Verständnisfrage/Beweis zum Differenzenquotient

27.09.2015, 17:05

Unbelehrbar

Verständnisfrage/Beweis zum Differenzenquotient

Erstmal ein fröhliches Hallöchen in die Runde. Ich bin neu hier und, wie mein Name schon sagt, ein beinahe hoffnungsloser Fall. Bitte seid mir nicht böse, wenn ich euch nicht gleich folgen kann. Mathe und ich haben eine schwierige Hass-Liebes-Beziehung :/

Eine kleine Aufgabe, die ich mir selbst und rein zum besseren Verständnis aufgeben wollte, verwirrt mich nun mehr als sie mir hilft. Und zwar:

Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = 3x² - 4x \end{eqnarray*}$

Den Differenzenquotienten, der ja auch die (erste) Ableitung einer Funktion darstellt, kann man auf zwei Arten anschreiben, einmal mit:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} = \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$

und dann noch mit:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \lim\limits_{x \to x_0} = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Das ist ja soweit dasselbe!

Nun kann man die Ableitung einer so einfachen Funktion natürlich im Kopf machen, wenn man die dafür notwendigen Regeln kennt.

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 6x - 4 \end{eqnarray*}$

Aber nehmen wir an, man kennt nur die Formel für den Differenzenquotienten. Da dieser ja die (erste) Ableitung einer Funktion darstellt, reicht es doch, wenn man dort einsetzt.

Für die erste Variante mit h bedeutet das:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h \to 0} = \frac{3(x+h)^2-4(x+h)-3(x)^2+4x}{h} \end{eqnarray*}$

Wenn man die Terme ausmultipliziert und vereinfacht/kürzt, kommt man schließlich auf:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h \to 0} = \frac{3h²+6xh-4h}{h} \end{eqnarray*}$

Einfach mal durch h dividieren und den Limes berücksichtigen gibt dann eben unsere erste Ableitung $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{h \to 0} = 6x -4 \end{eqnarray*}$

Soweit so gut.

Nun wollte ich dasselbe Spiel mit der zweiten Formel machen:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to x_0} = \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Wiederum eingesetzt gibt:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to x_0} = \frac{3x²-4x - 3(x_0)²+4x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

So und jetzt stehe ich völlig an. Wenn ich den Limes auflöse, kommt da ja eine unbestimmte Form $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ raus und ich könnte nur mehr auf die Regel von de L'Hospital zurückgreifen?

Da die beiden Darstellungen für den Differenzenquotienten aber dasselbe aussagen bzw. austauschbar sein sollten, muss ich hier ja auch ganz einfach durch nachrechnen auf die Ableitung kommen, oder etwa nicht?

Was entgeht mir hier (denn schon wieder)?

27.09.2015, 17:12

Captain Kirk

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Hallo,

Punkt 1:
Die Schreibweise ist $\begin{eqnarray*} f'(x)= \lim_{...} ... \end{eqnarray*}$ .

Zum eigentlichen Problem:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x²-4x - 3(x_0)²+4x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Klammer im Zähler $\begin{eqnarray*} (x-x_0) \end{eqnarray*}$ aus.

27.09.2015, 17:13

Telperien

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RE: Verständnisfrage/Beweis zum Differenzenquotient
Die dritte binomische Formel könnte helfen Wink

Edit: Hoppla, wohl zu lange im Schreibmodus gewesen, da war einer schneller LOL Hammer

27.09.2015, 17:27

Unbelehrbar

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Hallo,

Punkt 1:
Die Schreibweise ist $\begin{eqnarray*} f'(x)= \lim_{...} ... \end{eqnarray*}$ .

Danke, gefixed!

Zitat:

Original von Captain Kirk
Zum eigentlichen Problem:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x²-4x - 3(x_0)²+4x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Klammer im Zähler $\begin{eqnarray*} (x-x_0) \end{eqnarray*}$ aus.

