Beweise: Ist (g verknüpft f) surjektiv und g injektiv, so ist f surjektiv.

28.09.2015, 12:57	Ludi93	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise: Ist (g verknüpft f) surjektiv und g injektiv, so ist f surjektiv. Meine Frage: Seien f: A->B und g: B->C Abbildungen. Beweise: Ist (g verknüpft f) surjektiv und g injektiv, so ist f surjektiv. Meine Ideen: Bekomme den Beweis einfach nicht hin und habe nur etliche andere Beweise gefunden, aber eben nicht diesen. Danke für die Hilfe!
28.09.2015, 13:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise: Ist (g verknüpft f) surjektiv und g injektiv, so ist f surjektiv. Bei solchen elementaren Sachen laufen Beweise immer gleich ab: Man schreibt hin was man sucht, und man hat generell nur eine Möglichkeit die Voraussetzungen zu benutzen. Also sei $\begin{eqnarray} b \in B \end{eqnarray}$ fest, zu suchen gilt $\begin{eqnarray} a \in A \end{eqnarray}$ s.d. $\begin{eqnarray} f(a) = b \end{eqnarray}$ . Was kann man mit dem b machen? Nicht viel, aber man kann sich anschauen was $\begin{eqnarray} g(b) \in C \end{eqnarray}$ ist. Da $\begin{eqnarray} g(b) \in C \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g \circ f \end{eqnarray}$ surjektiv, ...
29.09.2015, 11:59	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise: Ist (g verknüpft f) surjektiv und g injektiv, so ist f surjektiv. Da $\begin{align} g\circ f \end{align}$ surjektiv, ist auch $\begin{align} g \end{align}$ surjektiv, damit bijektiv. Also ist $\begin{align} g^{-1}:C\to B \end{align}$ eine surjektive Abbildung ( $\begin{align} g^{-1} \end{align}$ ist also nicht einfach nur die Urbildfunktion, sondern ebenfalls eine Abbildung, die Umkehrfunktion) und man kann die Abbildungskette $\begin{align} g^{-1}\circ g\circ f = f \end{align}$ bilden, die surjektiv ist.

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