Beträge Komplexer Zahlen

30.09.2015, 15:24

ChemMath

Beträge Komplexer Zahlen

Guten Tag, ich versuche in Vorbereitung auf eine anstehende Klausur komplexe Zahlen und ihre Beträge zu verstehen. Dabei hat uns unser Dozent zum einen folgende Aufgabe gestellt bei der ich (und meine Kommilitonen) nicht zu einem Endergebnis komme.

Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z, für die folgende Beziehung gilt.

|z + 3 -3i| = |z -1 -3i|

Dabei habe ich folgenden Ansatz gewählt:

|z + 3 -3i| = |z -1 -3i| || trennen der k. Zahlen

<=> |z| + |3 -3i| = |z| + |-1 -3i| || Beträge berechnen
<=> |z| + $\begin{eqnarray*} \sqrt{18} \end{eqnarray*}$ = |z| + $\begin{eqnarray*} \sqrt{10} \end{eqnarray*}$

Und ab diesem Punkt komme ich nicht weiter. Je nachdem wie ich addiere oder subtrahiere bleibt ja immer |z| = |z| über, sodass ich das nicht auflösen kann.

Habe ich vielleicht den falschen Ansatz gewählt? Unser Skript verriet uns folgende Beziehung:
|z1 + z2| $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ |z1|+|z2| (Dreiecksungleichung). Nun ist mir nicht klar ob ich das hier richtig angewendet habe.

Ich danke schonmal für eure Beiträge.

30.09.2015, 16:01

Steffen Bühler

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RE: Beträge Komplexer Zahlen
Willkommen im Matheboard!

Die Dreiecksungleichung ist ja keine Dreiecksgleichung. Und das ist der Grund, dass Dein "Trennen der komplexen Zahlen" nicht funktionieren kann.

Der Ansatz ist hier, z=a+bi zu setzen. Dann ist die linke Seite zum Beispiel |a+bi+3-3i|=|(a+3)+i(b-3)|. Und wie man den Betrag einer komplexen Zahl berechnet, weißt Du ja.

Enstprechend die rechte Seite und auflösen.

Viele Grüße
Steffen

30.09.2015, 16:30

ChemMath

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Danke dir für die schnelle und aufklärende Antwort. Jetzt habe ich es verstanden.

Die Lösung lautet z = -1

Wenn ich wüsste wie ich nen Spoiler einfüge, würde ich das nun machen. Deshalb schreibe ich die Lösung offen hier hin:

$\begin{eqnarray*} |z+3-3i| = |z-1-3i| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow |(a+3)+i(b-3)|=|(a-1)+i(b-3)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sqrt{(a+3)^{2}+(b-3)^{2}} = \sqrt{(a-1)^{2}+(b-3)^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 9+6a+a^{2}+9-6b+b^{2}= 1-2a+a^{2}+9-6b+b^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow 18+6a = 10-2a \Rightarrow 8a=-8 \Rightarrow a=-1 \end{eqnarray*}$

Somit ergibt sich Re(z) = -1 und Im(z) = 0 da kein b mehr vorhanden ist. geschockt

Achtung das stimmt nicht. b ist beliebig wählbar. Die komplette richtige Lösung ist hier drunter zu finden:

Somit ergibt sich Re(z) = -1 und Im(z) = x, mit x $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ da kein b mehr vorhanden ist. Ich wähle Im(z) = 0.

30.09.2015, 16:35

Steffen Bühler

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Vorsicht! z=-1 ist eine Lösung von vielen! Es ist nämlich kühn, zu behaupten

Zitat:

Somit ergibt sich Re(z) = -1 und Im(z) = 0 da kein b mehr vorhanden ist.

Die Tatsache, dass kein b mehr vorhanden ist, lässt nicht auf b=0 schließen. Sondern dass, egal welches b in die Gleichung eingesetzt wird, diese aufgeht.

Auch -1+42i ist nämlich eine Lösung. Rechne es ruhig nach.

30.09.2015, 16:38

HAL 9000

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Nach vollendeter Lösung eine Anmerkung zur geometrischen Interpretation des Sachverhalts:

Bei vorgegebenen $\begin{align*} z_1,z_2 \end{align*}$ enthält die Lösungsmenge von $\begin{align*} |z-z_1| = |z-z_2| \end{align*}$ diejenigen Punkte, die von $\begin{align*} z_1 \end{align*}$ genauso weit entfernt sind wie von $\begin{align*} z_2 \end{align*}$ - das ist die Mittelsenkrechte von $\begin{align*} z_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} z_2 \end{align*}$ .

Im vorliegenden Fall ist $\begin{align*} z_1=-3+3i \end{align*}$ und $\begin{align*} z_2=1+3i \end{align*}$ . Beide Punkte haben den gleichen Imaginärteil, verbunden also durch eine Gerade, die parallel zur reellen Achse ist. Die Mittelsenkrechte steht darauf senkrecht und geht durch den Mittelpunkt $\begin{align*} \frac{z_1+z_2}{2} = -1+3i \end{align*}$ , ist also die Gerade $\begin{align*} x=-1 \end{align*}$ .

30.09.2015, 16:58

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von ChemMath
Ich wähle Im(z) = 0.

Was Du wählst, ist egal. Die Aufgabe war doch

Zitat:

Bestimmen Sie alle komplexen Zahlen z...

Und die sind alle mit Re(z) = -1 und Im(z) = x, mit reellem x, korrekt angegeben. Da ist Schluss, gewählt wird hier nicht.

Viele Grüße
Steffen

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