Differential - Regel von de L'Hospital

23.09.2015, 13:11

Mathe-Physik-Freak

Differential - Regel von de L'Hospital

Hallo beisammen Wink

Bin mal wieder ratlos, diesmal geht es um die Regel von de L'Hospital.
Ich habe das Original von aus dem 17 Jh. ins deutsche übersetzt und verstehe den Beweis auch größtenteils. Ich komme jedoch beim letzten Abschnitt nicht weiter. Was ist jetzt genau mit dem Differential gemeint? Das Differential entspricht ja nicht der Ableitung, sondern $\begin{eqnarray*} $dy = f'(x)* dx$ \end{eqnarray*}$ wenn ich es richtig verstanden habe. Also müsste es in meinem Fall doch den Wert Null annehmen, oder?

Nebenbei erwähnt, es geht darum, einen Grenzwert zum Quotienten aus zwei Null werdende Funktionen zu finden. Nach L'Hospital kann man dann jeweils die Ableitungen der beiden Funktionen nehmen.

Zitat:

Hieraus folgt, dass bf und bg die Differenz zwischen den Funktionswerten der Stellen B und b der Kurven ANB und COB darstellen.
Nun nimmt man also das Differential des Zählers und dividiert diesen durch das Differential des Nenners, nachdem x=a=Ab bzw. =AB festgelegt wurde.
Hierdurch erhält man den gesuchten Wert von bd bzw. BD.

Für ein besseres Verständnis hier noch die Graphen von L'Hospital als Anhang smile

Zwei Beiträge zusammengefügt, damit Antwortzähler auf Null steht. Steffen

Ich glaube ich weiß wo mein Fehler liegt. Kann es sein, dass es eigentlich $\begin{eqnarray*} $dy = f'(x)dx$ \end{eqnarray*}$ heißt?
Also nicht mit der Differenz zwischen den jeweiligen x-Werten multipliziert wird, sondern diese Differenz unendlich klein wird?
Was bedeutet das dann für das Differential?

25.09.2015, 14:21

Mathe-Physik-Freak

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Keine Antwort? traurig

25.09.2015, 14:52

HAL 9000

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Der erste Abschnitt des Wikipedia-Artikels Differential trifft den Nagel auf den Kopf. Im modernen Lichte ist das (historische) Differential ein etwas wackliges Konzept: Ziemlich anschaulich, und man kommt damit im heuristischen Sinne ziemlich weit, aber es ist im streng mathematischen Sinne unsauber. Erst beginnend im 19.Jahrhundert hat man sich dann um mathematische Strenge gekümmert.

Jede Argumentation auf Basis solcher historischen Differentiale ist also per se unsauber, und da will sich kaum einer auf Basis von "unendlich kleinen Größen" um Kopf und Kragen reden. Augenzwinkern

25.09.2015, 16:01

Mathe-Physik-Freak

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Sprich, der originale Beweis ist für einen Mathematiker wertlos?
Dann hätte ich den gleich weglassen können in der Facharbeit unglücklich

25.09.2015, 21:05

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Der Beweis ist doch ganz interessant:

$\begin{eqnarray*} f(b)=f(b)-f(B)=\overline{bf}=f'(B)\,dx \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} g(b)=g(b)-g(B)=\overline{bg}=g'(B)\,dx \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} dx=\overline{Bb} \end{eqnarray*}$ ist, ergibt

$\begin{eqnarray*} \frac{f(b)}{g(b)}=\frac{f'(B)}{g'(B)} \end{eqnarray*}$ .

Da sich b und B nur um eine infinitesimale Groesse dx unterscheiden, kann man die linke Seite als Grenzwert b->B interpretieren.

Der heutige Beweis mit dem erweiterten Mittelwertsatz verfolgt dieselbe Grundidee. Wertlos ist der Originalbeweis keineswegs.

