Grundlegende Fragen und Beispiele zum Einheitskreis

03.10.2015, 10:11

Probability

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Grundlegende Fragen und Beispiele zum Einheitskreis

Hallo Zusammen,

ich habe hier zwei Beispiele mit denen ich nicht ganz klar komme, denn der Einheitskreis ist mir immer noch nicht so wirklich klar.

Hier mal ein Beispiel, dass andere später:
1. Bsp: $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ definiert man als Fläche des Einheitkreises. Überlegen Sie sich anhand der folgenden Skizze, dass der umfang des Einheitskreises $\begin{eqnarray*} 2*\pi \end{eqnarray*}$ ist. (siehe Bild im Anhang)

Folgendes ist mir bewusst:
Wenn man sich den Einheitskreis im Koordinatesystem vorstellt, dann rechnet man mit cos(x) immer den x-Wert aus und mit sin(x) den y-Wert und so kann man halt leicht ablesen, dass sin(90°)=1 und cos(90°)=0 ist.

Aber ich verstehe das nicht wirklich im Zusammenhang mit der Aufgabe. Kann mir da jemand weiterhelfen bitte?

Gruß
Probability

03.10.2015, 10:38

Bürgi

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RE: Grundlegende Fragen und Beispiele zum Einheitskreis!
Guten Morgen,

Dein Beispiel hat mit den trig. Funktionen erst einmal überhaupt nichts zu tun.

Der Einheitskreis mit $\begin{eqnarray*} A = \pi \end{eqnarray*}$ wird in sehr viel gleichgroße "Tortenstücke" unterteilt, die man anschließend so anordnet, dass sich quasi ein Rechteck ergibt. Da alle dunklen Kreisbögen (oder alle hellen Kreisbögen) gerade den halben Umfang des Kreises ergeben, hat das Rechteck die Länge $\begin{eqnarray*} l=\frac12 \cdot u \end{eqnarray*}$ und die Breite entspricht dem Radius, also 1.

Du kannst nun mit Hilfe der Flächenformel für das Rechteck und der bekannten Flächengröße des Einheitskreises den Umfang des Kreises berechnen.

03.10.2015, 11:19

Probability

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Ahja stimmt danke, dass ist doch sehr einfach. Gleichsetzen und umformen.

Aber genau ist das nicht oder? Da es ja nicht wirklich ein Rechteck ist. Könnte man das auch genauer berechnen?

Zum Bsp2:
Für den Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ sind die Größen $\begin{eqnarray*} cos(\alpha), sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ folgendermaßen am Einheitskreis definiert: siehe Anhang

Berechne nun $\begin{eqnarray*} cos(\alpha), sin(\alpha) \end{eqnarray*}$ für folgende $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -Werte: 0, 90, 180, 270, 360, 30, 45, 60 [°].

Hier kommen aber die trig. Funktionen vor, d.h. wie ich oben schon beschrieben habe, kann ich mir die sin- bzw. cos-Wert einfach für 0, 90, 180 usw. berechnen, aber wie mache ich das bei 30° und 60° oder gibt es da allgemein einen ganz anderen Trick?

03.10.2015, 11:29

Bürgi

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Hallo,

Du hast recht, "genau" ist das nicht. Dazu müsste man beispielsweise eine Grenzwertberechnung durchführen.

Für die Bestimmung der Funktionswerte $\begin{eqnarray*} \sin(30^\circ), \cos(30^\circ), \sin(60^\circ), \cos(30^\circ) \end{eqnarray*}$ betrachte ein gleichseitiges Dreieck. Das kannst Du selbstverständlich auch in den Einheitskreis einzeichnen.

Für $\begin{eqnarray*} \sin(45^\circ), \cos(45^\circ) \end{eqnarray*}$ betrachte ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck.

03.10.2015, 11:50

Probability

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Hallo,

ok danke dir.

Habe mir nun alles aufgezeichnet und wollte sin(45°) berechnen, doch ich scheitere. Ich wollte es mit $\begin{eqnarray*} sin(x) = \frac{GK}{H} \end{eqnarray*}$ , jedoch kenne ich ja den Wert der GK nicht. Und über Pythagoras komme auch auch nicht ran, da ich zwei "Unbekannte" habe, cos(45) und sin(45). Und die will ich doch ausrechnen.

03.10.2015, 13:39

Bürgi

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Hallo,

Pythagoras ist genau das richtige Stichwort.
Ich gehe mal davon aus, dass Deine Zeichnung so ähnlich aussieht:
[attach]39210[/attach]

Es handelt sich um ein gleichschenkliges, rechtwinkliges Dreieck, d.h., die blauen Seiten sind gleich lang. Bezeichne sie mit s und benutze den Pythagoras. Berechne die Länge von s.

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03.10.2015, 14:34

Probability

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Hm, also folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} s = \sqrt{1 - s^2} \end{eqnarray*}$

Einfach umformen jetzt? Also: $\begin{eqnarray*} s^2 = 1- s^2 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} s = \sqrt{0,5} \end{eqnarray*}$

Gut, aber warum ist es bei 30° und 60° ein gleichseitiges Dreieck? Braucht man nicht immer einen rechten Winkel, um das Dreieck mit der Hypotenuse=1 einzuzeichnen? Dachte diese muss immer 1 sein und innerhalb des Kreises.

