Unterschied zwischen zwei Aussagen?

20.09.2015, 17:23

wasimmer

Unterschied zwischen zwei Aussagen?

Meine Frage:
Ich habe mehrere Aussagen, von denen ich sagen muss, ob sie richtig sind oder nicht:

A1) $\begin{eqnarray*} \forall x \in N \exists y \in N : x < y \end{eqnarray*}$

A2) $\begin{eqnarray*} \exists y \in N \forall x \in N : x < y \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß auf jeden Fall, dass A1 richtig ist, da es in N unendlich Zahlen gibt und daher auf jede Zahl eine weitere folgt.

Bei A2 bin ich nicht mehr so sicher.
Zuerst dachte ich, dass A2 falsch ist, weil wenn y=1 -> x=0 und 0 ist bei uns nicht Teil der natürlichen Zahlen.

Jetzt habe ich bei einem Kollegen gesehen, dass er glaubt, dass es die gleiche Aussage wie in A1 ist, nur umgekehrt formuliert.

Das hat mich jetzt irritiert und ich bin mir jetzt nicht mehr sicher, was stimmt.
Kann man bei den Aussagen einfach so $\begin{eqnarray*} \forall x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists y \end{eqnarray*}$ vertauschen, ohne dass sich die Aussage ändert?

20.09.2015, 17:30

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Unterschied zwischen zwei Aussagen?

Zitat:

Original von wasimmer
Kann man bei den Aussagen einfach so $\begin{eqnarray*} \forall x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists y \end{eqnarray*}$ vertauschen, ohne dass sich die Aussage ändert?

Natürlich nicht.
Formuliere doch die zweite Aussage in Worten, also ohne logische Zeichen. Warum ist sie falsch?

21.09.2015, 11:14

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Unterschied zwischen zwei Aussagen?
Vielleicht mal ein etwas anschaulicheres Beispiel:

Mach dir mal den Unterschied kklar zwischen $\begin{eqnarray*} \forall\text{Mann}\exists\text{Frau} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \exists\text{Frau}\forall\text{Mann} \end{eqnarray*}$

21.09.2015, 15:48

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Math1986

Dieses Beispiel hast du schon einmal gebracht. Es ist natürlich scherzhaft gemeint, dennoch stört mich etwas. Du quantifizierst mit Hilfe des Existenz- und des Allquantors. Aber worüber quantifizierst du? Da fehlt doch etwas.

21.09.2015, 15:58

Telperien

Auf diesen Beitrag antworten »

Er will sagen, es macht einen Unterschied, ob
für jeden Mann eine Frau existiert wo die Beziehung "Mann liebt Frau" gilt
oder
eine Frau existiert bei der bei allen Männer gilt "Mann liebt Frau"
Big Laugh

Aber ja, schon ungenau definiert Big Laugh

21.09.2015, 16:20

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann nehmen wir also die Menge $\begin{align*} M \end{align*}$ aller Männer, die Menge $\begin{align*} F \end{align*}$ aller Frauen und die möglicherweise nicht symmetrische Relation $\begin{align*} L \end{align*}$ , wo $\begin{align*} x \, L \, y \end{align*}$ besteht, wenn $\begin{align*} x \end{align*}$ $\begin{align*} y \end{align*}$ liebt. Dann haben wir die beiden Aussagen:

$\begin{align*} \text{(1)} \ \ \forall \, x \in M \, \exists \, y \in F: \ x \, L \, y \end{align*}$

$\begin{align*} \text{(2)} \ \ \exists \, y \in F \, \forall \, x \in M: \ x \, L \, y \end{align*}$

Jetzt stimmt es. Aber der Witz ist kaputt. So sind wir Mathematiker halt ...

21.09.2015, 17:52

Telperien

Auf diesen Beitrag antworten »

Lieben ist doch definitiv keine symmetrische Relation
Der Witz ist nicht kaputt, nur versteckt

21.09.2015, 18:42

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Telperien
1. Lieben ist doch definitiv keine symmetrische Relation Big Laugh

Sicher wahr, sonst wäre nicht nur die Weltliteratur um einige Themen ärmer.
Andererseits wollen wir hoffen, daß bei Verkleinerung von $\begin{align*} M \end{align*}$ und $\begin{align*} F \end{align*}$ die Restriktion von $\begin{align*} L \end{align*}$ zumindest temporär symmetrisch ist. Wie man den zeitlichen Umstand allerdings mit mathematischer Logik faßt, vermag ich nicht zu sagen.

Zitat:

Original von Telperien
2. Der Witz ist nicht kaputt, nur versteckt Augenzwinkern

Hanu! Das ist ja der Witz! Niemand außer uns Mathematikern versteht ihn. Alle andern schütteln nur verständnislos den Kopf. Und wir schauen bierernst darein und lachen vergnügt in uns hinein.

Neue Frage »

Antworten »

Unterschied zwischen zwei Aussagen?

Verwandte Themen