Nullstellen

18.09.2015, 15:30

Simon767

Nullstellen

Hallo zusammen smile

Ich verzweifle gerade an einer Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f(z) = z^{4}-2z^{2}+z-1 \in C \end{eqnarray*}$ . Geben Sie ein R>0 an, so dass für alle Nulstellen von f gilt, dass ihr Betrag kleiner ist als R.

Bin über jeden Tipp froh! Weiß nämlich nicht, wie ich da vorgehen soll...

18.09.2015, 15:42

Captain Kirk

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Hallo,

das klingt für mich nach einer Übungsaufgabe zum Satz von Rouche

18.09.2015, 15:45

HAL 9000

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Ich kenne es als https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Gerschgorin .

Wobei zumindest für $\begin{align*} R=\max\left\{1,\sum_{j=0}^{n-1} |p_j|\right\} \end{align*}$ der Beweis ziemlich einfach ist (ein bisschen Abschätzung mit Dreiecksungleichung, mehr nicht).

23.09.2015, 09:55

Simon767

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Danke für die Antworten.

Der Satz von Rouche besagt:
Sei $\begin{eqnarray*} U\subset C \end{eqnarray*}$ offen, sei $\begin{eqnarray*} z_0\in U \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B(z_0,r)\subset U \end{eqnarray*}$ . Seien $\begin{eqnarray*} f,g:U\to C \end{eqnarray*}$ holomorph mit
$\begin{eqnarray*} | f(z)-g(z) |<| f(z) | \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z\in S(z_0,r) \end{eqnarray*}$ .
dann haben f und g in $\begin{eqnarray*} B(z_0,r) \end{eqnarray*}$ gleich viele Nulstellen (unter Berücksichtigung der Vielfachheiten)

Also muss ich erstmal untersuchen, ob f(z) holomorph ist, oder?

23.09.2015, 11:17

Guppi12

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Hallo,

nein, der Satz von Rouché ist ein viel zu schweres Geschütz für diese Aufgabe.

Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung kannst du $\begin{eqnarray*} |f(z)|\geq |z|^4-2|z|^2-|z|-1 \end{eqnarray*}$ folgern. Und jetzt musst du bloß noch ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ finden, so dass das größer ist als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|>R \end{eqnarray*}$ .

23.09.2015, 11:56

Simon767

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Also die umgekehre Dreiecksungleichung für komplexe Zahlen lautet:

$\begin{eqnarray*} ||z_1|-|z_2|| \leq |z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2| \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich jetz hieraus deine Ungleichung folgern? verwirrt

23.09.2015, 12:05

Guppi12

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Außerdem kannst du natürlich noch ganz links an die Ungleichung $\begin{eqnarray*} |z_1|-|z_2| \end{eqnarray*}$ anhängen. Wir haben also $\begin{eqnarray*} |z_1+z_2| \geq |z_1|-|z_2| \end{eqnarray*}$ . Das sieht doch schon so ähnlich aus, wie das, was wir haben wollen. Versuche jetzt, $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ so aufzuteilen, dass man diese Ungleichung gewinnbringend einsetzen kann. Du wirst noch in einem nächsten Schritt die gewöhnliche Dreiecksungleichung anwenden müssen.

23.09.2015, 12:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Guppi12
Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung kannst du $\begin{eqnarray*} |f(z)|\geq |z|^4-2|z|^2-|z|-1 \end{eqnarray*}$ folgern. Und jetzt musst du bloß noch ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ finden, so dass das größer ist als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|>R \end{eqnarray*}$ .

Eigentlich ist das genau die Idee, die hinter dem oben erwähnten $\begin{align*} R=\max\left\{1,\sum_{j=0}^{n-1} |p_j|\right\} \end{align*}$ steckt. Vielleicht kannst du es ja nun eher vermitteln.

23.09.2015, 12:58

Simon767

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Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ich für z_1 und z_2 einsetzen darf.. Etwa f(z_1) und f(z_2)?

23.09.2015, 13:04

Guppi12

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Du willst doch eigentlich $\begin{eqnarray*} |z^4-2z^2+z-1| \end{eqnarray*}$ abschätzen. Das heißt doch, du musst $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \end{eqnarray*}$ so wählen, dass $\begin{eqnarray*} z_1+z_2 = z^4-2z^2+z-1 \end{eqnarray*}$ gilt, wenn du obige Abschätzung verwenden willt, etwa $\begin{eqnarray*} z_1 = z^4-2z^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_2 = z-1 \end{eqnarray*}$ . (Dies ist aber nicht die geschickteste Wahl, probiere halt etwas herum, welche Aufteilung passend sein könnte.)

@Hal: Ist mir bewusst, danke. Ich möchte erstmal den Spezialfall durchgehen, da es damit scheinbar schon genug Schwierigkeiten gibt. Am Ende kann ich (oder du) gerne vorführen, wie es allgemein funktioniert.