03.10.2015, 14:42

Bürgi

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Hallo,

Dein Ergebnis ist richtig. Wenn Du einen rationalen Nenner brauchst, schreibt man diesen Wert besser so: $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac12} = \frac12 \cdot \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Zur Berechnung von sin(30°) platziere das Dreieck so in den Einheitskreis und benutz anschließend wieder den Pythagoras:

[attach]39212[/attach]

Das markierte Dreieck ist ein gleichseitiges Dreieck, d.h., alle Seiten haben die Länge 1.

03.10.2015, 19:12

Probability

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Ahh ok, habs nun - Danke! Bei 60° ist es genau umgekehrt. Schon langsam komme ich wieder rein smile

smile

.

Eine Frage hätte ich doch, die mich interessiert: Die Summen aller Winkel im Dreieck sind doch 180°, dass weiß ich, aber warum ist das denn so?

Wikipedia gibt folgendes Bild her: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei:Triangle-angles.svg
Aber mir ist der Beiweis nicht wirklich klar.

03.10.2015, 20:48

Bürgi

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Hallo,

informiere Dich über

Scheitelwinkel an sich schneidenden Geraden
Stufen- und Wechselwinkel an Parallelen

.... und dann sieh Dir die Zeichnung bei Wikipedia noch einmal an. (Die schräge gestrichelte Gerade ist parallel zur gegenüber liegenden Dreiecksseite!)

04.10.2015, 09:55

Probability

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Danke! Ich habs nun smile

smile

.

Wenn man die Seiten des Dreiecks parallel verschiebt und verlängert, verändern sich ja die Winkel nicht und man kann, wie man auf dem Wiki-Bild sieht, es leicht dann z.B. rechts vom Dreieck überprüfen, da diese Halbkugel ja 180° ergibt.

Bei folgende Bsp verstehe ich die Aufgabenstellung nicht wirklich, es klingt ein bisschen verwirrend:
Zeige, dass für beliebige reele Zahlen a,b gilt $\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b)=a^2-b^2 \end{eqnarray*}$ .
Schließe daraus, dass unter allen Rechtecken mit vorgegebenem Umfang das Quadrat die größte Fläche hat.

Also den ersten Teil der Aufgabe habe ich wie folgt gelöst: $\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b) = a^2+ab-ab+b^2 = a^2-b^2 \end{eqnarray*}$
Ok, dass ist ja sehr einfach.

Den zweiten Teil der Aufgabe verstehe ich so, dass man Rechtecke mit gleichem Umfang gegeben hat und das Quadrat mit denselben Umfang hat die größte Fläche von allem. Richtig verstanden?

Aber soll ich mir da jetzt einfach Werte für den Umfang, Länge und Breite der Rechtecke ausdenken?

04.10.2015, 14:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Probability
Also den ersten Teil der Aufgabe habe ich wie folgt gelöst: $\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b) = a^2+ab-ab+b^2 = a^2-b^2 \end{eqnarray*}$

So geschrieben ist es im Mittelteil natürlich falsch - wenn schon, dann bitte mit Klammern:

$\begin{eqnarray*} (a+b)(a-b) = a^2+ab-(ab+b^2) = a^2-b^2 \end{eqnarray*}$

04.10.2015, 14:27

Probability

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Achso, da gehört natürlich ein Minus vor $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ , danke.

Könnt ihr mir bitte sagen, ob der 2te Teil des Beispieles auch so gemeint ist, wie ich es oben beschrieben habe?

04.10.2015, 15:04

Bürgi

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Guten Tag,

in meiner Skizze haben das Quadrat (mit schwarzen Seiten) und das Rechteck (mit blauen Seiten) denselben Umfang (bitte nachprüfen!).

[attach]39225[/attach]

Berechne die Flächengröße des Rechtecks.

Überlege Dir, dass ein Wert, von dem nichts abgezogen wird, am größten ist.

06.10.2015, 15:37

Probability

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Danke für die Zeichnung.

$\begin{eqnarray*} A=(a+b)*x \end{eqnarray*}$

x kennen wir ja nicht, also die breite des Rechtecks. Laut Aufgabenstellung soll ich ja $\begin{eqnarray*} a^2-b^2 \end{eqnarray*}$ hier einbringen, aber ich verstehe nicht, was das bringen soll bzw. wie es zusammenhängt.

06.10.2015, 22:28

Probability

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Ah, ich habs jetzt.

Die Seiten des Rechtecks sind ja (a-b) und (a+b), falls b != 0 ist. b ist sozusagen die Verschiebung der Seiten, sodass man ein Rechteck bekommt und dann gibt es am Ende halt dieses b^2, dass von a^2 abgezogen wird.

Wenn b=0 ist, dann bleibt nur das a^2 übrig und naja a^2 ist größer, da nichts abgezogen wird.

Danke nochmals!

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