Skalarprodukt - Matrix - Beweis

22.09.2015, 19:02

Zyrtec

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Skalarprodukt - Matrix - Beweis

Meine Frage:
Hallo Leute,
ich habe folgende Aufgabe gegeben, weiß aber nicht recht, wie ich diese überhaupt angehen soll unglücklich

unglücklich

Weise nach, dass die Matrix $\begin{eqnarray*} A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} durch <x,y>_{A} := <Ax,y> \end{eqnarray*}$ ein Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2} \end{eqnarray*}$ definiert.

Meine Ideen:
Irgendwie verwirrt mich, dass ich hier eine Matrix habe anstatt nur einen Vektor.

Ich weiß, dass ein Skalarprodukt $\begin{eqnarray*} <x,y> := x_{1}y_{1} + . . . + x_{n}y_{n} \end{eqnarray*}$ definiert ist.

Aber wie rechne ich das jetzt bei einer Matrix?

Rechne ich erst Ax aus?..das habe ich versucht, aber irgendwie hilft mir das auch nicht.

Bin dankbar um Tipps smile

smile

22.09.2015, 19:14

Captain Kirk

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Hallo,

du musst zeigen, dass die so definierte Abbildung die Defintion eines Skalarprodukts erfüllt.
Welche Bedingungen sind also zu erfüllen?

22.09.2015, 21:24

Zyrtec

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Danke für deine schnelle Antwort.

Meinst du das damit? Das haben wir aus der Vorlesung als Definition.

Sei V ein R-Vektorraum. Ein (euklidisches) Skalarprodukt <., .> ist eine Abbildung von
V x V nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , d. h.
<., .> : V x V --> $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$
(v, w) --> <v,w>
so das für alle u, v, w $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ v und alle $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ gilt:
(S1) <u, u> $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 und <u,u> = 0
(S2) <u,v> = <v,u>
(S3) < $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ u, v> = $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ <u,v>
(S4) <u+v,w> = <u,w> + <v,w>

Aber wie soll ich das überprüfen, wenn ich nicht weiß, wie ich das Spaltprodukt mit der Matrix bilde?

Oder hab ich dich jetzt falsch verstanden?

22.09.2015, 21:26

Zyrtec

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Ich meinte Skalarprodukt und nicht Spaltprodukt Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.09.2015, 22:48

Captain Kirk

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Zitat:

Aber wie soll ich das überprüfen, wenn ich nicht weiß, wie ich das Spaltprodukt mit der Matrix bilde?

Ja das sollst du überprüfen und wie du das Skalarprodukt bildest steht in der Aufgabenstellung:
$\begin{eqnarray*} <x,y>_{A} := <Ax,y> \end{eqnarray*}$ vielleicht hilft es wenn ich noch ergänze:
$\begin{eqnarray*} =(Ax)^Ty \end{eqnarray*}$

23.09.2015, 15:16

Zyrtec

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Ja, Danke

smile

..das hilft mir schon mal weiter..

Ich habe dann also jetzt folgendes gemacht:

$\begin{eqnarray*} Ax= \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x_{1} & x_{2} \\ x_{1} & 5x_{2} \end{pmatrix} <br /> <br /> Ax^{T} = \begin{pmatrix} 4x_{1} & x_{1} \\ x_{2} & 5x_{2} \end{pmatrix} <br /> (Ax^{T})y = \begin{pmatrix} 4x_{1}y_{1} & x_{1}y_{2} \\ x_{2}y_{1} & 5x_{2}y_{2} \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Wenn ich das Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} <Ax,y> \end{eqnarray*}$ bilde, wäre das also
$\begin{eqnarray*} <Ax,y> = 4x_{1}y_{1} + x_{2}y_{1} + x_{1}y_{2} + 5x_{2}y_{2} \end{eqnarray*}$

Aber jetzt stehe ich schon wieder da und weiß nicht weiter unglücklich

unglücklich

Die Spalten oder Spalten von $\begin{eqnarray*} (Ax^{T})y \end{eqnarray*}$ sind beide gleich wie insgesamt mein errechnetes Skalarprodukt, aber das ist ja jetzt noch nicht fertig...weil ich hab ja jetzt einmal ne Matrix da stehen und einmal das Ergebnis eines Skalarproduktes..

