Teilmenge der komplexen Zahlen

20.09.2015, 18:50

wasido

Teilmenge der komplexen Zahlen

Meine Frage:
Welche Teilmenge der komplexen Zahlen wird hier dargestellt?
$\begin{eqnarray*} \frac{|z+4|}{|z-4|} <3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
meine Vermutung wäre
$\begin{eqnarray*} \left[0;1\right[ \end{eqnarray*}$

bin mir aber nicht sicher und kann es auch nicht wirklich begründen.

20.09.2015, 19:34

Captain Kirk

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Hallo,

z.B. erfüllen 9,-1 die Ungleichung. Deine Antwort ist also nicht mal für reelle Zahlen richtig.
Benutze die Defintion des komplexen Betrags: $\begin{eqnarray*} |z|^2=\overline{z}z \end{eqnarray*}$

20.09.2015, 20:19

HAL 9000

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Alternativ kannst du auch $\begin{align*} z=x+iy \end{align*}$ einsetzen und umformen. Bei beiden Vorschlägen ist es jedenfalls zweckmäßig, zunächst die Ungleichung mit $\begin{align*} |z-4| \end{align*}$ zu multiplizieren.

20.09.2015, 22:42

wasido

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hab das jetzt mal durchgerechnet

$\begin{eqnarray*} |z+4| < 3 * |z-4| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |x+iy+4|<3*|x+iy-4| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(x+4)²+y²} < 3 *\sqrt{(x-4)²+y²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{x²+8x+16+y²} < 3*\sqrt{x²-8x+16+y²} |² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²+8x+16+y² < 9*(x²-8x+16+y²) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x²+8x+16+y² < 9x²-72x+144+9y² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -128<8x²-80x+8y² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -16<x²-10x+y² \end{eqnarray*}$

Das hilft mir nicht viel und ich weiß nicht, wie ich das anders machen soll

20.09.2015, 23:55

Dangalf

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Zitat:

Original von wasido

Das hilft mir nicht viel und ich weiß nicht, wie ich das anders machen soll

Dann sollten Dir die Stichworte "Kreisgleichung" und "quadratische Ergänzung" weiterhelfen. Die Rechnung ist, soweit ich sehe, bisher richtig.

21.09.2015, 16:26

wasido

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kreisgleichung r²=x²+y², wenn ich das einsetze dann habe ich stehen

$\begin{eqnarray*} -16<r²-10x \end{eqnarray*}$

jetzt habe ich wieder zwei unbekannte, wie kann ich da die quadratische Ergänzung anwenden?

21.09.2015, 16:47

Leopold

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Hintergrund:

Gerne verweise ich in diesem Zusammenhang auf den Kreis des Apollonios. Ersetze im Link

den Punkt $\begin{align*} X \end{align*}$ durch den Punkt $\begin{align*} z \end{align*}$
den Punkt $\begin{align*} A \end{align*}$ durch den Punkt $\begin{align*} -4 \end{align*}$
den Punkt $\begin{align*} B \end{align*}$ durch den Punkt $\begin{align*} 4 \end{align*}$
das Verhältnis $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ durch $\begin{align*} 3 \end{align*}$

Dann hast du, einmal abgesehen davon, daß ein Gleichheitszeichen statt eines Kleinerzeichens steht, die Situation der Aufgabe vor dir.

21.09.2015, 18:53

HAL 9000

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@wasido

Keiner hat gesagt, dass der Kreismittelpunkt der Ursprung ist. Die allgemeine Kreisgleichung in der Ebene lautet

$\begin{align*} (x-x_M)^2 + (y-y_M)^2 = r^2 \end{align*}$ ,

dabei ist $\begin{align*} (x_M,y_M) \end{align*}$ der Mittelpunkt und $\begin{align*} r \end{align*}$ der Radius.

"Quadratische Ergänzung" bezieht sich jetzt hier natürlich auf die $\begin{align*} x \end{align*}$ -Terme, d.h.

$\begin{align*} -16+25 < (x^2-10x+25) + y^2 \end{align*}$

$\begin{align*} 9 < (x-5)^2 + y^2 \end{align*}$ .

Und jetzt solltest du selbst sehen, zu welchem Kreis das gehört.

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