Transformationsmatrizen

23.09.2015, 12:55

Kleiner.stern

Transformationsmatrizen

Meine Frage:
Hallo ich schreibe bald meine Klausur in Linearer Algebra nach und bin in der ersten Klausur an einer Aufgabe gescheitert. Ich hab auch bis jetzt keine Ahnung wie ich die lösen muss zumindest nicht komplett und ich finde keine vergleichbare Aufgabe im Skript oder in den Übungsaufgaben.
In der Aufgabe ging es um Tramsformationsmatrizen. Gegeben war die Matix

A= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

C = { $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ }
und B war die kanonische Basis.

gesucht waren die darstellende Matrizen DMc(f), DM bc(f) und die Transformationsmatrizen $\begin{eqnarray*} T^{B}_{C} ,T^{C}_{B} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
für DMc(f) hab ich geguckt worauf die Vektoren von C abgebildet werden und diese dann in eine Matrix eingetragen. Damit ergab sich

DMc(f) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

wäre das richtig?
Was muss ich für DM bc(f) berechnen? die Abbildung von der kanonischen Basis bestimmen und dann die Matrizen addieren oder multiplizieren?
Was ist mit den Transformationsmatizen gib es irgendwie eine "Formel" wie man diese aufstellt ich hab echt keine Ahnung.
Ich bin für jede Hilfe Dankbar.
LG

23.09.2015, 15:04

klarsoweit

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RE: Transformationsmatrizen

Zitat:

Original von Kleiner.stern
für DMc(f) hab ich geguckt worauf die Vektoren von C abgebildet werden und diese dann in eine Matrix eingetragen. Damit ergab sich

DMc(f) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig verstehe, soll DMc(f) die darstellende Matrix der Abbildung bezüglich der Basis C sein. Dazu müßtest du die Bilder der Basisvektoren der Basis C als Linearkombination in der Basis C darstellen. Die jeweiligen Koordinatenvektoren werden als Spalten in DMc(f) eingetragen. Allerdings habe ich nach meiner Rechnung DMc(f) = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ herausbekommen. Was du da hast, ist die Matrix $\begin{eqnarray*} DM_B^C(f) \end{eqnarray*}$ .

Wenn du die Transformationsmatrizen $\begin{eqnarray*} T^B_C \text{ und } T^C_B \end{eqnarray*}$ berechnet hast, kannst du auch DMc(f) mit der Formel $\begin{eqnarray*} DM_C(f) = T^B_C \cdot A \cdot T^C_B = T^B_C \cdot DM_B^C(f) \end{eqnarray*}$ berechnen.

EDIT: leider ist mir beim Schreiben des obigen Textes ein Fehler unterlaufen. Korrekt sollt es heißen:
Wenn ich das richtig verstehe, soll DMc(f) die darstellende Matrix der Abbildung bezüglichd der Basis C sein. Dazu müßtest du die Bilder der Basisvektoren der Basis C als Linearkombination in der Basis C darstellen. Die jeweiligen Koordinatenvektoren werden als Spalten in DMc(f) eingetragen. Was du da hast, ist die Matrix $\begin{eqnarray*} DM_B^C(f) \end{eqnarray*}$ . Allerdings habe ich nach meiner Rechnung $\begin{eqnarray*} DM_B^C(f) = \begin{pmatrix} -2 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ herausbekommen.

23.09.2015, 18:45

Kleiner.stern

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Die Frage ist wie berechne ich die Transformationsmatritzen???

23.09.2015, 22:03

okay123

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Ich berechne die Basiswechselmatritzen immer, indem ich mir eine EKM aufstelle.

Auf die linke Seite schreibe ich spaltenweise die Vektoren der Basis von der ich komme und auf die Ergebnisseite die Vektoren der Basis zu der gewechselt werden soll.
Dann forme ich die linke Seite in eine NZS um und erhalte auf der rechten Seite meine Basiswechselmatrix.

Die BWM von C nach B lautet also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei der BWM von B nach C sind es einfach die Vektoren der Basis C als Matrix zusammengefasst.

23.09.2015, 22:20

Kleiner.stern

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Also muss ich C so gesehen nach dem Gauß-Jordan-Verfahren invertieren oder hab ich das falsch verstanden? Dann hab ich $\begin{eqnarray*} T^(C)_(B) \end{eqnarray*}$ und wenn ich diese wiederum invertiere erhalte ich $\begin{eqnarray*} T^(B)_(C) \end{eqnarray*}$ was wiederrum einfach die Matrix aus den Vektoren von C ist.
dann kann ich die beiden mit der Matrix A multiplizieren und erhalte DMc (f). Bitte korrigieren wenn ich etwas falsch hab.

24.09.2015, 09:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von okay123
Die BWM von C nach B lautet also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bei der BWM von B nach C sind es einfach die Vektoren der Basis C als Matrix zusammengefasst.

Ich gebe zu, Algebra liegt bei mir schon etwas länger zurück, aber meines Erachtens ist die BWM von C nach B gleich der Matrix aus den Basisvektoren von C, mithin also $\begin{eqnarray*} T_B^C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Kleiner.stern
Also muss ich C so gesehen nach dem Gauß-Jordan-Verfahren invertieren

Nun ja, du mußt die Matrix $\begin{eqnarray*} T_B^C \end{eqnarray*}$ invertieren, um die Basiswechselmatrix $\begin{eqnarray*} T_C^B \end{eqnarray*}$ zu erhalten. Die Formel zur Berechnung von DMc(f) hatte ich schon gepostet.

24.09.2015, 12:48

okay123

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Du hast vollkommen Recht.

Die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

stellt die BWM von B nach C dar.

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