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23.09.2015, 15:32

Captain Kirk

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Bitte, schau dir ganz dringend nochmal an wie man Matrizen multipliziert.
Ax ist ein Vektor mit 2 Einträgen keine 2x2 Matrix.
$\begin{eqnarray*} Ax^T \end{eqnarray*}$ ist nicht definiert, ich hab nicht ohne Grund Klammern gesetzt: $\begin{eqnarray*} (Ax)^T \end{eqnarray*}$

Zitat:

Aber jetzt stehe ich schon wieder da und weiß nicht weiter unglücklich

Nachrechnen ob die Defintionen erfüllt sind, indem in diese einsetzt.
Gensuso wie für lineare Abb., Vektorräume/Unterräume und so weiter und so fort.

Außerdem ist es hier nicht nötig $\begin{eqnarray*} (Ax)^Ty \end{eqnarray*}$ konkret auszurechnen, allein damit (und dann garantiert bekannten Rechenregeln für Vektoren und Matrizen) lassen sich (fast; S1 braucht Eigenschaften von A) alle Bedingugen nachprüfen.

23.09.2015, 15:52

Zyrtec

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Oh, man..ich hab grad voll Mist gebaut..weiß auch nicht was ich da gemacht habe..

$\begin{eqnarray*} Ax= \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4x_{1} + x_{2} \\ x_{1} + 5x_{2} \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Das kommt natürlich raus..

Ok, den Rest rechne ich dann jetzt also nach und melde mich dann noch mal..

Vielen, vielen Dank für deine Unterstützung.

23.09.2015, 16:13

Zyrtec

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So, ich bin jetzt die ganzen Eigenschaften durchgegangen und das Ganze sieht jetzt bei mir so aus:

(S2):
$\begin{eqnarray*} <Ax,y> = (4x_{1} + x_{2})y_{1} + (x_{1} + 5x_{2})y_{2} = y_{1}(4x_{1} + x_{2}) + y_{2}(x_{1} + 5x_{2}) = <y, Ax> \end{eqnarray*}$

(S3):
$\begin{eqnarray*} < \lambda Ax,y> = \lambda (4x_{1} + x_{2})y_{1} + \lambda (x_{1} + 5x_{2})y_{2} = \lambda((4x_{1} + x_{2})y_{1} + (x_{1} + 5x_{2})y_{2}) = \lambda <Ax, y> \end{eqnarray*}$

(S4):
$\begin{eqnarray*} <Ax+z,y> = (4x_{1} + x_{2} + z_{1})y_{1} + (x_{1} + 5x_{2}+ z_{2})y_{2} = y_{1}(4x_{1} + x_{2}) + y_{2}(x_{1} + 5x_{2}) + z_{1}y_{1} + z_{2}+ y_{2}= <Ax, y> + <z, y> \end{eqnarray*}$

(S1):
$\begin{eqnarray*} <Ax, Ax> \geq 0<br /> <Ax, Ax>= (4x_{1} + x_{2})^{2} + (x_{1} + 5x_{2})^{2} \end{eqnarray*}$
Quadrat ist immer größer oder gleich Null. Also stimmt S1 auch

Das müsste doch jetzt richtig sein, oder?

Aber eine Frage habe ich immer noch..ich verstehe nicht so richtig, was du mir mit $\begin{eqnarray*} (Ax)^Ty \end{eqnarray*}$ sagen möchtest...ich weiß, du hast es schon versucht mir zu erklären, aber irgendwie verstehe ich es nicht und weiß auch nicht, wie du überhaupt darauf gekommen bist..

23.09.2015, 16:27

Captain Kirk

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S2 wäre:
<Ax,y>=<Ay,x>
S4 ist auch falsch, auch weil du wieder keine Klammern setzt, richtig ist:
<A(x+z),y>=<Ax,y>+<Az,y>
Und S1:
$\begin{eqnarray*} <Ax,x> \geq 0 \end{eqnarray*}$

Du hast überall nur so halb in die bedingungen eingsetzt.

