Volumen mit Integration im R3

07.10.2015, 20:00

Lokilicious

Volumen mit Integration im R3

Hallo,

wenn man aus einer Kugel, sagen wir mit Mittelpunkt M(0,0,0), mit einer zylinderförmigen Fräse, deren äußerer Rand den Mittelpunkt M berührt, ein entsprechendes Stück rausschneidet, wie lässt sich dann das Volumen des Restkörpers bestimmen?

Wir hatten in der Uni mal ein solches Beispiel gerechnet, allerdings kam dann "V = 0* ..." raus. Entsprechend habe ich mir in meinen Unterlagen notiert, dass da irgendwas blöd gelaufen ist. Wie geht's aber richtig?

08.10.2015, 13:13

Elvis

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Zeichne einen Kreis mit Radius r und darin symmetrisch auf dem Kugeldurchmesser das Rechteck mit Höhe x (vom Durchmesser bis zur Kreislinie) und halber Breite R(0<R<r). x berechnest Du nach Pythagoras, h=r-x ist dann die Höhe des Kreissegments. Dann stellst Du Dir das als Kreiszzylinder und Kugelsegment vor und berechnest deren Volumina (Formel für Kugelsegment siehe hier : http://www.formel-sammlung.de/formel-Koe...en-1-14-88.html ). V(Rest)=V(Kugel)-V(Zylinder)-V(Kugelsegment).

08.10.2015, 13:36

HAL 9000

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@Elvis

1.Du stellst dir das so vor, dass mit einem zylinderförmigen Bohrer (Radius R) "mittig" in die Kugel hineingebohrt wird, wobei bei Erreichen des Mittelpunkts gestoppt wird? verwirrt

2.Ich hatte bei der Beschreibung eher an was anderes gedacht: Dass nämlich die Mantelfläche des Fräszylinders den Mittelpunkt berührt... eine ganz andere geometrische Situation.

Der Aufgabentext ist in der Hinsicht m.E. nicht gerade eindeutig. Variante 2 scheint ein ganzes Stück rechenaufwändiger zu sein.

08.10.2015, 14:18

DrummerS

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RE: Volumen mit Integration im R3

Zitat:

Original von Lokilicious
...Wir hatten in der Uni mal...

Falls du nun in einem Unternehmen arbeitest, ginge ja vielleicht auch etwas Praktisches.

Bedingungen
a: Die mittlere Massendichte der Kugel $\begin{eqnarray*} \left(\bar{\rho_{K}}\right) \end{eqnarray*}$ ist bekannt
b: $\begin{eqnarray*} \bar{\rho_{K}} = \rho_{K} \neq \rho_{K}\left(x,y,z\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ als Koordinaten eines Punktes in der Kugel
c: $\begin{eqnarray*} {\rho_{K}} \neq \rho_{K}\left(T\right) \end{eqnarray*}$ mit T: Temperatur (Stichwort: Reibungshitze)

Versuch
1. Herausfräsen des entsprechenden Stückes, 2. Wiegen des Stückes $\begin{eqnarray*} \left(\text{Masse}: m_{\text{Stück}}\right) \end{eqnarray*}$ und 3. Volumen $\begin{eqnarray*} \left(V_{\text{Stück}}\right) \end{eqnarray*}$ nach der folgenden Formel berechnen:

$\begin{eqnarray*} V_{\text{Stück}} = \frac{m_{\text{Stück}}}{\bar{\rho_{K}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V_{\text{Restkörper}} = V_{\text{Kugel}} - V_{\text{Stück}} \end{eqnarray*}$

08.10.2015, 14:34

Elvis

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@HAL 9000

Deine Aufgabe scheint kniffliger zu sein, weil dann nicht mehr das Kugelsegment auftritt ... damit hast Du mich erwischt, ich kann es auch nicht berechnen.

08.10.2015, 14:37

HAL 9000

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Zumindest müssten dann ein paar Integrale ran (es gab da schon ganz ähnliche Threads hier im Board, ist aber wohl schon Jahre her).

Aber erstmal sollte sich Lokilicious äußern, was es denn nun ist - am besten mit einer passenden Skizze.

08.10.2015, 14:43

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
es gab da schon ganz ähnliche Threads hier im Board, ist aber wohl schon Jahre her

Hier hab ich einen gefunden: Volumen Kugel durchstoßen von Zylinder

Viele Grüße
Steffen

08.10.2015, 18:26

Elvis

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Wir können Jubiläum feiern. Das Problem wurde vor 7 Jahren gelöst. Danke, Leopold. Prost

08.10.2015, 21:02

Lokilicious

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Hallo,

ja, der Thread entspricht so ziemlich meiner Frage! Allerdings möchte ich das Volumen des Restkörpers, nicht des ausgestanzten Teils bestimmen.

Aber die in dem verlinkten Thread von AD (gleich als 1. Antwort) gepostete Skizze passt ja.

Wie mache ich das dann? Und wann benutze ich eigentlich ein Doppel-, wann ein Dreifachintegral? Bisher dachte ich, dass Dreifachintegrale die Dichte bestimmen lassen und Doppelintegrale immer verwendet werden, um Volumina zu berechnen.

Nun nochmal zu meiner Aufgabe. Um das Volumen des Restkörpers zu bestimmen müsste ich doch:

1.) Volumen der Kugel bestimmen
2.) Volumen des ausgestanzten Teils vom Kugelvolumen abziehen
3.) Also wieder das Volumen des ausgestanzten Teils bestimmen.

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