Termumformung

05.10.2015, 20:41

RatloserGast

Termumformung

Meine Frage:
Zu zeigen ist:
$\begin{eqnarray*} min \sum\limits_{i=1}^{26} p_{i}^2 = 0.0385 = \frac{1}{26} \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{26} p_{i} = 1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} p \in [0,1] \end{eqnarray*}$

Bei der Lösung findet eine Umformung statt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^{26} p_{i}^2 = \frac {1}{26} + \sum\limits_{i=1}^{26} (p_{i} - \frac {1}{26})^2 \end{eqnarray*}$
Man muss dann den recht Teil dieser Gleichung so umformen, sodass man die Summe auf der linken Seite erhält. Dies konnte ich selbst durchführen.
Allerdings verstehe ich nicht wie man auf diese Umformung gekommen ist.
Was war die Idee?

Meine Ideen:
Ok man hat hier 1/26 als Summanden hingeschrieben, da man davon ausgeht, dass die Summe mindesten 1/26 ist. Aber wie kommt diese Summe dahinter zustande?
Für mich sieht das aus wie eine quadratische Ergänzung, aber das stimmt sicherlich nicht .. unglücklich

05.10.2015, 22:34

HAL 9000

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Naja, es ist eben eine trickreiche Umformung. Aber man mus es ja nicht so machen, es führen hier viele Wege nach Rom, z.B. auch

- AMQM (Ungleichung zwischen arithmetischen und quadratischen Mittel)
- CSU (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung)

06.10.2015, 06:40

Ratloser Gast

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1. Mit der CSU scheint es einfach zu sein:
$\begin{eqnarray*} \left( \sum\limits_{i=1}^{26} p_i \cdot 1 \right)^2 \leq \sum\limits_{i=1}^{26} p_{i}^2 \cdot\sum\limits_{i=1}^{26}1^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow 1 \leq \sum\limits_{i=1}^{26}p_{i}^2 \cdot 26 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{26} \leq \sum\limits_{i=1}^{26}p_{i}^2 \end{eqnarray*}$
Mit der letzten Ungleichung hat man dann die Aussage bewiesen.

2. Hmmm .... mit der AMQM scheint mir das nicht so offensichtlich.
Kannst du einen Tipp geben oder den Anfang machen?

3. Du sagst, dass es eine trickreiche Umforumung war. Dennoch... kannst du mir erklären wie man darauf gekommen ist? Gibts da vielleicht auch eine Ungleichung oder Ähnliches, dass hier in Betracht gezogen wurde?

06.10.2015, 09:42

HAL 9000

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Na AMQM schlicht auf die Werte $\begin{align*} p_1,\ldots,p_n \end{align*}$ anwenden ergibt $\begin{align*} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p_i \leq \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n p_i^2} \end{align*}$ bzw. quadriert und mit $\begin{align*} n \end{align*}$ multipliziert

$\begin{align*} \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n p_i \right)^2 \leq \sum_{i=1}^n p_i^2 \end{align*}$ .

Mit $\begin{align*} n=26 \end{align*}$ und $\begin{align*} \sum_{i=1}^{26} p_i = 1 \end{align*}$ folgt dann $\begin{align*} \frac{1}{26} \leq \sum_{i=1}^{26} p_i^2 \end{align*}$ , wobei Gleichheit (nur) im Fall $\begin{align*} p_1=\ldots=p_{26} \end{align*}$ eintritt.

Zitat:

Original von Ratloser Gast
3. Du sagst, dass es eine trickreiche Umforumung war. Dennoch... kannst du mir erklären wie man darauf gekommen ist?

Ähnliche Umformungen sind in der Stochastik gang und gäbe: Nehmen wir etwa die Stichprobenvarianz

$\begin{align*} s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2 \end{align*}$ .

Um eine andere Darstellung zu gewinnen, rechnet man

$\begin{align*} s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i^2-2x_i\bar{x} + \bar{x}^2) = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 - 2\bar{x} \sum_{i=1}^n x_i + n\bar{x}^2) \right) \end{align*}$

Nun nutzt man $\begin{align*} \sum_{i=1}^n x_i = n\bar{x} \end{align*}$ und rechnet weiter

$\begin{align*} \ldots = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2) \right) \end{align*}$ .

Praktisch derselbe "Trick" wie hier, wenn man sich $\begin{align*} n=26,\bar{x}=\frac{1}{26} \end{align*}$ als gegeben vorstellt und das ganze von rechts nach links liest.

06.10.2015, 10:45

Ratloser Gast

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Oha, ich habe bei AMQM was mit n-facher Wurzel gelesen bei Wikipedia und Multiplikation der Variablen gelesen.
siehe Wikipedia Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel im Abschnitt Forumulierung.
(ich darf keine URL posten ...)

Deswegen bin ich nicht drauf gekommen ...

Ok, danke für die Erklärungen.

06.10.2015, 11:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Ratloser Gast
Oha, ich habe bei AMQM was mit n-facher Wurzel gelesen bei Wikipedia und Multiplikation der Variablen gelesen.

Das wäre dann wohl AMGM, also mit geometrischen statt quadratischen Mittel, und diese Ungleichung geht in die andere Richtung (> statt <). Augenzwinkern

https://de.wikipedia.org/wiki/H%C3%B6lder-Mittel

06.10.2015, 12:12

Ratloser Gast

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Oha. Sorry for that.
Danke Wink

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