26.09.2015, 11:17

Mathe-Physik-Freak

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Achsoo, jetzt verstehe ich das, $\begin{eqnarray*} $dx$ \end{eqnarray*}$ kürzt sich zum Schluss einfach raus!
Habe mich die ganze Zeit gewundert, da sonst der Ausdruck $\begin{eqnarray*} $f(b)=f(b)-f(B)=f'(B)dx \end{eqnarray*}$ alleine Null ergibt, wenn $\begin{eqnarray*} $dx$ \end{eqnarray*}$ unendlich klein ist Hammer

Eine kleine Frage hätte ich aber noch, und zwar gibt L'Hospital in seinem Beweis seine Terme folgendermaßen an:

$\begin{eqnarray*} $<br /> bd = \frac{ABx~bf}{bg}<br /> $ \end{eqnarray*}$

Könnte natürlich auch folgendermaßen gedeutet werden:

$\begin{eqnarray*} $<br /> bd = \frac{AB*bf}{bg}<br /> $ \end{eqnarray*}$

Denke mal, dass eher der erste Term gemeint ist, verstehe aber nicht, wieso er ein $\begin{eqnarray*} $ABx$ \end{eqnarray*}$ einfügt. Meine Vermutung ist, dass das nur eine formale Sache ist..

26.09.2015, 19:31

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Zitat:

Original von Mathe-Physik-Freak
Achsoo, jetzt verstehe ich das, $\begin{eqnarray*} $dx$ \end{eqnarray*}$ kürzt sich zum Schluss einfach raus!
Habe mich die ganze Zeit gewundert, da sonst der Ausdruck $\begin{eqnarray*} $f(b)=f(b)-f(B)=f'(B)dx \end{eqnarray*}$ alleine Null ergibt, wenn $\begin{eqnarray*} $dx$ \end{eqnarray*}$ unendlich klein ist Hammer

Ein Differential soll zwar unendlich klein sein, aber doch ungleich null, denn sonst waere die Sache ja witzlos. Die Gleichung dy = f'(x) dx ist einfach eine Formalisierung der Leitidee der Differentialrechnung: "Im Kleinen wird alles linear". Im Kleinen waechst eine Funktion wie ihre Tangente, d.h. zum Zuwachs dx von x gehoert ein Zuwachs dy von y, den eben die Tangentensteigung bestimmt. Da man im Endlichen mit der Linearisierung einen Fehler macht, muss man sich dx und dy eben unendlich klein denken. Das ist auch die Beweisidee hier: Im Kleinen verhalten sich die Zuwaechse von f() und g() um B wie die Steigungen ihrer Tangenten in B und wegen f(B)=g(B)=0 sind die Zuwaechse gleich den Werten in b.

Zitat:

Wenn schon dann * und kein x. Vielleicht interpretiere ich die Zeichnung ja falsch, aber in meiner Lesart ist ANB der Graph von f(), COB der von g() und AMD der von f()/g(). Das Endergebnis ist dann bd = bf/bg.

27.09.2015, 01:09

Mathe-Physik-Freak

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Hmm, also ich lasse das einfach ganz weg, bevor ich etwas falsches schreibe.

Was jedoch sehr wichtig ist, ich jedoch nicht verstehe, ist dass für die Anwendung der Regel allgemein $\begin{eqnarray*} $g'(x) \neq 0$ \end{eqnarray*}$ gelten muss.
Das schließt dann aber aus, dass ich die Regel mehrmals anwende, wenn mehrmals $\begin{eqnarray*} $\frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ herauskommen würde..

Edit: Ach ich bin echt blöd Hammer

Hat sich erledigt, dachte erst, dass $\begin{eqnarray*} $g'(b) \neq 0$ \end{eqnarray*}$ sein soll.

27.09.2015, 01:29

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So, wie die Regel da von L'Hospital hergeleitet wird, ist in der Tat $\begin{align*} g'(B)\ne0 \end{align*}$ vorauszusetzen. Auch die mehrmalige Anwendung der Regel ist mit dieser Herleitung nicht abgedeckt.

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