Zitat:

ich weiß, du hast es schon versucht mir zu erklären,

hab ich eigentlich noch nicht, weil da nicht viel zu erklären ist.
Welches der verwendeten Zeichen ist denn unklar?

Zitat:

weiß auch nicht, wie du überhaupt darauf gekommen bist..

Das Standardskalarprodukt <x,y> lässt sich auch als $\begin{eqnarray*} x^Ty \end{eqnarray*}$ schreiben.

23.09.2015, 17:47

Zyrtec

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Dann gibt es also bei $\begin{eqnarray*} x^Ty \end{eqnarray*}$ eigentlich nichts in dem Sinn zu verstehen, sondern das ist einfach so definiert...gut, das kannte ich noch nicht

Aber wenn doch mein Skalarprodukt so $\begin{eqnarray*} <x,y>_{A} := <Ax,y> \end{eqnarray*}$ definiert ist, dann ist doch eigentlich mein x (links vom Gleichheitszeichen) = Ax und mein y (rechts vom Gleichheitszeichen) mein y und weil ja laut Definition beim Skalarprodukt z. B. gilt <x, y> = <y, x> habe ich das als <Ax, y> = <y, Ax> interpretiert..

Und das ist echt schon wieder falsch?

23.09.2015, 17:58

Captain Kirk

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Zitat:

Dann gibt es also bei $\begin{eqnarray*} x^Ty \end{eqnarray*}$ eigentlich nichts in dem Sinn zu verstehen, sondern das ist einfach so definiert...gut, das kannte ich noch nicht

Du kennst schon den Begriff des Transponierten einer Matrix/eines Vektors?

Zitat:

Aber wenn doch mein Skalarprodukt so $\begin{eqnarray*} <x,y>_{A} := <Ax,y> \end{eqnarray*}$ definiert ist, dann ist doch eigentlich mein x (links vom Gleichheitszeichen) = Ax und mein y (rechts vom Gleichheitszeichen) mein y und weil ja laut Definition beim Skalarprodukt z. B. gilt <x, y> = <y, x> habe ich das als <Ax, y> = <y, Ax> interpretiert..

$\begin{eqnarray*} <x,y>_{A} := <Ax,y> \end{eqnarray*}$ heißt in anderen Worten:
$\begin{eqnarray*} <\text{was auch immer hier steht, oder hier} >_A= <A\text{was auch immer hier steht, oder hier}> \end{eqnarray*}$
Und ist es zu zeigen, dass durch diese Abbildungsvorschrift ein Skalarprodukt definiert ist.
Du kannst also nicht - ich wiederhole: nicht - davon ausgehen, dass es eines ist. Das tust du hier aber.

Beim Einsetzen in die Bedingungen gibt es nichts zu interpretieren oder sonst groß rumzudenken, das ist rein mechanisch.

23.09.2015, 18:24

Zyrtec

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Doch ich kenne eine transponierte Matrix..da muss ich Zeilen und Spalten vertauschen..

Okay, dann habe ich jetzt das ganze nochmal korrigiert. Dann bin ich also schon direkt von etwas falschem ausgegangen...

(S2):
$\begin{eqnarray*} <Ax,y> = (4x_{1} + x_{2})y_{1} + (x_{1} + 5x_{2})y_{2} = 4x_{1}y_{1} + x_{2}y_{1} + x_{1}y_{2} + 5x_{2}y_{2}<br /> <Ay, x> = (4y_{1} + y_{2})x_{1} + (y_{1} + 5y_{2})x_{2} = 4y_{1}x_{1} + y_{2}x_{1} + y_{1}x_{2} + 5y_{2}x_{2}<br /> also <Ax, y> = <Ay, x> \end{eqnarray*}$

(S4):
$\begin{eqnarray*} <A(x+z),y> = (4(x_{1}+z_{1}) + (x_{2}+z_{2}))y_{1} + ((x_{1}+z_{1}) + 5(x_{2}+ z_{2}))y_{2} <br /> = (4x_{1}+4z_{1} + x_{2}+z_{2})y_{1} + (x_{1}+z_{1} + 5x_{2}+ 5z_{2})y_{2} = 4x_{1}y_{1}+4z_{1}y_{1} + x_{2}y_{1}+z_{2}y_{1} + x_{1}y_{2}+z_{1}y_{2} + 5x_{2}y_{2}+ 5z_{2}y_{2}<br /> =y_{1}(4x_{1} + x_{2}) + y_{2}(x_{1} + 5x_{2}) + y_{1}(4z_{1} + z_{2}) + y_{2}(z_{1} + 5z_{2})= <Ax, y> + <Az, y> \end{eqnarray*}$

