Stochastische Konvergenz

23.09.2015, 00:04

Juno22

Stochastische Konvergenz

Also Stochastische Konvergenz ist bei uns wie folgt definiert:

Die Folge $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\geq 1} \end{eqnarray*}$ konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen eine Konstante c, wenn für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gilt, dass:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(|X_n - c|<\varepsilon)=1 \end{eqnarray*}$

Es gilt nicht, dass aus Stochastischer Konvergenz fast sichere Konvergenz folgt.

Als Bsp. wird dazu eine Folge $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\geq 1} \end{eqnarray*}$ betrachtet, die folgender Weise definiert ist. Fast alle $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ nehmen den Wert 0 an, mit folgender Ausnahme:

- $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$
- Man wählt aus aus X_2 und X_3 eine aus die den Wert 1 erhält
- Man wählt aus X_4, X_5, X_6, X_7 eine aus die den Wert 1 erhält usw.

Letztendlich hat man dann die Verteilung:

$\begin{eqnarray*} P\left(X_{i}=1\right)=\begin{cases} 1 & \mbox{für }i=1\\ \frac{1}{2} & \mbox{für }i=2,3\\ \frac{1}{4} & \mbox{für }i=4,...,7\\ \frac{1}{8} & \mbox{für }i=8,....,15\\ \frac{1}{16} & \mbox{für }i=16,....,31\\ \vdots & \vdots \end{cases} \end{eqnarray*}$

Hieraus soll nun folgen, das für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ,

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(|X_n-0|<\varepsilon) \geq \lim_{n \to \infty} P(X_n=0)=1 \end{eqnarray*}$

erfüllt ist.

Daraus soll man folgen können, dass $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ gegen 0 sterbt.

Hier steige ich etwas aus.
Wieso gilt obige ungleichung. Ich hätte gesagt, dass es folgendermaßen aussieht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(|X_n-0|<\varepsilon) = \lim_{n \to \infty} P(X_n=0)=1 \end{eqnarray*}$

Denn unsere Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ nimmt nur die Werte 0 und 1 an. Damit nun

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(|X_n|<\varepsilon) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist muss $\begin{eqnarray*} X_n=1 \end{eqnarray*}$ gelten.

Wie kann man aber die ">" relation oben rechtfertigen?
Liege ich mit meiner annahme falsch?

Nun wird gesagt: Andererseits wissen wir mit sicherheit, dass unendlich viele $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ den Wert 1 annehmen weden, sodass

$\begin{eqnarray*} P(\lim_{n \to \infty} X_n=0)=0 \end{eqnarray*}$ weswegen $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ nicht fast sicher gegen 0 konvergiert.

Ich glaube das kann ich noch nachvollziehen, wüsste es aber trdm. noch nicht so ganz zu deuten.
Was ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} X_n=0 \end{eqnarray*}$ in dem Fall?

Eigentlich doch immer ein Wechsel zwischen 1 und 0. So würde ich es zumindest interpretieren.
Wenn ich nun unendlich viele dieser $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ picke erwische ich aber immer eine 1, sodass ich nie nur 0 erhalte weswegen die Wkt. 0 beträgt.
Ist das so korrekt?

Mfg. Juno

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen, diesen gelöscht, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen

23.09.2015, 10:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Juno22
Wieso gilt obige ungleichung.

Für alle $\begin{align*} n \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \varepsilon>0 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} 1\geq P(|X_n-0|<\varepsilon) \geq P(X_n=0) \end{align*}$ . In dieses Sandwich eingezwängt ergibt sich aus $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} P(X_n=0) = 1 \end{align*}$ dann zwangsläufig $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} P(|X_n-0|<\varepsilon)=1 \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Juno22
Damit nun

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(|X_n|<\varepsilon) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist muss $\begin{eqnarray*} X_n=1 \end{eqnarray*}$ gelten.

Dieser Satz ist völliger Humbug: Wie kann eine Wahrscheinlichkeit "erfüllt" sein, und wie kann $\begin{eqnarray*} X_n=1 \end{eqnarray*}$ "gelten"? $\begin{eqnarray*} X_n=1 \end{eqnarray*}$ ist ein Ereignis, dem man eine Wahrscheinlichkeit zuweisen kann - in dem Rahmen ist zu argumentieren.

Zitat:

Original von Juno22
Nun wird gesagt: Andererseits wissen wir mit sicherheit, dass unendlich viele $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ den Wert 1 annehmen weden, sodass

$\begin{eqnarray*} P(\lim_{n \to \infty} X_n=0)=0 \end{eqnarray*}$ weswegen $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ nicht fast sicher gegen 0 konvergiert.

