Konzentrationsgradient

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Konzentrationsgradient
Meine Frage:
Hallo Matheboard
Zwei Gefässe stehen auf einer Fläche, sind mit Flüssigkeit gefüllt und miteinander verbunden (habe ein Bild hochgeladen). Das erste Gefäss ist mit einem Volumen V0 einer Salzlösung mit einer Konzentration c gefüllt und ist mit dem zweiten Gefäss verbunden. Das zweite Gefäss ist mit dem gleichen Volumen (V0) Wasser gefüllt. Ein Rührer mischt das zweite Gefäss immer vollständig. An diesem Gefäss befindet sich ein Ausfluss. Ich möchte jetzt die Konzentration im Ausfluss in Abhängigkeit des ausgeflossenen Volumen berechnen c(V).
Lieben Dank für Eure Unterstützung.

Meine Ideen:
Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich vorgehen muss. Ich denke eine DGL muss her.
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konzentrationsgradient
Ich gehe mal davon aus, dass die Dichte und die dynamische Viskosität der beiden Flüssigkeiten gleich sein soll und Diffusion vernachlässigt werden kann. Was kannst du über die Wasserspiegel in beiden Gefäßen in Abhängigkeit der Zeit sagen? Was folgt hieraus?
LetSRockNRoll Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konzentrationsgradient
Ja, physikalisch sind die beiden Flüssigkeiten gleich. Da die beiden Gefässe miteinander verbunden sind, gleichen sich ihre Füllhöhen stetig aus (kommunizierende Gefässe). Das heisst, die Volumen in beiden Gefässen ist immer das gleiche und nimmt gleichermassen ab. Der Volumenstrom aus dem Auslass des zweiten Gefässes ist die Summe der Volumenabnahmen der beiden Gefässe. Und dadurch dass Flüssigkeit mit hoher Salzkonzentration aus dem ersten Gefäss in das zweite Gefäss fliesst, nimmt die Konzentration in diesem stetig zu. Die Konzentration im Auslass ist gleich wie die Konzentration im zweiten Gefäss.

Soviel zum qualitativen verhalten. Jetzt müsste ich noch eine Formel entwickeln.
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konzentrationsgradient
Bin mir gerade auch nicht sicher.....

Würde erstmal beginnen, Bilanzen aufzustellen. Dabei soll die Füllstandshöhe in beiden Gefäßen darstellen.

Volumen


Salzmenge


Salzkonzentration


Nun darfst du erstmal weiterknobeln smile .
LetSRockNRoll Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konzentrationsgradient
Hmm, interessant. Ich versuche dann morgen etwas weiter zu grübeln.
Bei der Salzkonzentration hast du geschrieben:

Das müsste glaube ich

sein, oder?
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konzentrationsgradient
Zitat:
Original von LetSRockNRoll
Hmm, interessant. Ich versuche dann morgen etwas weiter zu grübeln.
Bei der Salzkonzentration hast du geschrieben:

Das müsste glaube ich

sein, oder?


Wie kommst du darauf, dass bei eigentlich stehen müsste?
 
 
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

wahrscheinlich macht es Sinn, eine DGL für die Konzentration aufzustellen.

Ich versuche es mal mit der DGL für :

Wenn ein Volumen aus dem ersten Gefäß läuft, so ändert sich die in ihm enthaltene Salzmenge S(V) um

, woraus sich S'(V) ergibt.

Außerdem gilt für die Konzentration



Differnzieren liefert

.

Das ist also die DGL für . Wenig überraschend, oder? smile Jetzt kannst du dich ja mal an versuchen.
LetSRockNRoll Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konzentrationsgradient
@DrummerS
Zitat:
Wie kommst du darauf, dass bei eigentlich stehen müsste?

Wenn das gesamte Volumen aus dem Gefäss b ausgelaufen ist, und noch ein ganz kleiner Tropfen aus dem Gefäss a in b läuft, wird dieser nicht mehr verdünnt und hat also die Konzentration .
ist ja die Anfangskonzentration im Gefäss b und die ist = 0. Habe ich mir das falsch überlegt? verwirrt
LetSRockNRoll Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo DieLösung
Bevor ich mich jetzt auf die Ableitung stürze, kannst Du mir vielleicht kurz meine Überlegungen korrigieren?
Für :

ist ja konstant, wie Du ganz eindrücklich bewiesen hast Augenzwinkern .

und

Ist das irgendwie korrekt?
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

sieht soweit gut aus. Ich dachte erst, dass aus dem zweiten Behälter auch auslaufen, aber dann wäre das gesamt ausgelaufene Volumen ja nicht dV. Und es macht ja auch Sinn: In den zweiten Behälter läuft die aus dem ersten Behälter ankommende Flüssigkeitsmenge dV/2 ein, und der zweite Behälter ergänzt sie dann zu dV, da ja beide Behälter sich leeren.
LetSRockNRoll Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich dachte erst, dass aus dem zweiten Behälter auch auslaufen

Genau da war ich anfangs auch darübergestolpert.