(S1):
$\begin{eqnarray*} <Ax, x> \geq 0<br /><br /> <Ax, x>= (4x_{1} + x_{2})x_{1} + (x_{1} + 5x_{2})x_{2} = 4x_{1}^{2} + x_{2}x_{1} + x_{1} x_{2} + 5x_{2}x_{2}^{2} \end{eqnarray*}$ Quadrat ist immer größer oder gleich Null. Also stimmt S1 auch

Das müsste es dann jetzt wirklich sein smile

smile

23.09.2015, 18:36

Captain Kirk

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Zitat:

Doch ich kenne eine transponierte Matrix..da muss ich Zeilen und Spalten vertauschen..

ja und das passiert auch hier deshalb ist $\begin{eqnarray*} x^Ty=x_1y_1 + \ldots +x_ny_n \end{eqnarray*}$

S2 uns S4 sehen richtig aus S1 langt nach nicht. Die Quadrate sind positiv, gut,aber $\begin{eqnarray*} x_1x_2 \end{eqnarray*}$ kann negativ seinm also auch die ganze Summe.

23.09.2015, 19:14

Zyrtec

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Ok, jetzt verstehe ich was da passiert und was damit gemeint ist..

zu (S1):
Aber die Summe kann dann noch gar nicht mehr negativ werden, weil die Quadrate mit 4 bzw. 5 multipliziert werden und $\begin{eqnarray*} 2x_{1} x_{2} \end{eqnarray*}$ ja dann auf jeden Fall kleiner ist als die beiden Quadrate..

23.09.2015, 19:17

Captain Kirk

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Zitat:

weil die Quadrate mit 4 bzw. 5 multipliziert werden und $\begin{eqnarray*} 2x_{1} x_{2} \end{eqnarray*}$ ja dann auf jeden Fall kleiner ist als die beiden Quadrate..

Wieso nicht?

0.5²-2*1+0.9²<0

23.09.2015, 20:33

Zyrtec

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Nagut

Augenzwinkern

Also muss ich noch mit der zweiten Bedingung von S1 was machen?
(S1) <Ax, x> $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 und <Ax,x> = 0

Aber wenn ich <Ax,x> = 0 setze, dann habe ich ja im Endeffekt das gleiche Problem...

Ich kriege die Krise..ich habe bald Prüfung und es klappt ja echt alles andere als gut unglücklich

unglücklich

Also ist die Bedingung nur für bestimmte x-Werte gültig?...

Okay..nochmal überlegen..<Ax,x> = 0 heißt ja das Ax zu x senkrecht ist..wir haben mal aufgeschrieben, dass wenn z. B. x senkrecht zu y ist das äquivalent ist zu <x,y> = 0 und das äquivalent ist zu $\begin{eqnarray*} ||x+y||^{2} = ||x||^{2} + ||y||^{2} \end{eqnarray*}$ ..
Dann wäre es ja auf jeden Fall positiv..also darf ich nur $\begin{eqnarray*} x_{1} und x_{2} \end{eqnarray*}$ einsetzen, dass ich Null rausbekomme..aber dann wäre das ganze ja nicht allgemeingültig unglücklich

unglücklich

23.09.2015, 20:55

Captain Kirk

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Die Aussage ist schon richtig, nur deine Begründung ist unzureichend.
(man z.B. auch sehen, dass es keine $\begin{eqnarray*} x_1 ,x_2 \end{eqnarray*}$ gibt die mein Gegenbsp. erfüllen)
Es ist $\begin{eqnarray*} 4x_1^2 +x_1x_2+x_2x_1+5x_2^2=3x_1^2+(x_1+x_2)^2+4x_2^^2 \end{eqnarray*}$ und als Summe von Quadraten ist das nicht-negativ

Zitat:

Also muss ich noch mit der zweiten Bedingung von S1 was machen?
(S1) <Ax, x> $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 und <Ax,x> = 0

Bitte schau nochmal genau noch wie die "zweite Bedingung" heißt. Das hier macht keinen Sinn.
(u.a. weil du die Quantoren vergessen hast)

Zitat:

Okay..nochmal überlegen..<Ax,x> = 0 heißt ja das Ax zu x senkrecht ist..wir haben mal aufgeschrieben, dass wenn z. B. x senkrecht zu y ist das äquivalent ist zu <x,y> = 0 und das äquivalent ist zu $\begin{eqnarray*} ||x+y||^{2} = ||x||^{2} + ||y||^{2} \end{eqnarray*}$ ..

Es langt hier die Defintion des Begriffs skalarprodukt zu verwenden.
Es ist generell keine gute Idee "erschlage es mit 100.000 Sätzen" zu spielen.

Zitat:

Ich kriege die Krise..ich habe bald Prüfung und es klappt ja echt alles andere als gut unglücklich

Ferndiagnose an Hand dieses Threads (also komplett unzuverlässig)
Die fehlt es an genauem Lesen. Achte darauf wie Def. und Aufgaben genau aussehen. Nichts dazu erfinden, nichts weglassen.

24.09.2015, 16:31

Zyrtec

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Ah, okay..aber das so umzuschreiben, darauf wäre ich alleine bestimmt nie gekommen..

Bei uns steht das so im Skript:
<u, u> $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 und: <u,u> = 0 $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ u=0

Ok, das werde ich beim nächsten Mal dann beachten..also wirklich nur mit der einen Definition zu argumentieren bzw. diese zu überprüfen..

Vielen, vielen Dank für deine Geduld und Hilfe smile

smile

24.09.2015, 16:51

Captain Kirk

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Zitat:

Bei uns steht das so im Skript:
<u, u> $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0 und: <u,u> = 0 $\begin{eqnarray*} \leftrightarrow \end{eqnarray*}$ u=0

So ist es richtig.
Den "und"-Teil hast du noch nicht bewiesen.

25.09.2015, 07:18

Zyrtec

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Ok, das heißt also ich setze für x einfach Null ein und schaue, ob das Skalarprodukt dann auch wirklich Null ergibt..

$\begin{eqnarray*} x_1=x_2= 0<br /> 4\cdot 0^2 +0\cdot 0+0\cdot 0+5\cdot 0^2= 0 \end{eqnarray*}$

Also stimmt das auch.

Jetzt ist mir aber gerade schon wieder eine neue Frage gekommen..manchmal kommt es aber doch auch vor, dass ein Skalarprodukt negativ ist..aber damit würde man ja gegen S1 verstoßen, oder?

25.09.2015, 09:21

Captain Kirk

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Zitat:

Ok, das heißt also ich setze für x einfach Null ein und schaue, ob das Skalarprodukt dann auch wirklich Null ergibt..

Nein, da steht ein "genau dann, wenn " $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ , du zeigst nur den Rückrichtungsteil: $\begin{eqnarray*} \Leftarrow \end{eqnarray*}$

Zitat:

manchmal kommt es aber doch auch vor, dass ein Skalarprodukt negativ ist..aber damit würde man ja gegen S1 verstoßen, oder?

Nein. S1 besagt gar nichts über das Skalarprodukt zweier verschiedener Vektoren. Nur über das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst.

26.09.2015, 10:16

Zyrtec

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Heißt der Pfeil nicht äquivalent?

Also müsste ich dann nach $\begin{eqnarray*} x_1 und x_2 \end{eqnarray*}$ freistellen und zeigen, dass die Null sind?

26.09.2015, 11:47

Captain Kirk

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Zitat:

Heißt der Pfeil nicht äquivalent?

Ja. Und er kann als "genau dann, wenn" gelesen werden.

Zitat:

Also müsste ich dann nach $\begin{eqnarray*} x_1 und x_2 \end{eqnarray*}$ freistellen und zeigen, dass die Null sind?

Ich kenne den Begriff freistellen nicht. Du sollst schlicht die Rückrichtung zeigen (es ist je eine Äquivalenz wie du selbst sagst)

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