Ich glaube das kann ich noch nachvollziehen

Könnte ich nicht, so unzureichend wie du die Zufallszahlenfolge $\begin{align*} (X_i) \end{align*}$ dargestellt hast. unglücklich

Es reicht nicht, $\begin{align*} P(X_i=1) \end{align*}$ für alle i anzugeben - man muss die Zufallsgröße explizit (am besten kanonisch) darstellen, etwa so ähnlich wie hier (Ok, das verlinkte Beispiel ist etwas anders, aber sehr nah verwandt).

23.09.2015, 20:06

Juno22

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Hallo HAL9000 vielen dank erstmal für deine Hilfe.

Zitat:

Für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \mu>0 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} 1\geq P(|X_n - 0|<\varepsilon)\geq P(X_n=0) \end{eqnarray*}$ . In dieses Sandwich eingezwängt ergibt sich aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(X_n = 0)=1 \end{eqnarray*}$ dann zwangsläufig $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} P(|X_n - 0|<\varepsilon)=1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Frage bezog sich eher auf folgende Ungleichung $\begin{eqnarray*} P(|X_n - 0|<\varepsilon)\geq P(X_n=0) \end{eqnarray*}$

Ich habe das ganze nämlich folgendermaßen verstanden:

$\begin{eqnarray*} 1\geq P(|X_n - 0|<\varepsilon)=P(|X_n|<\varepsilon) = P(X_n=0) \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}P(X_n=0) = 1 \end{eqnarray*}$

Wieso sollte aber

$\begin{eqnarray*} 1\geq P(|X_n - 0|<\varepsilon)=P(|X_n|<\varepsilon) > P(X_n=0) \end{eqnarray*}$

gelten?

$\begin{eqnarray*} P(|X_n|<\varepsilon) \end{eqnarray*}$ sollte doch für $\begin{eqnarray*} X_n\not= 0 \end{eqnarray*}$ folgendermaßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} P(|X_n|<\varepsilon)=0 \end{eqnarray*}$

Evtl. verstehe ich aber die Konvergenz in Wkt. noch nicht so gang. Ich habe gedacht es wäre eben ganz normale Konvergenz wie aus der Analysis bekannt, nur eben innerhalb eines Wkt. Maßes sodass man dem ganzen eben im Konvergenzfall die Wkt. 1 zuordnen kann.

24.09.2015, 09:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Juno22
Meine Frage bezog sich eher auf folgende Ungleichung $\begin{eqnarray*} P(|X_n - 0|<\varepsilon)\geq P(X_n=0) \end{eqnarray*}$

Für die $\begin{align*} \omega \end{align*}$ mit $\begin{align*} X_n(\omega)=0 \end{align*}$ gilt natürlich auch $\begin{align*} |X_n(\omega)|<\varepsilon \end{align*}$ , d.h., in Ereignissen formuliert ist $\begin{align*} [X_n=0]\subseteq [|X_n|<\varepsilon] \end{align*}$ und folglich aufgrund der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes dann auch $\begin{align*} P(X_n=0)\leq P(|X_n|<\varepsilon) \end{align*}$ . Das ist nun schon ausführlichst aufgedröselt - weiß nicht, wie ich das noch ausführlicher begründen sollte. unglücklich

Zitat:

Original von Juno22
Wieso sollte aber

$\begin{eqnarray*} 1\geq P(|X_n - 0|<\varepsilon)=P(|X_n|<\varepsilon)~{\color{red}>}~ P(X_n=0) \end{eqnarray*}$

gelten?

Nicht > , es ist immer nur von > die Rede. Bitte exakt arbeiten! Und der Rest der Ungleichungskette sollte doch nun klar sein, oder?

Seltsam, dass du dich bei solchen banalen Kleinigkeiten aufhältst, und über den eigentlichen Clou dieser Konstruktion mit den Haar-Funktionen gar kein Wort verlierst: verwirrt

Es wird eine Zufallsgrößenfolge $\begin{align*} (X_n) \end{align*}$ derart konstruiert, dass für jedes feste $\begin{align*} \omega\in\Omega \end{align*}$ die Realisierungen $\begin{align*} X_n(\omega) \end{align*}$ für unendlich viele $\begin{align*} n \end{align*}$ gleich 1 werden - genauer gesagt: In jedem Indexintervall $\begin{align*} \left[2^m,2^{m+1}\right) \end{align*}$ gibt es genau ein solches $\begin{align*} n \end{align*}$ . Für alle anderen $\begin{align*} n \end{align*}$ (also die überwiegende Anzahl) ist zwar $\begin{align*} X_n(\omega)=0 \end{align*}$ , aber die anderen unendlich vielen $\begin{align*} n \end{align*}$ bewirken, dass eben nicht $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} X_n(\omega)=0 \end{align*}$ gilt.

