Klassenzahl von Q[i]

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Borsk Auf diesen Beitrag antworten »
Klassenzahl von Q[i]
Hey,

ich habe in meinem alten Algebra-Skript eine Rechnung gefunden, die ich nicht mehr ganz verstehe:

Wir haben da gezeigt, dass die Klassenzahl des Zahlkörpers Q[i]=1 ist (d.h. dass der Zahlring Hauptidealring ist). Der Rechenweg war folgender:

Wir haben zuerst gezeigt, dass jede Idealklasse von Z[i] ein Ideal I enthalten muss, sodass für den Faktorring |Z[i]/I|<=4 gilt.

Dann haben wir eine Fallunterscheidung gemacht:

1. |Z[i]/I|=2, dann ist Z[i]/I ein Körper und I ein Primideal (das ist mir klar)
und ab jetzt verstehe ich die Vorangehensweise nicht mehr:
Wir faktorisieren jetzt (2)=(1+i)^2 und schließen daraus, dass das einzige Ideal I mit |Z[i]/I|=2 das Ideal (1+i) , ein Hauptideal, ist. Ich meine mir ist klar, dass das der Fall ist, aber warum folgt das aus (2)=(1+i)^2? Was hat das Ideal (2) damit zu tun? Anscheinend gibt es da eine Art Zusammenhang, denn es geht weiter mit

2.|Z[i]/I|=3, aber es kann kein solches Ideal geben, da (3) prim in Z[i] ist.

3. |Z[i]/I|=4, aber es gibt kein solches Ideal, da (2) nicht prim in Z[i] ist.
und mit dieser Fallunterscheidung ist dann die Klassenzahl zwangsweise 1.

Ich denke bei Schritt 3 ist gemeint, dass kein nicht-Hauptideal existiert, da Z[i]/(2)={0,1,i,i+1} sein müsste, oder?
Ich verstehe nicht, warum man die Ideale (2) und (3) jeweils betrachtet. Es könnte sein, dass wir dabei |Z[i]/I|*|Z[i]/J|=|Z[i]/IJ| genutzt haben und dann mit der Primfaktorzerlegung argumentiert haben, aber irgendwie erschließt sich mir das nicht (oder ich bin vollkommen auf dem Holzweg). Naja. Ich hoffe, ich habe mich vernünftig ausgedrückt.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo

ich vermute mal ihr habt hier und verwendet.
Borsk Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, aber diese Aussage gilt doch nur für Hauptideale. Geht es nicht gerade darum, eventuelle Idealklassen, die nicht der Hauptidealklasse entsprechen, zu betrachten? Wer sagt mir, dass es nicht in Ideal mit N(I)=4 gibt, das kein Hauptideal ist? Ist es einfach eine Sache von quasi 'abzählen' in der Norm, dass wenn man 4 Elemente im Faktorring haben will, diese Elemente quasi 0,1,i,1+i sein müssen, oder steckt da ein 'richtiges' Argument dahinter?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
aber diese Aussage gilt doch nur für Hauptideale.

ich verstehe diesen Satz nicht.
Ich habe zwei Aussagen getätigt (und bei der einen die Kardinalität vergessen). Welche ist gemeint?
Eigentlich kann es keine von beiden sein, denn die erste gilt füe alle Ideale die zweite ist eine Aussage über Hauptideale also macht das aber keinen Sinn.

Es gilt und auch für jedes

Im Fall 1 ist also 2 in I,also
Im Fall 3 also . Also x und y beide gerade.
Damit müssen 0,1,i, i+1 in enthalten sein.
Und damit ist I=(2). Also ist I Hauptideal.
Borsk Auf diesen Beitrag antworten »

Ah super, jetzt ist es mir klar. Vielen Dank für die Erklärung und die Hilfe generell! Freude
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