Komplexe Zahl?, Hochzahl

07.10.2015, 20:54

StrunzMagi

Komplexe Zahl?, Hochzahl

Meine Frage:
Ich möchte $\begin{eqnarray*} (-1)^{1,7} \end{eqnarray*}$ ausrechnen.
Ein Rechner gibt mir $\begin{eqnarray*} (-1)^{1,7} = 0,587785252 - 0,809016994 i \end{eqnarray*}$ wieder.

Meine Ideen:
Hallo,
$\begin{eqnarray*} (-1)^{1,7}= (-1)^{17/10}= \sqrt[10]{(-1)^{17}}= \sqrt[10]{-1}= e^{\frac{i k \pi}{10}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \{0,..9\} \end{eqnarray*}$
Warum gibt mir der Rechner genau diesen Wert, wenn es 10 verschiedene gibt? Unter welchen kriterium wählt er genau den von den 10 verschiedenen aus?
Ich weiß alle 10 sind richtige Lösungen aber wieso ist diese Lösung gerade "ausgezeichnet"?

LG

07.10.2015, 21:15

steviehawk

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RE: Komplexe Zahl?, Hochzahl
Hallo,

ich denke mal es hat folgenden Grund:

Die Gleichung $\begin{eqnarray*} X^n = 1 \end{eqnarray*}$ hat die $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Lösungen . Nämlich die $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Einheitswurzeln:

$\begin{eqnarray*} \zeta_k^n \ k=0,...,n-1 \end{eqnarray*}$

für jede davon gilt: $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(\zeta_k^n)} = 1 \end{eqnarray*}$

Wenn man nun aus einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \end{eqnarray*}$ die Wurzel zieht, dann hat auch diese Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} = x \end{eqnarray*}$ genau n Lösungen, damit ist sie nicht eindeutig, was einem natürlich nicht gefällt. Deshalb nennt man die "erste Lösung" den sogenannten Hauptwert. Also

$\begin{eqnarray*} z = re^{i \phi} \Rightarrow \sqrt[n]{re^{i \phi}} = \sqrt[n]{r}e^{\frac{i \phi}{n}} = \text{Hauptwert} \end{eqnarray*}$

Die anderen Lösungen erhälst du, in dem du einfach die Einheitswurzeln dran multiplizierst:

$\begin{eqnarray*} \omega_k = \omega_0 \cdot \zeta_k^n ; \ k=0,...,n-1 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \omega_0 = \text{Hauptwert} \end{eqnarray*}$

Ich denke, dein Rechner gibt dir hier auch einfach den Hauptwert Augenzwinkern

EDIT: Ich habe gerade mal nachgerechnet, der Hauptwert wäre hier aber

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{i \pi}{10}} \end{eqnarray*}$ was nicht deinem Wert vom Rechner entspricht verwirrt

07.10.2015, 21:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
EDIT: Ich habe gerade mal nachgerechnet, der Hauptwert wäre hier aber

$\begin{eqnarray*} e^{\frac{i \pi}{10}} \end{eqnarray*}$ was nicht deinem Wert vom Rechner entspricht verwirrt

Nein: Der Hauptwert ist hier gemäß Definition der komplexen Potenz

$\begin{align*} \exp(1.7\cdot \ln(-1)) = \exp(1.7\pi i) \end{align*}$ .

Die Rechnung

Zitat:

Original von StrunzMagi
$\begin{eqnarray*} (-1)^{1,7}= (-1)^{17/10} {\color{red}=} \sqrt[10]{(-1)^{17}}= \sqrt[10]{-1} = e^{\frac{i k \pi}{10}} \end{eqnarray*}$

ist gekennzeichnet durch die Anwendung der Potenzregeln außerhalb ihres Gültigkeitsbereiches, und damit falsch. unglücklich

08.10.2015, 10:05

steviehawk

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Vielen Dank für die Korrekturen smile

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