Diese Betrachtung von eben gilt für alle $\begin{align*} \omega\in\Omega \end{align*}$ , mithin ist

$\begin{align*} P\left( \lim_{n\to\infty} X_n=0 \right) = P\left( \left\{ \omega\in\Omega \bigm| \lim_{n\to\infty} X_n(\omega)=0 \right\} \right) = P(\emptyset) = 0 \end{align*}$ .

EDIT: Übrigens bitte ich dich, korrekt zu zitieren. Ich hab keine Ahnung, was die Zitatverfälschung mit dem $\begin{align*} {\color{red}\mu>0} \end{align*}$ bedeuten soll, wo ich oben doch $\begin{align*} {\color{red}\varepsilon>0} \end{align*}$ geschrieben hatte. Es macht doch eigentlich mehr Arbeit, sowas einzufügen, statt das Originalzitat zu übernehmen. Erstaunt1

24.09.2015, 10:15

Nofeys

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Zitat:

Original von HAL 9000
EDIT: Übrigens bitte ich dich, korrekt zu zitieren. Ich hab keine Ahnung, was die Zitatverfälschung mit dem $\begin{align*} {\color{red}\mu>0} \end{align*}$ bedeuten soll, wo ich oben doch $\begin{align*} {\color{red}\varepsilon>0} \end{align*}$ geschrieben hatte. Es macht doch eigentlich mehr Arbeit, sowas einzufügen, statt das Originalzitat zu übernehmen. Erstaunt1

Ich nehme an, es liegt daran, dass das Zitat abgetippt wurde, anstatt auf Zitieren zu klicken. Man erkennt es daran, dass nicht Mathjax, sondern Latex verwendet wurde.
Ich kann das um ehrlich zu sein gut verstehen, es ist halt im Vergleich zu Latex ziemlich umständlich, sich genau das herauszusuchen, was man haben möchte, wenn man auf Zitieren klickt, anstatt, wie bei Latex, einfach den Text aus dem Beitrag zu kopieren, wobei der Code dann gleich mitkopiert wird. Abtippen geht da bei kurzen Zitaten einfach schneller.

24.09.2015, 10:28

HAL 9000

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Ein Wort noch zu der Zufallsgrößenbeschreibung

Zitat:

Original von Juno22
Als Bsp. wird dazu eine Folge $\begin{eqnarray*} (X_n)_{n\geq 1} \end{eqnarray*}$ betrachtet, die folgender Weise definiert ist. Fast alle $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ nehmen den Wert 0 an, mit folgender Ausnahme:

- $\begin{eqnarray*} x_1=1 \end{eqnarray*}$
- Man wählt aus aus X_2 und X_3 eine aus die den Wert 1 erhält
- Man wählt aus X_4, X_5, X_6, X_7 eine aus die den Wert 1 erhält usw.

Das klingt irgendwie so, als sei dir nicht ganz klar, dass es sich bei einer Zufallsgröße nicht um einen festen Wert, sondern um eine Funktion $\begin{align*} X_n:\;\Omega\to\mathbb{R} \end{align*}$ handelt.

Also nochmal von Anfang an, eine "saubere" Konstruktion der hier betrachteten Zufallsgrößenfolge, basierend auf den oben verlinkten Haar-Funktionen:

Der W-Raum besteht aus $\begin{align*} \Omega=[0,1) \end{align*}$ , Borel-Sigmaalgebra sowie Borelmaß $\begin{align*} P=\lambda^1 \end{align*}$ .

Für Index $\begin{align*} n=2^m+k \end{align*}$ mit $\begin{align*} 0\leq k<2^m \end{align*}$ sowie $\begin{align*} \omega\in\Omega \end{align*}$ definieren wir die Zufallsgröße

$\begin{align*} X_n(\omega) := \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\; \frac{k}{2^m} \leq \omega < \frac{k+1}{2^m} \\ 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$ .

