Beweis: Der kleinste von 1 verschiedene Teiler ist stets eine Primzahl |
| 02.10.2015, 22:40 | Nesria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Beweis: Der kleinste von 1 verschiedene Teiler ist stets eine Primzahl Hallo zusammen, vor mir liegt folgende Aufgabenstellung: "Sei nEN>1 eine beliebige natürliche Zahl. Zeigen Sie, dass der kleinste von 1 verschiedene Teiler stehts eine Primzahl ist!" Wäre super, wenn mir da jemand Helfen könnte :/ LG Meine Ideen: Grundsätzlich erscheint das ja logisch, da man jede Zahl, die keine Primzahl ist, durch Primfaktorzerlegung zerlegen kann und somit immer Primzahlen bekomme - wie ich das darstellen soll weiß ich leider nicht :/ Edit (mY+): Stets bitte ohne "h" |
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| 03.10.2015, 07:54 | DieLösung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wichtig dabei ist noch, dass alle primzahlen in der primfaktorzerlegung von m > 1 kleiner als m sind (wenn m nicht schon prim ist). Also ist m nicht der kleinste Teiler, widerspruch. |
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| 03.10.2015, 09:46 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Primfaktorzerlegung oder die eindeutige Primfaktorzerlegung natürlicher Zahlen ist für den Beweis nicht notwendig. Das lässt sich mit Ordnungsrelation und Teilbarkeitsrelation und Definition von Primzahlen beweisen. @Nesria: 1. Man darf nie sagen, etwas erscheine logisch, wenn man es nicht beweisen kann. 2. Kannst Du die eindeutige Primfaktorzerlegung beweisen ? Wie würdest Du daraus die Behauptung beweisen ? 3. Du sagst, dass man jede Zahl, die keine Primzahl ist, in Primzahlen zerlegen kann. Gilt das nicht für Primzahlen ? 4. Wie zerlegst Du die 1, die keine Primzahl ist, in Primzahlen ? 
5. "Wer nämlich mit h schreibt, ist dämlich." Gilt das auch, wenn man stets mit h schreibt? 
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| 03.10.2015, 12:59 | Nesria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
1. dass man so etwas nicht im Beweis schreibt ist mir auch klar - ich meinte viel mehr, dass mir die Aussage logisch erscheint, sprich ich sie verstehe. 2. zur Eindeutigkeit der PFZ haben wir einen Beweis in der Vorlesung aufgeschrieben - dass man den einfach anschreiben soll, glaube ich allerdings nicht 3. ja natürlich gilt das auch für Primzahlen - aber da man diese sowieso nur in 1 und sich selbst zerlegen kann, habe ich mich erstmal auf die anderen bezogen - wobei das auch nur Gedankengänge meinerseits waren. 4. um die 1 muss ich mich nicht kümmern, da in der Aufgabenstellung nur nach Zahlen größer 1 gefragt ist 5. da hat wohl jemand Spaß am trollen 
So und da mir die ganzen Punkte leider überhaupt nicht weiter geholfen haben, wäre ich sehr froh wenn sich jemand finden würde der mir bei der Lösung auf die Sprünge hilft, anstatt hier nur viel zu posten, ohne etwas damit zu sagen
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| 03.10.2015, 13:12 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nesria, in Zukunft bitte einen etwas freundlicheren Tonfall, sonst bin ich hier auch weg. Zum Thema: Eine Idee wäre ein Widerspruchsbeweis: Angenommen es gäbe ein mit kleinstem von 1 verschiedenen Teiler , wobei keine Primzahl sei. Kannst du dies nun zum Widerspruch führen? Nachtrag: Die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung braucht man dabei nicht. |
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| 03.10.2015, 13:25 | DieLösung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Meine Meinung: Wenn die Existenz der Primfaktorenzerlegung in der Vorlesung für die in deinem Fall relevanten Zahlen gezeigt wurde, kannst du sie benutzen. Du kannst dir aber auch überlegen, dass jede Zahl, die keine Primzahl ist, definitionsgemäß noch weitere Teiler enthalten muss. |
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| 03.10.2015, 14:10 | Nesria | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn man eine Zahl n nimmt und sie mit n=a*b darstellt, und n eine Primzahl ist, dann sind beide Teiler eine Primzahl (1 und n selbst). Wenn n keine Primzahl ist und man n=a*b hat, dann muss man a und b auch darstellen können, und diese haben dann ja selbst Teiler (a=k*l , b=p*q) usw bis man wieder bei Primzahlen ist... Wenn ich das als Widerspruchsbeweis schreiben will, also der kleinste von 1 verschiedene Teiler ist nicht E P, komme ich zu den selben Gedanken wie oben :/ Irgendwie macht es nicht "klick" wie ich das aufschreiben soll. Der Beweis zur Existenz und Eindeutigkeit von PFZ ist 5 Seiten lang, da wüsste ich gar nicht was genau ich davon verwenden soll |
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| 03.10.2015, 14:16 | DieLösung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Idealfall nur das Ergebnis: Es gibt (für bestimmte Zahlen) eine Primfaktorenzerlegung, und aus dieser folgt ... Es sei denn, die Anwendung dieses Satzes wurde explizit verboten.
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| 03.10.2015, 14:30 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
@Nesria Ich habe alle Punkte deutlich aufgeschrieben, damit Du erkennen kannst, wie ungenau Deine Aussagen sind. Auf diese Art wirst Du nicht zu einem sinnvollen Beweis kommen. Du musst auch zunächst einmal die Aufgabenstellung zur Kenntnis nehmen. Es geht nicht um irgendeine Primzerlegung, es geht um die Primzahlzerlegung natürlicher Zahlen größer als 1 und insbesondere um den kleinsten Teiler. Du darfst auch gern meinen Hinweis annehmen, der da lautet: Benutze Definition von Primzahl, Teilbarkeit und Ordnung. (Einfacher geht es nicht.) Einen Beweis aus der Primzahlzerlegung herzuleiten, ist sehr viel schwieriger. Genauer: es ist völlig unmöglich, aus der Tatsache, dass jede Zahl größer als 1 als Produkt von Primzahlen geschrieben werden kann, einen Beweis abzuleiten. (Man benötigt zusätzlich die Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen, die Definition der Teilbarkeit, die Definition von Primzahl und ganz wesentlich die Eindeutigkeit (bis auf Reihenfolge) der Primzahlzerlegung.) |
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| 03.10.2015, 15:19 | Math1986 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig ist aber trotzdem, dass ein Teiler eine Primzahl ist, nämlich n selbst, und es nach Definition einer Primzahl auch keinen kleineren Teiler geben kann.
8 ist auch keine Primzahl, lässt sich aber nicht als Produkt zweier Nichtprimzahlen schreiben. Auch sollte man oben fordern dass Entscheidend ist aber, dass für mit und mit eben auch und ist, und somit nicht der kleinste Teiler ungleich Eins von seien kann. |
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