Habe jetzt noch etwas weitergemacht.
Differenzieren analog zu Deinem Beispiel:


mit


eingesetzt


Habe ich das soweit richtig gerechnet?
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konzentrationsgradient
Zitat:
Original von LetSRockNRoll
@DrummerS
Zitat:
Wie kommst du darauf, dass bei eigentlich stehen müsste?

Wenn das gesamte Volumen aus dem Gefäss b ausgelaufen ist, und noch ein ganz kleiner Tropfen aus dem Gefäss a in b läuft, wird dieser nicht mehr verdünnt und hat also die Konzentration .
ist ja die Anfangskonzentration im Gefäss b und die ist = 0. Habe ich mir das falsch überlegt? verwirrt


Das ist ein interessantes Thema. Aufgrund der kommunizierenden Gefäßen würde ich jedoch vermuten, das der letzte Tropfen aus Gefäß a sich mit dem letzten Tropfen aus Gefäß b mischt. Ist aber egal. In beiden Fällen ist schließlich .
DieLösunf Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sieht gut aus. Interessant fand ich noch, dass die Ableitung der Konzentration automatisch berücksichtigt, dass sich nicht nur die Salzmenge ändern kann (1. Term), sondern auch die Flüssigkeitsmenge (2. Term).
lh2 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LetSRockNRoll
Da die beiden Gefässe miteinander verbunden sind, gleichen sich ihre Füllhöhen stetig aus (kommunizierende Gefässe). Das heisst, die Volumen in beiden Gefässen ist immer das gleiche und nimmt gleichermassen ab.

Nein
der rechte Behälter läuft immer schneller leer

wenn die Fläche am Ausfluß klein ist
bzw beim Verbindungsstück groß
oder so irgendwie
kann man das aber wohl vernachlässigen
LetSRockNRoll Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konzentrationsgradient
Hallo @DrummerS
Zitat:
das der letzte Tropfen aus Gefäß a sich mit dem letzten Tropfen aus Gefäß b mischt. Ist aber egal. In beiden Fällen ist schließlich .

Ja, Du hast recht. Der letzte Tropfen aus Gefäss a mischt sich mit dem letzten Tropfen aus Gefäss b. Aber zu diesem Zeitpunkt ist die Konzentration im Gefäss b nicht mehr = 0, da ja bereits die gesamte Zeit Salz aus dem Gefäss a rübergeflossen ist. Deshalb ist
.

@Ih2
ja, ich denke das kann man vernachlässigen.
LetSRockNRoll Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo DieLösung
Zitat:
Interessant fand ich noch, dass die Ableitung der Konzentration automatisch berücksichtigt, dass sich nicht nur die Salzmenge ändern kann (1. Term), sondern auch die Flüssigkeitsmenge (2. Term).

Tatsächlich, sehr cool. Die Mathe ist halt ein intelligentes Kind.
Ich nicht so, ich glaube ich brauche nochmals einen Anstoss um die DGL auch noch zu lösen. Hilfe
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht reicht das schon: Interpretiere auf der linken Seiten als . Augenzwinkern
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konzentrationsgradient
Zitat:
Original von LetSRockNRoll
Hallo @DrummerS
Zitat:
das der letzte Tropfen aus Gefäß a sich mit dem letzten Tropfen aus Gefäß b mischt. Ist aber egal. In beiden Fällen ist schließlich .

Ja, Du hast recht. Der letzte Tropfen aus Gefäss a mischt sich mit dem letzten Tropfen aus Gefäss b. Aber zu diesem Zeitpunkt ist die Konzentration im Gefäss b nicht mehr = 0, da ja bereits die gesamte Zeit Salz aus dem Gefäss a rübergeflossen ist. Deshalb ist
.


Bei sind jedoch beide Gefäße leer. Die Bilanz der Salzmenge mit und dadurch wäre dadurch:
. Hieraus folgt der Widerspruch:
LetSRockNRoll Auf diesen Beitrag antworten »

@DieLösung
Zitat:
Interpretiere auf der linken Seiten als .

Hm, doch nicht. Ich weiss einfach nicht recht was ich mit auf der rechten Seite der Gleichung anstellen soll unglücklich . Ich bin ganz sicher, dass es einen ganz einfachen Trick gibt.
Ich habe da mal was gebastelt, bin mir aber sicher, dass es ziemlicher Blödsinn ist:
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt auf beiden Seiten integrieren. Was ist eine Stammfunktion zu ?
LetSRockNRoll Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre

und somit

Ist das richtig so?

