Eigenwert mit Unbekannten bestimmen

05.10.2015, 13:15

Lady_Evil

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Eigenwert mit Unbekannten bestimmen

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

Bestimmen Sie passende positive reelle Zahlen a,b in der Matrix

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} a & b \\ b & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

so, dass die Eigenwerte $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda_2 =- \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sind. Berechnen aller Eigenvektoren zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$

Habe jetzt alle Variationen durchgerechnet. Am logistischen erschien mir Lambda in die Matrix einzusetzen, so wie man normalerweise den Eigenvektor berechnet. Also:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} (a-\frac{7}{2}) & b \\ b & (1-\frac{7}{2}) \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meine Ergebnisse waren $\begin{eqnarray*} a = \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = 0 \end{eqnarray*}$

Dies habe ich probeweise nachgerechnet und versucht auf den Eigenwert von Lambda 1 zu kommen aber das hat nicht funktioniert, also gehe ich davon aus dass a & b falsch berechnet sind. Wo liegt mein Fehler?

05.10.2015, 13:19

bijektion

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Dein Vorgehen verstehe ich nicht, und es liefert auch nicht das richtige Ergebnis, so wären die Eigenwerte ja andere.
Bestimme doch erstmal das charakteristische Polynom der Matrix.

05.10.2015, 13:26

Lady_Evil

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Mein Polynom lautet:
$\begin{eqnarray*} b^{2} - \frac{5}{2}a + \frac{35}{4} \end{eqnarray*}$

05.10.2015, 13:29

bijektion

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Das stimmt nicht. Das charakeristische Polynom einer Matrix $\begin{eqnarray*} A\in M_{n\times n}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch $\begin{eqnarray*} \chi_{A}(\lambda)=\det ( A-\lambda\cdot E_n) \end{eqnarray*}$ und Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind Eigenwerte.

05.10.2015, 13:35

Lady_Evil

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Wie sollte dann mein Polynom lauten? So bin ich vorgegangen. Verstehe ich nicht.

So komme ich auf mein Polynom:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ b & 1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = -b^{2} - \frac{5}{2}a + \frac{35}{4} \end{eqnarray*}$

(hatte im vorherigen Post einen Vorzeichenfehler)

05.10.2015, 13:41

bijektion

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Das kann doch schon gar nicht sein, weil die linke Seite ein Element von $\begin{eqnarray*} M_{n\times n}(\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ ist und die rechte ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Du erhälst dein Polynom indem du $\begin{eqnarray*} \det \left(\begin{pmatrix} a & b \\ b & 1 \end{pmatrix} - \lambda \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ berechnest.

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05.10.2015, 14:20

Lady_Evil

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Ich habe ja für Lambda meine $\begin{eqnarray*} \frac{7}{2} \end{eqnarray*}$ eingesetzt. Also

$\begin{eqnarray*} det \vec{x} =\begin{pmatrix} (a-\frac{7}{2}) & b \\ b & (1-\frac{7}{2}) \end{pmatrix} = - b^{2} - \frac{5}{2}a + \frac{35}{4} \end{eqnarray*}$

05.10.2015, 14:23

bijektion

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Achso, ok. Der Ausdruck muss $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ sein.
Dann musst du das gleiche noch für den zweiten Eigenwerte machen und erhälst dann zwei Gleichungen für zwei Unbekannte.

05.10.2015, 14:42

Lady_Evil

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Okay, das habe ich gemacht. Jetzt habe ich zwei Gleichungen erhalten, allerdings weiß ich nicht wie ich mit den Beiden umgehen soll? Habe diese gleichgesetzt und seltsame Werte erhalten. Deshalb gehe ich davon aus dass meine Vorgehensweise falsch war ....

05.10.2015, 14:44

bijektion

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Du musst sie $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ setzen, also $\begin{eqnarray*} - b^{2} - \frac{5}{2}a + \frac{35}{4} =0 \end{eqnarray*}$ und für den anderen Eigenwert analog.

05.10.2015, 14:49

Lady_Evil

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Habe ich, danach Beide nach a aufgelöst, gleichgesetzt und für b 1,37 (gerundet) erhalten. Für a habe ich gar nicht erst weiter gerechnet weil die 1,37 schon seltsam waren ....

05.10.2015, 14:51

bijektion

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Wie hast du den gerechnet?

05.10.2015, 15:10

Lady_Evil

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Habe mal schnell ein Bild gemacht Augenzwinkern

Augenzwinkern

[attach]39236[/attach]

hoffe es ist lesbar.

05.10.2015, 15:24

bijektion

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Es sieht so aus, als würde die zweite Gleichung nicht stimmen. Ich habe die beiden Gleichungen

$\begin{eqnarray*} \frac{35}{4}-b^2-\frac{5}{2}a=0 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}-b^2+\frac{3}{2}a=0 \end{eqnarray*}$ .

05.10.2015, 19:04

Lady_Evil

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Ok, habe mich verrechnet. Aber auch mit deiner Gleichung komme ich nur auf Zahlen die ich runden muss verwirrt

verwirrt

05.10.2015, 19:09

HAL 9000

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Was musst du denn bei $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ "runden" ? Erstaunt1

Erstaunt1

05.10.2015, 19:34

Lady_Evil

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Das Ergebnis welches ich durchs Wurzelziehen bekomme .....