Dann ergibt sich dein $\begin{align*} P(X_n=1) = \lambda^1\left( \left[\frac{k}{2^m}, \frac{k+1}{2^m}\right) \right) = \frac{1}{2^m} \end{align*}$ sowie auch die Aussage, dass $\begin{align*} X_n(\omega)=1 \end{align*}$ bei festgehaltenem $\begin{align*} \omega \end{align*}$ für unendlich viele $\begin{align*} n \end{align*}$ gilt, konkret ist da in jedem Indexintervall $\begin{align*} \left[2^m,2^{m+1}\right) \end{align*}$ jeweils genau ein $\begin{align*} n \end{align*}$ , wie oben schon erwähnt.

24.09.2015, 21:44

Juno22

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ein Wort noch zu der Zufallsgrößenbeschreibung

Zitat:

Mh ich verstehe nun aber nicht weswegen $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=1 \end{eqnarray*}$ bei festgehaltenem $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ für undendlich viele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gelten soll.

Denn wenn ich $\begin{eqnarray*} n\to \infty \end{eqnarray*}$ geht wegen $\begin{eqnarray*} n=2^m+k \end{eqnarray*}$ doch auch $\begin{eqnarray*} m\to \infty \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} 0\leq k < 2^m \end{eqnarray*}$ wird doch $\begin{eqnarray*} \frac{k}{2^m} \end{eqnarray*}$ immer kleiner.

Dann nimmt aber

$\begin{align*} X_n(\omega) := \begin{cases} 1 &\;\mbox{für}\; \frac{k}{2^m} \leq \omega < \frac{k+1}{2^m} \\ 0 &\;\mbox{sonst} \end{cases} \end{align*}$ den Wert 1 doch nur für $\begin{eqnarray*} \omega=0 \end{eqnarray*}$ unendliich oft an. Alle anderen $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ sollten den wert 1 nur endllich oft annehmen. Das verwirrt mich grade etwas.

Sry falls es evtl eine dumme Frage ist geschockt

PS: Mit dem Zitieren hatte Nofeys recht. Ich habes erneut abgeschrieben. Beiträge die ich so kopiere werden irgendwie nicht korrekt übernommen. Hatte die Möglichkeit des full quotes nicht in betracht gezogen.

25.09.2015, 04:40

Juno22

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Okay ne, da lag ich falsch.Es gbt tatsächlich in jedem Intervall $\begin{eqnarray*} I:=[2^m,2^{m+1}) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ für das $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Es sind zwar unendlich viele, aber theor. könnte ich doch durch weglassen dieser n eine Teilfolge konstruieren, sodass $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Somit würde doch der limes der Folge garnicht existieren verwirrt

Okay es ist spät ich gehe wohl lieber erstmal schlafen smile

25.09.2015, 08:03

HAL 9000

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Zitat:

Original von Juno22
Es sind zwar unendlich viele, aber theor. könnte ich doch durch weglassen dieser n eine Teilfolge konstruieren, sodass $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)=0 \end{eqnarray*}$ gilt. Somit würde doch der limes der Folge garnicht existieren

Ja eben! Deshalb gilt die Aussage $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} X_n(\omega)=0 \end{align*}$ für kein $\begin{align*} \omega \end{align*}$ !!! Davon reden wir doch die ganze Zeit.

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Vielleicht hilft es dir, mal die Plots dieser Funktionen $\begin{align*} X_n:\;[0,1]\to \mathbb{R} \end{align*}$ zu betrachten: Zunächst für $\begin{align*} n=1 \end{align*}$ , also $\begin{align*} m=0 \end{align*}$ :

Nun für $\begin{align*} n=2,3 \end{align*}$ , also $\begin{align*} m=1 \end{align*}$ :

Und schließlich noch $\begin{align*} n=4\ldots 7 \end{align*}$ , also $\begin{align*} m=2 \end{align*}$ :

D.h., man hat ein Rechteck der Breite $\begin{align*} \frac{1}{2^m} \end{align*}$ und Höhe 1, was für die $\begin{align*} 2^m \end{align*}$ Indizes $\begin{align*} n=2^m,2^m+1,\ldots, 2^{m+1}-1 \end{align*}$ durch das Intervall $\begin{align*} [0,1] \end{align*}$ "wandert", und somit jeden Argumentwert $\begin{align*} \omega\in [0,1] \end{align*}$ einmal "erwischt".

28.09.2015, 17:04

Juno22

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Hi, vielen dank HAL 9000 es hat endlich gedämmert.

Vielen dank noch einmal für deine Bemühungen.

Mfg. Juno22 Wink

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Stochastische Konvergenz

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