Das heisst, was ich gebastelt habe ist gar nicht mal so verkehrt?
Noch eine Frage zu
Zitat:
Interpretiere auf der linken Seiten als .

Darf man das weil konstant ist?
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wie bekommt man nun den Logarithmus weg?

Analog kann man sich auch so überlegen, wie sich die Gleichung lösen lässt (die Ableitung welcher Funktion ist gleich der Funktion selbst durch ? Auch wenn ich das Ergebnis erstmal nicht so recht glauben kann ... verwirrt )
LetSRockNRoll Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit exp:



das gibt dann:


Das kann aber nur schon von den Einheiten nicht stimmen traurig . Ich mach mich mal auf die Fehlersuche.
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Naja von den Einheiten her schon: Man darf ja noch beliebige Konstanten dranmultiplizieren, da diese sich rauskürzen. Deren Wert folgt dann aus der Anfangsbedingung .

Seltsamer finde ich, dass die Konzentration sich linear verhält.
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LetSRockNRoll




Als Alternative käme noch die folgende Herangehensweise in Betracht (inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung als Anfangswertaufgabe)?



Wenn das Gleiche herauskommt, dann wäre die DGL vermutlich falsch.
DieLösung Auf diesen Beitrag antworten »

Gestern abend war ich ganz schön verwirrt. Mittlerweile habe ich mir folgende Erklärung zurechtgelegt: Wäre der zweite Behälter vom ersten abgeschottet und würde nur Flüssigkeit verlieren, so wäre die Konzentration (wie für den ersten Behälter gezeigt) konstant. Dies würde darüber hinaus auch gelten, wenn Flüssigkeit aus dem ersten Behälter einströmt, aber ist.

Ist nun , so wird effektiv eine konstante Menge Salz pro Volumen in den zweiten Behälter transportiert. Da der Flüssigkeitsabfluss bei perfekter Durchmischung die Konzentration nicht ändert, ist die Menge des in den zweiten Container transportierten Salzes also proportional zum insgesamt ausgelaufenen Volumen V. Der Salzgehalt steigt also proportional zum transportierten Volumen V, wird sofort perfekt durchmischt, so dass der Flüssigkeitsablauf die Konzentration nicht mehr ändert - dies sollte ein lineares Verhalten ergeben.

Falls sich tatsächlich ein Rechenfehler eingeschlichen haben sollte, nehme ich natürlich alles zurück Augenzwinkern Jedoch ist in jedem Fall noch die multiplikative Kontante passend zu wählen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von DieLösung
Falls sich tatsächlich ein Rechenfehler eingeschlichen haben sollte, nehme ich natürlich alles zurück Augenzwinkern Jedoch ist in jedem Fall noch die multiplikative Kontante passend zu wählen.

Da hat sich kein Rechenfehler eingeschlichen. All deine Bemerkungen waren aus meiner Sicht konstruktiv und richtig. Erwäge ruhig mal, dich zu registrieren und dauerhaft als Helfer zu agieren.

Da alle Zutaten für die Lösung schon genannt wurden, diese selbst aber noch fehlt, will ich sie mal nachtragen. Die korrekte DGL wurde schon genannt:

Zitat:
Original von LetSRockNRoll


Bei ihrer Lösung fehlte noch die Integrationskonstante, mit der man die allgemeine Lösung an die Anfangsbedingung anpassen kann. Die allgemeine Lösung ist:





Die Integrationskonstante c ergibt sich aus zu:



Das ergibt dann:

LetSRockNRoll Auf diesen Beitrag antworten »

Liebe(r) DieLösung, DrummerS und Huggy

Vielen lieben Dank für Eure grossartige Unterstützung Mit Zunge . Ich glaube ich hab es jetzt kapiert, was hier gerechnet wurde. Es hat wirklich Spass gemacht und ich habe jetzt auch noch die vollständige Lösung. Ich habs jetzt auch mit der Konstante begriffen . Für könnte man also auch eine beliebige Konzentration wählen.

Nochmals vielen Dank und bis zum Nächsten Problem Wink
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von LetSRockNRoll
Für könnte man also auch eine beliebige Konzentration wählen.

Diese Bemerkung ist schwer verständlich. ist doch durch die Aufgabenstellung eindeutig bestimmt. Vielleicht meinst du, dass man die Anfangskonzentration im Behälter 2 beliebig vorgeben könnte.
LetSRockNRoll Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
ist doch durch die Aufgabenstellung eindeutig bestimmt. Vielleicht meinst du, dass man die Anfangskonzentration im Behälter 2 beliebig vorgeben könnte.


Ja, genau. Man könnte damit einen linearen Gradienten zwischen zwei beliebigen Konzentrationen realisieren. ist die Startkonzentration, die Endkonzentration.
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