Zeige, dass die Funktion bijektiv ist

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myrmos Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass die Funktion bijektiv ist
Die Abbildung ist injektiv und surjektiv und ich soll zeigen, dass sie dann auch bijektiv ist. Mir ist nicht ganz klar, wie ich das zeigen soll, weil Injektivität und Surjektivität Bijektivität per Definition implizieren.

Vielen Dank im Voraus für eure Antworten.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Matheboard! smile

Merkwürdige Aufgabe. Wie du schon sagst, ist Bijektivität per Definition das selbe wie "Injektivität+Surjektivität". Da gibt's nicht viel zu zeigen. verwirrt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

In dem Fall schau nochmal nach, wie bei euch die drei Begriffe ganz konkret definiert werden (es gibt da ja formulierungstechnisch, wenn auch nicht inhaltlich unterschiedliche Möglichkeiten), und bezieh dich im Beweis auf genau diese Varianten.
myrmos Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben so definiert:
injektiv:
surjektiv:
bijektiv:

und ich hab mir gedacht:



weil:

und "es existiert genau ein" ist eine stärkere Bedingung als "es existiert mindestens ein"

nur ist das im Endeffekt eine Aneinanderreihung von Definitionen
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dann also zeigen, dass jedes genau ein Urbild besitzt.

Zeige z.B., dass jedes mindestens ein Urbild besitzt, und danach, dass jedes höchstens ein Urbild hat.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von myrmos
nur ist das im Endeffekt eine Aneinanderreihung von Definitionen

I.d.R. ist das das Wesen solcher Beweise. Augenzwinkern
 
 
myrmos Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich das so zeigen:



und wegen ist
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe nicht, was du da machen willst.

Die Aussage gilt für alle Funktionen , das hat nichts mit der Injektivität oder Surjektivität zu tun.

Statt mit Quantoren und Formeln um dich zu werfen, solltest du erstmal versuchen, den Beweis in Worten zu formulieren. Das ist in der Mathematik (auch, wenn man von Anfängern oft etwas anderes hört Augenzwinkern ) nicht "verboten", sondern in vielen Fällen sogar vorzuziehen.

Also: Warum hat jedes mindestens ein Urbild?
myrmos Auf diesen Beitrag antworten »

jedes hat mindestens ein Urbild, weil die Funktion surjektiv ist und hat genau ein Urbild, weil sie injektiv und surjektiv ist
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von myrmos
jedes hat mindestens ein Urbild, weil die Funktion surjektiv ist

Das ist richtig.

Zitat:
Original von myrmos
und hat genau ein Urbild, weil sie injektiv und surjektiv ist

Das ist genau das, was du zeigen sollst.
Du musst jetzt noch zeigen, warum jedes nur höchstens ein Urbild besitzen kann.
myrmos Auf diesen Beitrag antworten »

wir haben
weil surjektiv ist
wenn es gibt dann gibt es auch
weil auch injektiv ist ist weshalb es genau ein Urbild gibt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Möchtest du jetzt die Funktion als Relation (d.h. als Menge) betrachten? Das kann man zwar machen, ich wüsste aber nicht, welchen Vorteil das hier haben soll.

Das hier kann man aber nicht so schreiben:
Zitat:
Original von myrmos
wir haben
Wir wollen doch erst zeigen, dass bijektiv ist, d.h. wir wissen noch gar nicht, ob die Umkehrfunktion von existiert.

Zitat:
Original von myrmos
weil surjektiv ist
Was soll das denn für eine Aussage sein?

Zitat:
Original von myrmos
wenn es gibt
Wie oben schon gesagt, geht das so nicht, weil wir nichts über die Existenz der Umkehrfunktion wissen.

-----------------------------------------------------

Wenn ein zwei Urbilder hätte, dann würde also gelten: . Wir wissen aber, dass injektiv ist; also ...?
myrmos Auf diesen Beitrag antworten »

sind und gleich
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Das heißt ...?
myrmos Auf diesen Beitrag antworten »

,dass es nur ein Urbild gibt was wiederum bedeutet, dass die Funktion bijektiv ist
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Und damit haben wir gezeigt, was zu zeigen war. smile
myrmos Auf diesen Beitrag antworten »

Da hab ich eindeutig zu kompliziert gedacht. Danke für die Zeit und Mühe Freude
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen. Wink
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