Eindeutigkeit der Wurzel aus komplexen Zahlen

26.09.2015, 19:17	studentvonmathe	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutigkeit der Wurzel aus komplexen Zahlen Hallo zusammen, in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ gilt ja bekanntlich, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{x} \end{eqnarray}$ genau die nichtnegative Zahl $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ist, die folgende Gleichung erfüllt: $\begin{eqnarray} c^2=x \end{eqnarray}$ . Damit ist die Wurzelfunktion eindeutig (also tatsächlich eine Funktion), da sie jedem x genau ein c zuweist. Definitionsbereich: $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R , x\geq 0 \end{eqnarray}$ . Wie sieht das in $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ aus? Für die Gleichung $\begin{eqnarray} z^n = a \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z,a\in \mathbb C, n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ gibt es für z ja genau n verschiedene Lösungen, sofern $\begin{eqnarray} a\neq 0 \end{eqnarray}$ . Nennen wir diese Lösungen $\begin{eqnarray} z_i, i = 0, ..., n-1 \end{eqnarray}$ Kurze Frage: Welche dieser Lösungen ist nun $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{a} \end{eqnarray}$ ? Ist die n-te Wurzelfunktion in C eindeutig oder besser gesagt: Gibt es eine solche Funktion $\begin{eqnarray} sqrt:\mathbb C \to\mathbb C \end{eqnarray}$ Wenn ich mich recht entsinne, gibt es im Komplexen ja nicht soetwas wie negative und postivie Zahlen... Viele Grüße
26.09.2015, 19:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Funktionentheorie (= "komplexe Analysis" ): n-te Wurzeln im Komplexen sind "mehrdeutige Funktionen". Sie werden auf der jeweils zugehörigen "Riemannschen Fläche" eindeutig (außer im Nullpunkt), d.h. man erweitert den Definitionsbereich geeignet zu einer sogenannten "Überlagerung" von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ . 2. Algebra: Unter $\begin{eqnarray} \sqrt[n]a \end{eqnarray}$ versteht man immer eine n-te Wurzel aus $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ . Mit anderen Worten: Es genügt zu wissen, dass $\begin{eqnarray} \alpha=\sqrt[n]a \end{eqnarray}$ die Gleichung $\begin{eqnarray} x^n=a \end{eqnarray}$ löst.
27.09.2015, 10:01	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wird unterschiedlich gehandhabt. Manchmal wird unter $\begin{eqnarray} \sqrt[n]x \end{eqnarray}$ die Gesamtheit der Lösungen der Gleichungen $\begin{eqnarray} z^n=x \end{eqnarray}$ verstanden, manchmal aber genau eine dieser Lösungen, nämlich der sogenannte Hauptwert. Jeder Taschenrechner und jedes Programm, das mit komplexen Zahlen umgehen kann, gibt bei einer der sogenannten mehrdeutigen Funktionen den Hauptwert aus. Die Frage ist schon öfter hier im Forum diskutiert worden, kürzlich z. B. hier: Negative Wurzel aufteilen Leider wird in Antworten zu dieser Frage oft nur eine der beiden unterschiedlichen Handhabungen genannt.
27.09.2015, 11:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Da macht sich anscheinend der Einfluss von Prof. Dr. Wolfgang Walter bei mir bemerkbar. In der Funktionentheorie und insbesondere in der Theorie der Riemannschen Flächen werden aus mehrdeutigen Funktionen komplexer Veränderlicher eindeutige Funktionen auf geeigneten Definitionsbereichen; der Hauptwert ist dann nur ein kleiner Teil der Funktion (man kann ihn erwähnen, muss es aber nicht). In der Algebra befasst man sich primär nicht mit Funktionen, sondern mit Gleichungen und deren Lösungen als Elementen von Lösungsmengen. Das ist verträglich damit, dass man schon in der linearen Algebra nicht mit einer speziellen Lösung v eines LGS zufrieden ist, sondern für homogenes LGS den Untervektorraum U aller Lösungen, für inhomogenes LGS eine Nebenklasse v+U betrachtet. Jedes v+u mit u in U ist dann eine spezielle Lösung; in diesem Beispiel versucht man auch nicht, eine Funktion zu konstruieren, die zu einem LGS genau eine Lösung auswählt (selbstverständlich darf das jeder Mensch und jeder Taschenrechner auch anders sehen und berechnen).
27.09.2015, 14:38	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja schön und gut, ändert aber nichts daran, dass es auch die Handhabung gibt, komplexe Funktionen wie Wurzeln, Logarithmen, allgemeine Potenzen als eindeutige Funktionen auf $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ zu definieren, nämlich über den sogenannten Hauptwert. Wenn jemand ein Buch schreibt, mag er das so oder so handhaben. Das bleibt ihm überlassen. Wenn hier im Board eine Frage dazu gestellt wird, sollte aber nicht eine der Varianten unterschlagen werden.

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