Richtige Schnittgerade aufgestellt?

01.10.2015, 13:09	Lady_Evil	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtige Schnittgerade aufgestellt? Hallo! Ich schon wieder Habe eine Aufgabe gelöst und möchte nun wissen ob diese auch richtig ist. Irgendwie kommt mir das Ergebnis komisch vor. Aufgabe lautet: Gegeben sind die Ebene E1 durch 2x + y = z und die Ebene E2 durch die Punkte P(2:0;-1), Q(0;2;-1) und R(-2;-2;2). a) Bestimmen Sie jeweils die Normalenform von E1 und von E2. b) Unter welchem Winkel schneiden sich die Ebenen E1 und E2? c) Berechnen Sie die Schnittgerade der beiden Ebenen a) E1 in Normalenform: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray}$ E2 in Normalenform: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -2\\ 10\\ 12\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ -1\end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \alpha = arccos -0,19 = 100,95° \end{eqnarray}$ c) Schnittgerade $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 22\\ -22 \\ 22 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
01.10.2015, 14:37	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich dein Ergebnis für $\begin{align} E_1 \end{align}$ aus a) ausmultipliziere, erhalte ich $\begin{align} 2x+y=z-1 \end{align}$ . Das stimmt mit der vorgegebenen Gleichung nicht überein. Setze ich die Koordinaten der Punkte $\begin{align} P,Q,R \end{align}$ in dein Ergebnis für $\begin{align} E_2 \end{align}$ ein, erhalte ich $\begin{align} -4=0 \end{align}$ bzw. $\begin{align} 20=0 \end{align}$ bzw. $\begin{align} 20=0 \end{align}$ . Damit stimmt auch $\begin{align} E_2 \end{align}$ nicht. Der Rest ist somit ebenso falsch.
01.10.2015, 16:43	Lady_Evil	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, Fehler gesehen. Sollte ich nun richtig gerechnet haben habe ich folgende Ergebnisse: a) E1 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2\\ 1\\ -1\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 2\end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray}$ E2 $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2\\ 2\\ -4\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \right) = 0 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \alpha = arccos 0,833 = 33,59° \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0\\ 0 \\ 0\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -2\\ 6\\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
01.10.2015, 21:03	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Frau Böse Ich persönlich finde ja die Normalenform schrecklich, braucht kein Mensch. Aus Herleitungsgründen ist sie von Nutzen, jedoch sollte man aus praktischen Gründen eigentlich eher die ausmultiplizierte Variante, also die Koordinatenform benutzen. Daher wandle ich deine beiden Ebenen mal kurz in Koordinatenform um, weil man das dann einfach kompakter da stehen hat: $\begin{eqnarray} E_1:2x+y-z=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E_2:2x+2y-4z=0 \end{eqnarray}$ Die erste Ebene stimmt natürlich, da war ja auch nicht viel zu tun. Die zweite Ebene stimmt nicht. Das kannst du leicht selbst sehen, da die drei Punkte nicht in ihr liegen. Auch dein Vekor (1\|1\|1) ist irritierend, wie ist der entstanden ? Du brauchst an dieser Stelle einfach nur den Ortsvektor eines Punktes der Ebene. Wo genau die Fehler sind, kann ich ohne Rechenweg nicht sagen.
02.10.2015, 10:08	Lady_Evil	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey Bjoern1982 Der Vektor (1/1/1) soll mein Aufpunkt darstellen. Ich dachte beim Einsetzen von Variablen muss dieser immer zur Gleichung passen? Bei E2 habe ich den Vektor aus den Punkten aufgestellt. $\begin{eqnarray} \vec{x} = \begin{pmatrix} 2\\ 0\\ -1\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} -2\\ 2\\ -2\end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} -4\\ -2\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Danach habe ich das Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren ausgerechnet und dann E2 aufgestellt.
02.10.2015, 10:17	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Die x3-Koordinaten deiner beiden Richtungsvektoren sind falsch. Zum einen ist (-1) - (-1) nicht -2 und ebenso ist 2 - (-1) nicht 1. Dein Aufpunkt ist doch (2\|0\|-1) und genau diese Koordinaten nimmst du auch für den Vektor $\begin{eqnarray} \vec{p} \ \text{in} \ E: \vec{n} \cdot (\vec{x}-\vec{p})=0 \end{eqnarray}$
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