05.10.2015, 19:43

HAL 9000

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Nochmal ganz, ganz deutlich: Es kommt glatt a=2 heraus - was willst du da noch runden? Forum Kloppe

Forum Kloppe

05.10.2015, 20:50

Lady_Evil

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Ich komme nicht auf 2. Wenn man die Gleichungen gleichsetzt erhält man:

$\begin{eqnarray*} - \frac{7}{2} - \frac{b²}{\frac{5}{2} } = - 1 + \frac{b²}{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

Wie hast du das denn gerechnet?

05.10.2015, 21:14

Rubi

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Hallo,

also du hast 2 Gleichungen und 2 Unbekannte, also kannst du eine Gleichung nach einer Unbekannten umstellen und in die andere Gleichung einsetzen....

Ich hab z.B die 1. Gleichung nach $\begin{eqnarray*} b^{2} \end{eqnarray*}$ umgestellt und dann in die 2. Gleichung eingesetz.... Dann sollte nach Adam Ries a=2 rauskommen...

05.10.2015, 21:27

Rubi

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Kurzer Nachtrag, ich verstehe deine Gleichungen nicht bzw. du hast die beiden Gleichungen gleichgesetzt und wo ist das a hin?? Benutze am Besten, die beiden Gleichungen, die @Bijektion schon netterweise aufgestellt hatte...und dann kannst du sie mit dem Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren oder Einsetzungsverfahren (meine Variante) lösen...

06.10.2015, 11:22

Elvis

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Den folgenden Ansatz finde ich eleganter:

$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda I)=(a-\lambda)(1-\lambda)-b^2=(\lambda-\frac 7 2)(\lambda+\frac 1 2) \end{eqnarray*}$

und dann die quadratischen Gleichungen ausmultiplizieren und Koeffizienten vergleichen.

Übrigens scheint mir in der Diskussion noch ein großes Mißverständnis aufzutauchen. Die Wurzel aus einer nichtnegativen reellen Zahl ist eine nichtnegative reelle Zahl, da gibt es nichts weiter zu berechnen und schon gar nichts zu runden. Reelle Zahlen sind Folgen, Reihen, Intervallschachtelungen, Dedekindsche Schnitte, Nullstellen von Polynomen und vieles mehr, nicht nur endliche oder unendliche, periodische oder nichtperiodische Dezimalzahlen.

06.10.2015, 12:06

HAL 9000

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@Elvis

Keine Frage, und bijektion hatte hier ja auch dazu angesetzt - um dann Rücksicht zu nehmen auf den vom Fragesteller einmal eingeschlagenen (und etwas umständlicheren) Weg, der ja auch zum Ziel führt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Elvis
Übrigens scheint mir in der Diskussion noch ein großes Mißverständnis aufzutauchen. Die Wurzel aus einer nichtnegativen reellen Zahl ist eine nichtnegative reelle Zahl, da gibt es nichts weiter zu berechnen und schon gar nichts zu runden. Reelle Zahlen sind Folgen, Reihen, Intervallschachtelungen, Dedekindsche Schnitte, Nullstellen von Polynomen und vieles mehr, nicht nur endliche oder unendliche, periodische oder nichtperiodische Dezimalzahlen.

Völlig d'accord. Genauso die unseligen, unnötigen Zwischenrundungen, über die ich mich letztens mal beschwert habe und auf weitgehendes Unverständnis gestoßen bin.

06.10.2015, 21:09

Lady_Evil

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Zitat:

Original von Rubi
Kurzer Nachtrag, ich verstehe deine Gleichungen nicht bzw. du hast die beiden Gleichungen gleichgesetzt und wo ist das a hin?? Benutze am Besten, die beiden Gleichungen, die @Bijektion schon netterweise aufgestellt hatte...und dann kannst du sie mit dem Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren oder Einsetzungsverfahren (meine Variante) lösen...

Habe ich doch? Das "a" habe ich gleichgesetzt.

06.10.2015, 22:12

Rubi

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N'abend @Lady,

das was du zuletzt gleichgesetzt hast ist ganz komisch und falsch!

Willst du jetzt mit dem letzten Beitrag sagen, dass du bisher nicht auf die richtige Lösung gekommen bist?

Dann sag das doch.... Ich kann dir dann zeigen, wie ich es gemacht habe, wie gesagt ich habe mich an deinen Ansatz bzw. an den fortgeführten Ansatz von @Bijektion gehalten.

Du hast sogar von @Elvis also ein anderer Helfer, einen noch eleganteren Hinweis bekommen...

07.10.2015, 08:29

HAL 9000

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@Lady_Evil

Vielleicht war es ja deine Absicht, beide Gleichungen

Zitat:

Original von bijektion
$\begin{eqnarray*} \frac{35}{4}-b^2-\frac{5}{2}a=0 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{4}-b^2+\frac{3}{2}a=0 \end{eqnarray*}$

nach $\begin{align*} a \end{align*}$ umzustellen und das dann gleichzusetzen. Nur leider ist dir das mit

Zitat:

Original von Lady_Evil
$\begin{eqnarray*} - \frac{7}{2} - \frac{b²}{\frac{5}{2} } = - 1 + \frac{b²}{\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

misslungen, auf beiden Seiten sind Umformungsfehler. Also bitte nochmal, diesmal mit Sorgfalt.

07.10.2015, 09:02

Dopap

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die Gleichungen von bijektion würde ich sowieso zuerst mit 4 durchmultiplizieren damit diese bruchfrei werden.
Terme mit Brüchen durch Brüche zu teilen ist eben doch trotz aller Regeln immer ein Quell' von Fehlern.

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