27.09.2015, 00:23

Simon767

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Also erstens verstehe ich nicht, wieso der Betrag der Nulstellen mit dem Betrag der Funktion gleich gesetzt werden darf?

weiter verstehe ich nicht, wieso $\begin{eqnarray*} |z|>R \end{eqnarray*}$ sein muss? Der Betrag sollte doch kleiner sein

Und mit der Dreiecksungleichung komm ich nicht weiter.. egal auf welche weise ich es probiere, es kommt nicht $\begin{eqnarray*} |f(z)|\geq |z|^4-2|z|^2-|z|-1 \end{eqnarray*}$ als Folgerung dabei raus.

Und ich wollte noch fragen, ob dr Satz von Rouche hier überhaupt eine möglichkeit wäre, weil wir ja ein R suchen, und keine Kreisscheibe haben...

27.09.2015, 12:34

Guppi12

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Ja, man könnte die Aufgabe auch mit dem Satz von Rouché lösen. Dafür muss man aber genauso abschätzen, einfacher wird es dadurch nicht. Was gegen den Satz von Rouché spricht, ist, dass man diesen meist im 4. oder auch mal im 3. Semester behandelt, je nachdem, wann Funktionentheorie an der Reihe ist. Diese Aufgabe hier ist aber gut mit Methoden des ersten Semesters lösbar und zwar nicht nur theoretisch (wie etwa auch jede BWM-Aufgabe mit diesen Methoden lösbar ist), sondern auch vom Schwierigkeitsgrad her angemessen.

Also nochmal ganz von vorne. Wir wollen eine Abschätzung $\begin{eqnarray*} |f(z)| > c \end{eqnarray*}$ für irgendein $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ , die dann für alle $\begin{eqnarray*} |z|\geq R \end{eqnarray*}$ gilt, denn dann haben wir ja insbesondere, dass $\begin{eqnarray*} f(z) \neq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|\geq R \end{eqnarray*}$ . Anders herum müssen dann alle Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einen Betrag kleiner als $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ haben, denn für größeren Betrag gibt es keine Nullstellen mehr. Hast du jetzt zumindest verstanden, worauf wir hinaus wollen und was uns diese Abschätzung bringt?

27.09.2015, 14:31

Simon767

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okee.. aber idas ist jetz auch eine Aufgabe aus der Funktionentheorie Vorlesung, also glaub ich, dass man auch den Satz von Rouche verwenden sollte..

Ich komm damit leider nicht klar.. ich kann ja für z nichts einsetzen! wie soll ich dann da eine Abschätzung machen?

27.09.2015, 14:39

Guppi12

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Etwas Eigenleistung muss ich hier schon erwarten dürfen, tut mir Leid. Gerade wenn du eine Vorlesung zur Funktionentheorie hörst, sollten diese Grundlagen eigentlich sitzen und bisher ist von dir selbst noch nichts zur Lösung der Aufgabe gekommen.

Gehen wir mal davon aus, du hättest bereits die Abschätzung $\begin{eqnarray*} |f(z)|\geq |z|^4-2|z|^2-|z|-1 \end{eqnarray*}$ , um diese können wir uns ja danach noch kümmern.

Kannst du damit nicht ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ angeben, sodass für $\begin{eqnarray*} |z|>R \end{eqnarray*}$ der rechte Ausdruck größer ist als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ?

Vereinfachen wir uns die Sache zunächst mal, damit du das Prinzip verstehst. Angenommen, dort würde nicht $\begin{eqnarray*} |z|^4-2|z|^2-|z|-1 \end{eqnarray*}$ , sondern nur $\begin{eqnarray*} 2|z|-1 \end{eqnarray*}$ stehen. Dieser Ausdruck wäre dann für alle $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|>\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ größer als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ , weil dann $\begin{eqnarray*} 2|z|-1 > 2\frac{1}{2}-1 = 0 \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe, es ist jetzt das Prinzip klar geworden, was mit so einer Abschätzung gemeint ist. Jetzt finde so eine Abschätzung für den komplizierteren Ausdruck.

27.09.2015, 15:25

Sunshine121

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Ich weiß das dies Grundlagen aus der Analysis sind...
Aber es ist nicht einfach sich wieder in die Materie hineinzuarbeiten, wenn man auf Grund von perönlichen Gründen sich ein Jahr nicht mit der Materie beschäftigen konnte

Dein beispiel verstehe ich! Aber ich kann es nicht auf das kompliziertere anwenden!
Der wert, für den der Term 0 wird, liegt irgendwo zwischen 1,710 und 1,711 (hab ich mit dem Taschenrechner ausprobiert) Aber Ich hab überhaupt keine Ahnung, wie ich selbst daraf kommen soll, geschweige denn, wie ich diesen Term auflösen kann..

Und zudem versteh ich nicht wieso $\begin{eqnarray*} |z|^4-2|z|^2-|z|-1 \end{eqnarray*}$ abgeschätzt wird.. müsste es nicht theoretisch $\begin{eqnarray*} |z|^4-2|z|^2+|z|-1 \end{eqnarray*}$ (Wie in der Aufgabe) ?

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