Faltungsformel für Dichten Verständnisproblem

20.09.2015, 21:10

Mathelover

Faltungsformel für Dichten Verständnisproblem

Liebe Boardies,

wir haben die Faltungsformel für Dichten folgendermaßen definiert.

Sind $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray*} \lambda^1 \end{eqnarray*}$ -Dichten $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , so besitzt $\begin{eqnarray*} X+Y \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \lambda^1 \end{eqnarray*}$ -Dichte

$\begin{eqnarray*} f * g(s) := \int_{-\infty}^{\infty}g(s-x)f(x)dx \end{eqnarray*}$

1. Frage: Was heißt das Symbol $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} f*g(s) \end{eqnarray*}$ ?
2. Frage: Warum $\begin{eqnarray*} g(s-x) \end{eqnarray*}$ ?
3. Frage: Was muss ich bei dem Integral ändern, wenn ich die Faltung für $\begin{eqnarray*} X-Y \end{eqnarray*}$ betrachte?

Ich hoffe ihr könnt mir bei diesen Fragen helfen.

Beste Grüße,

21.09.2015, 10:14

HAL 9000

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Zur 1.Frage: Es heißt einfach Faltung.

Zur 2.Frage: Sauber und gleichzeitig einigermaßen verständlich ist eine Herleitung über den Transfomationssatz (hier näheres dazu).

Mit dem ermittelt man zunächst die gemeinsame Dichte des transformierten Zufallsvektors $\begin{align*} (X,X+Y) \end{align*}$ gemäß $\begin{align*} f_{X,X+Y}(x,s) = f_{X,Y}(x,s-x) \end{align*}$ .

Anschließend betrachtet man die Randdichte bzgl. der zweiten Komponente, d.h., man integriert die erste Komponenten $\begin{align*} x \end{align*}$ weg:

$\begin{align*} f_{X+Y}(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X,X+Y}(x,s) ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,s-x) ~ \dd x \end{align*}$

Diese Faltungsformel gilt für beliebige stetig verteilte Zufallsvektoren $\begin{align*} (X,Y) \end{align*}$ . Sind die Komponenten zudem unabhängig, kann man noch das dann gültige $\begin{align*} f_{X,Y}(x,s-x) = f_X(x)\cdot f_Y(s-x) = f(x)\cdot g(s-x) \end{align*}$ einsetzen.

Zur 3.Frage: Es ist $\begin{align*} X+Y = X+(-Y) \end{align*}$ und $\begin{align*} (-Y) \end{align*}$ besitzt die Dichte $\begin{align*} g(-y) \end{align*}$ , was auch mit dem Transformationssatz begründbar ist.

Damit gilt dann $\begin{align*} f_{X-Y}(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(-(s-x))f(x) ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} g(x-s)f(x) ~ \dd x \end{align*}$ .

21.09.2015, 13:11

Mathelover

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Danke für die ausführliche Antwort Freude

Zur Frage 3 habe ich noch eine Frage.

Bei einer Aufgabe heißt es in der Musterlösung:

Nach der Faltungsformel besitzt $\begin{eqnarray*} Z = X-Y \end{eqnarray*}$ die Dichte:

$\begin{eqnarray*} f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} = f_X(z+t)f_Y(t) \ dt<br /> \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Faltungsformel für $\begin{eqnarray*} X-Y \end{eqnarray*}$ von dir verwende, also gerade: $\begin{eqnarray*} f_{X-Y}(s) = \int_{-\infty}^{\infty} f_Y(x-s)f_X(x) \ dx<br /> \end{eqnarray*}$ , erhalte ich ein anderes Ergebnis, als in der Musterlösung.

Besten Dank!

21.09.2015, 14:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathelover
Nach der Faltungsformel besitzt $\begin{eqnarray*} Z = X-Y \end{eqnarray*}$ die Dichte:

$\begin{eqnarray*} f_Z(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(z+t)f_Y(t) \ dt \end{eqnarray*}$

Mit demselben Argument $\begin{align*} s \end{align*}$ wie oben geschrieben also

$\begin{align*} f_Z(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(s+t)f_Y(t) ~ \dd t \end{align*}$

Substituieren wir hier $\begin{align*} t=x-s \end{align*}$ dann erhalten mit $\begin{align*} \dd t = \dd x \end{align*}$ schließlich.

$\begin{align*} f_Z(s) = \int\limits_{-\infty}^{\infty} f_X(x)f_Y(x-s) ~ \dd x \end{align*}$ .

Such deinen Rechenfehler also woanders als in der Formel. Augenzwinkern

EDIT: Vielleicht liegt der Fehler daran: Wenn deine Dichteformeln beide nur für positive Argumente gültig sind (und ansonsten Dichtewert 0), dann musst du das beim Einsetzen natürlich beachten, d.h. für $\begin{align*} s>0 \end{align*}$ dann

$\begin{align*} f_Z(s) = \int\limits_0^{\infty} f_X(s+t)f_Y(t) ~ \dd t = \int\limits_s^{\infty} f_X(x)f_Y(x-s) ~ \dd x \end{align*}$ .

21.09.2015, 14:41

Mathelover

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In der Tat du hast Recht (Exponentialverteilt) Wink

Ich danke dir vielmals!

21.09.2015, 15:52

Leopold

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RE: Faltungsformel für Dichten Verständnisproblem

Zitat:

Original von Mathelover
wir haben die Faltungsformel für Dichten folgendermaßen definiert.

Sind $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray*} \lambda^1 \end{eqnarray*}$ -Dichten $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , so besitzt $\begin{eqnarray*} X+Y \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \lambda^1 \end{eqnarray*}$ -Dichte

$\begin{eqnarray*} f * g(s) := \int_{-\infty}^{\infty}g(s-x)f(x)dx \end{eqnarray*}$

Vielleicht sollte man der Vollständigkeit halber darauf hinweisen, daß in diesen paar Worten sowohl ein beweisbarer Satz als auch eine nicht beweisbare, höchstens motivierbare Definition versteckt sind.

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