Hm, steh ich wieder an:

Ich kann das ganze ja umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x²-4x - 3(x_0)²+4x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{3x² - 3(x_0)² -4x +4x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Jetzt (x-x_0) herausheben:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x² - 3(x_0)² -4x +4x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(x-x_0)* (3x - 3x_0 -4x +4x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Kürzen:

$\begin{eqnarray*} 3x - 3(x_0) - 4x +4x_0 \end{eqnarray*}$ Wenn ich davon den $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \to x_0} \end{eqnarray*}$ bilde, kommt doch nur 0 raus? unglücklich

27.09.2015, 17:32

Captain Kirk

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Spar dir die Klammern um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Was sollen die bewirken?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x² - 3(x_0)² -4x +4x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(x-x_0)* (3x - 3(x_0) -4x +4x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Die Gelchheit ist falsch.
Und du hast nicht $\begin{eqnarray*} (x-x_0) \end{eqnarray*}$ ausgeklammert.
Nach dem Ausklammern ist das dominante Rechenzeichen ein * bei dir ist es ein +.

27.09.2015, 17:35

Unbelehrbar

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Spar dir die Klammern um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . Was sollen die bewirken?

Sie soll die Lesbarkeit erhöhen. Sorry, die meisten Foren in denen ich mich so rumtreibe, nutzen kein Latex. Das ist zwar super, aber dadurch bin ich es gewohnt mit Klammern nicht zu sparen smile

Macht aber, wenn überhaupt, nur bei Potenzen Sinn, stimmt. Hab ich einfach übersehen.

Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x² - 3(x_0)² -4x +4x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{(x-x_0)* (3x - 3(x_0) -4x +4x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Die Gelchheit ist falsch.
Und du hast nicht $\begin{eqnarray*} (x-x_0) \end{eqnarray*}$ ausgeklammert.
Nach dem Ausklammern ist das dominante Rechenzeichen ein * bei dir ist es ein +.

"Ausklammern" ist aber schon herausheben, oder? (Hab den Ausdruck noch nie gehört) Abgesehen davon fehlt natürlich ne Klammer am Ende des Zählers -.- (Ja ja, wie war das mit Sparen von Klammern?! Big Laugh

)

27.09.2015, 17:43

Captain Kirk

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Zitat:

"Ausklammern" ist aber schon herausheben, oder?

Herausheben ist die Gossensprachenversion von ausklammern.

Zitat:

Abgesehen davon fehlt natürlich ne Klammer am Ende des Zählers

Auch damit ist es falsch.
Du musst den kompletten Zähler betrachten nicht nur den halben.

28.09.2015, 10:29

Unbelehrbar

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Danke, ich bin mit meiner Gossensprache (die man hierzulande auch auf der Uni verwendet), anscheinend nicht im Stande korrekt "auszuklammern".

Es kommt immer nur 0 raus.

28.09.2015, 10:50

Bjoern1982

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Zitat:

Ich kann das ganze ja umschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x²-4x - 3(x_0)²+4x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{3x² - 3(x_0)² -4x +4x_0}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

Klammere doch erst dann dein (x-x0) im Zähler als gemeinsamen Faktor aus, wenn du es auch wirklich siehst.
Um das wirklich zu sehen, forme lieber vorher noch ein wenig mittels ausklammen und 3. binomischer Formel um, so dass du zunächst einen Term im Zähler der Form $\begin{eqnarray*} s \cdot (x-x_0)+t \cdot (x-x_0) \end{eqnarray*}$ erhältst, wobei s und t stellvertretend für irgendwelche Restterme stehen.
Sinnvoll dafür ist vielleicht auch folgende Herangehensweise:

1) Wie könnte man 3x²-3x0² faktorisieren, damit ein Faktor (x-x0) entsteht ?
2) Wie könnte man -4x+4x0 faktorisieren, damit ein Faktor (x-x0) entsteht ?

30.09.2015, 20:25

Unbelehrbar

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Danke, manchmal seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht, stimmt schon Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{3x²-3(x_0)²-4x+4x_0}{x-x_0} = \frac{(x-x_0)*(3x+3x_0-4)}{(x-x_0)} \end{eqnarray*}$

Wenn wir jetzt den Limes von x gegen x0 bilden kommt 6x-4 raus, wie gewünscht smile

30.09.2015, 21:08

Luscinia

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Huhu

ich habe das Wort herausheben auch noch nie als Synonym für ausklammern gesehen.
In Deutschland ist das absolut nicht üblich, im Duden wird herausheben nicht als Synonym für Ausklammern geführt und umgekehrt auch nicht.

Wenn man herausheben googlet, stößt man im Zusammenhang mit Mathe auch nur auf österreichische Seiten. Das ist dann wohl ein regional begrenzter Begriff.

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