Untervektorraum Beweis

21.09.2015, 20:05	Haeusmeister	Auf diesen Beitrag antworten »
Untervektorraum Beweis Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} S = \left\{ Ax\|x\in \mathbb R^{n} \right\} \end{eqnarray}$ wobei A eine gegebene Matrix darstellt. Zeige das S ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{n} \end{eqnarray}$ ist! Meine Ideen: Bedingungen für einen Untervektorraum: 1) $\begin{eqnarray} S\neq 0 \end{eqnarray}$ 2) $\begin{eqnarray} u+w\in S \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} \alpha \cdot u\in S \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} u, w \in S \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray}$ Wie genau kann ich das jetzt für diesem speziellen Fall nachweisen? Vielen Dank für eure Hilfe.
21.09.2015, 20:39	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingung 1) kannst du leicht bestätigen. Für die 2) und 3) musst du dir klarmachen, dass es für Elemente $\begin{eqnarray} x,y\in S \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} v,w\in\mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ gibt, mit $\begin{eqnarray} x=Av \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=Aw \end{eqnarray}$ .
21.09.2015, 20:52	Haeusmeister	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, aber das hilft mir jetzt nicht wirklich weiter. Du sagst, dass es für Elemente $\begin{eqnarray} x,y\in S \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} v,w \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray}$ gibt, mit $\begin{eqnarray} x=Av \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=Aw \end{eqnarray}$ . Quasi handelt es sich bei x und y um eine linear kombination aus A und v bzw. w. Wie genau bringt mich das weiter?
22.09.2015, 07:47	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Für 1) musst du nur zeigen, dass der Nullvektor drin liegt. Jetzt sei $\begin{eqnarray} \alpha\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Dann musst du $\begin{eqnarray} x+y\in S \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha\cdot x\in S \end{eqnarray}$ zeigen. Mit der von mir genannten Darstellung ist dann $\begin{eqnarray} x+y=Av+Aw=\dots \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \alpha\cdot x=\alpha\cdot Av=\dots \end{eqnarray}$ , nun brauchst du nur noch die Rechenregel für Matritzen anwenden und die Tatsache, dass $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ ein Vektorraum ist.

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