 57 \approx 0.71 > 0.5 \end{eqnarray*}$ woraus folgt, dass der Median links davon liegen muss (!!) .

Und deine Rechnung bestätigt das auch.

hier der Graph der Verteilungsfunktion im 2. Intervall:

Ist das so besser verständlich ?

19.09.2015, 08:27

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

(bitte löschen)

19.09.2015, 14:23

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank!!!
Der Graph hat da sehr geholfen!!!

19.09.2015, 14:28

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab mich dann auch gleich mal an die letzte Aufgabe gemacht!

Ich bin mir aber auch hier wiedermal nicht ganz so sicher.

Ich hab das jetzt so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} P\left(X\leq 2\right) = -\frac{2}{7*2^{4} } +1 = \frac{55}{56} \end{eqnarray*}$

Hier ist x ja größer als 1 also muss ich dafür ja dann das zweite Intervall wählen...oder?

19.09.2015, 16:31

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Freude

19.09.2015, 18:14

mathehilfedringend

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank euch beiden für diese wahnsinns Hilfe!!

19.09.2015, 20:05

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

Bitt'schön , das hören wir gerne ! Wink

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »