"Gesetze" der linearen Algebra

08.10.2015, 17:53

Probability

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"Gesetze" der linearen Algebra

Hallo,

ich habe zu obigen Thema ein paar Fragen bitte. Im Anhang finden sich ein paar solcher "Gesetze".

Gesetz 1:
I) Objekte sind doch z.B. Zahlen, Funktionen, Gegenstände etc. oder? Kann man dazu auch "Element" sagen?
II) Ich versuche mal das Gesetz zu formulieren: Wenn ich also endliche Objekte vor mir habe, dann habe ich eine Menge A, in der diese Objekte enthalten sind. Richtig?
III) D.h. "x ist ein Element aus A" ist dasselbe wie "x ist gleich a_1 ODER x = a_2 ODER ... ODER a_n"
Hier gibt doch n die Anzahl der Elemente an, also wenn n=0, dann habe ich nichts in der Menge A --> Leere Menge. Richtig

Gesetz 2:
Ja ok, dass ist eben die Schreibweise, dass "N" eine Menge darstellt, die alle natürlichen Zahlen entählt.
Dazu gibts nichts mehr zum sagen? Dasselbe kann ich ja mit "Z" und so auch machen.

Gesetz 3:
I) D.h. diese Schreibweise(mit großem U etc.) schreibt man nur, wenn eine Menge A nur Mengen enthält und nichts anderes?
II) Aber warum ist da von Vereinigung und Schnitt die Rede?

Gesetz 4:
Was sagt dieses Gesetz? Ich verstehe gerade mal nur den ersten Satz, dass A,B Mengen sind.

Gesetz 5:
Warum soll eine Menge C existieren, wenn A1....An Mengen sind? Dieses Gesetz verstehe ich auch nicht so wirklich.

Ich hoffe ihr könnt mir da ein wenig weiterhelfen!

Gruß
Probability

08.10.2015, 18:47

Elvis

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1 I) Nein . Ein Objekt ist ein wohldefiniertes Ding unseres Denkens oder unserer Anschauung. Ein Element ist ein Objekt in einer Menge, das ist (nach Cantor) die Zusammenfassung wohldefinierter und wohlunterschiedener Objekte zu einem Ganzen.
1 II) Nein . Nicht die Objekte sind endlich, die Menge ist endlich.
1 III) Das gilt genau für die endliche Menge $\begin{eqnarray*} A=\{a_1,...,a_n\} \end{eqnarray*}$

Alle Gesetze 1 bis 5 sind Axiome der Mengenlehre. Da ist nichts selbstverständliches dran. Von Axiomen verlangt man, dass sie gelten sollen. Danach kann man anfangen, aus diesen Axiomen logische Schlüsse zu ziehen.

2) ist eine Existenzaussage. Wenn man mit natürlichen Zahlen arbeiten will, muss man sie definieren (z.B. über Axiome) oder ein Modell konstruieren, die Eigenschaften des Modells untersuchen und die Eindeutigkeit der Menge beweisen. Will man sich die Mühe sparen, so geht man davon aus, dass jeder Schüler die natürlichen Zahlen kennt, und dann fasst man sie in diesem Axiom zu einer Menge zusammen.

3) Die Definition von Vereinigung und Durchschnitt (beliebig vieler Mengen) ist falsch. Ganz rechts muss jeweils a statt A stehen. In der Axiomatik der Mengenlehre wird so die Existenz von Vereinigung und Durschschnitt axiomatisch festgelegt.

4) kann man nur verstehen, wenn man im Abschnitt 3 nachsieht. Ohne das fehlt mir die Definition des Begriffs Funktion und die Definition von F, T und p.
Anscheinend möchte man hier Teilmengen des Bildbereichs einer Funktion f als Menge erklären für die das Urbild eine bestimmte Teilmenge von A ist. Das soll wohl auf die Einschränkung der Funktion auf eine Teilmenge von A hinauslaufen. Vielleicht dient es auch nur zur Definition des Begriffs Teilmenge ?

5) Hier wird die Existenz des cartesischen Produkts axiomatisch gefordert, und es wird definiert, welche Elemente das cartesische Produkt enthält.

08.10.2015, 19:53

Probability

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Ah ok, d.h. mit sog. Axiomen macht man sich also "Regeln", die man in der Algebra anwendet?

Gut, jetzt verstehe ich es ein bisschen besser. Aber kannst du mir zu Satz 3 ein Beispiel vielleicht geben, denn so recht, weiß ich noch nicht, was das bedeutet.

08.10.2015, 22:53

Probability

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Hm, oder lass uns nochmals einen Schritt zurück gehen.

Folgendes bitte:
$\begin{eqnarray*} M = \left\{x | Eigenschaft(x)\right\} \end{eqnarray*}$

1. Heißt das, dass alle x mit der Eigenschaft(x) Elemente der Menge M sind? Aber wo kommt das x her? Müsste man doch auch festlegen z.B. $\begin{eqnarray*} M=\left\{x \in \mathbb N | x<3\right\} \end{eqnarray*}$ --> heißt das jetzt, dass alle x aus den natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft "x<3"(also jene Zahlen x, die kleiner 3 sind) Elemente der Menge M sind? Passt das so?

2. Kann ich statt | auch einen : schreiben? Hat das dieselbe Bedeutung?

3. Kann ich statt $\begin{eqnarray*} M=\left\{x \in \mathbb N | x<3\right\} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} M=\left\{x | x \in \mathbb N \wedge x<3\right\} \end{eqnarray*}$ schreiben? Was dann bedeuten würde "Alle x mit der Eigenschaft "aus den natürlichen Zahlen UND kleiner als 3"...

09.10.2015, 01:54

Dopap

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Zitat:

1. Heißt das, dass alle x mit der Eigenschaft(x) Elemente der Menge M sind? Aber wo kommt das x her?

das x ist erst mal ein hypothetisches Objekt, eine Variable.

Zitat:

Müsste man doch auch festlegen z.B. $\begin{eqnarray*} M=\left\{x \in \mathbb N | x<3\right\} \end{eqnarray*}$ --> heißt das jetzt, dass alle x aus den natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft "x<3"(also jene Zahlen x, die kleiner 3 sind) Elemente der Menge M sind? Passt das so?

nicht nur Elemente von M sondern das definiert M.

Zitat:

2. Kann ich statt | auch einen : schreiben? Hat das dieselbe Bedeutung?

ich denke, das geht auch.

Zitat:

3. Kann ich statt $\begin{eqnarray*} M=\left\{x \in \mathbb N | x<3\right\} \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} M=\left\{x | x \in \mathbb N \wedge x<3\right\} \end{eqnarray*}$ schreiben? Was dann bedeuten würde "Alle x mit der Eigenschaft "aus den natürlichen Zahlen UND kleiner als 3"...

das ist praktisch dasselbe.

09.10.2015, 12:24

Probability1

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Okay, danke.

In der Algebra geht es ja dauernd um Beweise, also immer muss man etwas beweisen.

Bsp: Wenn $\begin{eqnarray*} A /subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B /subset C \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} A /subset C \end{eqnarray*}$ .

1.Warum muss ich diese Aussage beweisen? Das obige ist doch so klar wie 5+8.
2. Wie gehe ich da am besten vor, wenn ich das beweisen will?

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09.10.2015, 12:29

Probability1

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Sorry, bin grad nur am Handy online, nochmal hier schöner: Wenn $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \subset C \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} A \subset C \end{eqnarray*}$ .

09.10.2015, 14:11

Math1986

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Zitat:

Original von Probability1
Sorry, bin grad nur am Handy online, nochmal hier schöner: Wenn $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \subset C \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} A \subset C \end{eqnarray*}$ .

Der klassische Ansatz beim Beweis von Mengeninklusionen ist der, dass du dir ein $\begin{align*} x\in A \end{align*}$ nimmst und damit dann $\begin{align*} x\in C \end{align*}$ zeigst.

Ist dir denn zeichnerisch klar was diese Aussage bedeutet?

09.10.2015, 15:04

Probability

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Also wenn A eine Teilmenge von B ist, dann haben wir einen großen Kreis B und in diesem ist ein kleinerer Kreis A.
Jene Objekte, die man im Kreis A "sieht", "sind" ja auch in Kreis B.

Also ist A eine Teilmenge von B. Kreis C wäre nun über beide Kreise drüber, somit ist auch A in C enthalten.

Ist das so gemeint, oder muss man für jede "Operation" eigene Kreise zeichnen.

Aber ich kann ja nicht einfach sagen x ist ein Element aus A --> x ist ein element aus C? Was ist dazwischen?

09.10.2015, 15:10

Math1986

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Zitat:

Original von Probability
Also wenn A eine Teilmenge von B ist, dann haben wir einen großen Kreis B und in diesem ist ein kleinerer Kreis A.
Jene Objekte, die man im Kreis B "sieht", "sind" ja auch in Kreis A.

Also ist A eine Teilmenge von B. Kreis C wäre nun über beide Kreise drüber, somit ist auch A in C enthalten.

Ist das so gemeint, oder muss man für jede "Operation" eigene Kreise zeichnen.

Ich weiß jetzt nicht wie du speziell auf "Kreise" kommst, die Rede ist von Mengen, nicht notwendig von Kreisen

Zitat:

Original von Probability
Aber ich kann ja nicht einfach sagen x ist ein Element aus A --> x ist ein element aus C?

Das ist ja gerade das was du zeigen sollst, das kannst du nicht einfach so behaupten.

Die Argumentation geht im Wesentlichen so: Liegt a in A, so liegt es auch in B und damit auch in C.

09.10.2015, 18:01

Probability

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Ich dachte mit "grafisch darstellen" meint man Kreise zeichnen, also Kreise repräsentieren die Menge und z.B. Punkte im Kreis sind die Objekte, die die Mengen definieren.

Ok, ich versuchs mal zu beweisen:

Annahme: $\begin{eqnarray*} A \subset B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B\subset C \end{eqnarray*}$
Zu zeigen: A \subset C.

$\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ beliebig, aufgrund der Annahme ist $\begin{eqnarray*} x \in B \end{eqnarray*}$ und muss auch in C sein: $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$

D.h.: $\begin{eqnarray*} \forall x: (x \in A \rightarrow x \in C) \end{eqnarray*}$

Ist das nun ein Beweis? Also für mich ist das nur erklären der Annahme und was zu zeigen war.

So wie: 5+3 und dann erkläre einfach: Man halt 5 Äpfeln im Korb, gebe 3 dazu und dann hast du 8.

09.10.2015, 18:24

Dopap

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ja, richtig. Das ist die Transitivität der Teilmengenrelation.

Nicht jeder Beweis muss kompliziert sein!

09.10.2015, 19:04

Probability

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Aha! Ok, schon langsam versteh ichs. - Danke!

Ein Zeichen ist mir, jedoch noch überhaupt nicht klar. Nämlich jenes, dass im meinem Bild ganz oben bei Punkt 3 vorkommt.

Folgendes verstehe ich daraus: Also wenn A eine Menge von Mengen ist, d.h. jedes Objekt bzw. Element, dass A definiert, ist eine Menge, z.B. A = {{1,2},{2,3}}.

$\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ meint ja die Vereinigung der Mengen, die A definiert und $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ meint der Schnitt der Mengen, die A definiert.

Aber was heißt z.B. $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ rechts daneben des $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ ?

09.10.2015, 19:26

Math1986

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Zitat:

Original von Probability
Ich dachte mit "grafisch darstellen" meint man Kreise zeichnen, also Kreise repräsentieren die Menge und z.B. Punkte im Kreis sind die Objekte, die die Mengen definieren.

Das ist zeichnerisch ja auch völlig in Ordnung, in deinem Beitrag hörte es sich aber so an, als würdest du "Kreis" synonym für "Menge" verwenden.

09.10.2015, 19:33

Probability

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Achso, okay danke.

Kannst du mir bei meiner letzten Frage weiterhelfen bitte?

09.10.2015, 19:38

Math1986

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Zitat:

Original von Probability
Aha! Ok, schon langsam versteh ichs. - Danke!

Ein Zeichen ist mir, jedoch noch überhaupt nicht klar. Nämlich jenes, dass im meinem Bild ganz oben bei Punkt 3 vorkommt.

Folgendes verstehe ich daraus: Also wenn A eine Menge von Mengen ist, d.h. jedes Objekt bzw. Element, dass A definiert, ist eine Menge, z.B. A = {{1,2},{2,3}}.

Richtig.

Zitat:

Original von Probability
$\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ meint ja die Vereinigung der Mengen, die A definiert und $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ meint der Schnitt der Mengen, die A definiert.

Aber was heißt z.B. $\begin{eqnarray*} a \in A \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ rechts daneben des $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ ?

Gemeint ist folgendes:
$\begin{align*} x\in\bigcup_{a\in A}a \end{align*}$ genau dann, wenn $\begin{align*} x\in a \end{align*}$ (Tippfehler!) für mindestens ein $\begin{align*} a\in A \end{align*}$ (man darf sich nicht dadurch irritieren lassen dass die Mengen $\begin{align*} a\in A \end{align*}$ nun kleingeschrieben werden).

Analog der Schnitt,

09.10.2015, 20:42

Probability

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Hm ich bekomme die Symbole nicht hin. Hab folgendes geschrieben:
\begin{align*} x \in \bigcup_{a \in A}a \end{align*}

09.10.2015, 21:03

Math1986

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Zitat:

Original von Probability
Hm ich bekomme die Symbole nicht hin. Hab folgendes geschrieben:
\begin{align*} x \in \bigcup_{a \in A}a \end{align*}

Wie kann man Formeln schreiben?

$\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{a \in A}a \end{eqnarray*}$

Was willst du mir damit sagen? verwirrt

verwirrt

09.10.2015, 21:07

Probability

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$\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{a \in A}a \end{eqnarray*}$

------
Ah jetzt gehts, habe den latex-text gesucht, aber konnte ihn nicht von deiner vorletzten Formel kopieren, egal, habs jetzt von deiner letzten getan
-----

Back to Topic
Also die linke Seite bedeutet, dass x irgend ein Element aus der Vereinigung der Mengen a1...an(die A definieren) ist. Also x "ist" nun eine Menge, Zahl, oder was auch immer von den "a1...an" definiert wird. --> x "ist" nicht a, sondern, dass was a definiert. - Stimmt so, richtig?

Die rechte Seite bedeute ja im Prinzip dasselbe. Also für mindestens ein Element a in A, gibt es ein Element x in a. - Hmm, was bedeutet der ":" nochmals?

Und warum gilt das für mind. ein Element a in A? Für alle Elemente a in A, würde es doch auch passen, oder nicht? Denn ich nehme doch alle Elemente a in A und vereinige diese Mengen a(die in A "sind") zu einer Menge M z.B.

09.10.2015, 21:16

Math1986

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Zitat:

Original von Probability
$\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{a \in A}a \end{eqnarray*}$

Also die linke Seite bedeutet, dass x irgend ein Element aus der Vereinigung der Mengen a1...an(die A definieren) ist. Also x "ist" nun eine Menge, Zahl, oder was auch immer von den "a1...an" definiert wird. --> x "ist" nicht a, sondern, dass was a definiert. - Stimmt so, richtig?

Gewissermaßen ja

Zitat:

Original von Probability
Die rechte Seite bedeute ja im Prinzip dasselbe. Also für mindestens ein Element a in A, gibt es ein Element x in a. - Hmm, was bedeutet der ":" nochmals?

Natürlich bedeutet die rechte Seite das selbe, es ist eine Definition smile

smile

Der Doppelpunkt heißt einfach nur, dass es für diese $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ gelten soll.

Zitat:

Original von Probability
Und warum gilt das für mind. ein Element a in A? Für alle Elemente a in A, würde es doch auch passen, oder nicht? Denn ich nehme doch alle Elemente a in A und vereinige diese Mengen a(die in A "sind") zu einer Menge M z.B.

Es ist aber so definiert dass es für mindestens ein Element gelten soll.

09.10.2015, 21:40

Probability

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Ok, danke.

Vereinigung:
Also es bedeutet, bei mind. einem Element a(oder wenn mind. ein Element a existiert), gilt "x ist ein Element aus a".

Schnitt:
Gut, beim Schnitt ist es einfach dasselbe, nur das statt vereinigt, geschnitten wird. Und rechts bedeutet halt: Für alle Elemente a in A gilt "x ist ein Element aus a".

Das ist einfach so definiert, also normale Definition: "wenn foo, dann bar". So in der Art oder? Big Laugh

Big Laugh

09.10.2015, 22:48

Dopap

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Zitat:

Original von Probability
$\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{a \in A}a \end{eqnarray*}$

Also die linke Seite bedeutet, ..

Die rechte Seite bedeute ja im Prinzip dasselbe...

Ich sehe keine linken und rechten Seiten.

Du musst aufpassen, dass du nicht die Symbolik atomisierst. Irgendwo, irgendwann muss eine ( axiomatische ) Idee einer Menge in deinem Kopf entstehen.

Diese "Hürde" samt Elementeigenschaft schaffen Grundschüler ja auch.

10.10.2015, 00:30

Probability

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Ich beziehe mich immer auf dem im meinem Bild(Startpost) geposteten 3ten Satz. Ich hab das in den vorigen Posts erwähnt. Habs dann nicht mehr erwähnt, sorry.

Aber ich habs doch so richtig verstanden, wie ich es im letzten Post erklärt habe, oder?

10.10.2015, 10:35

Probability

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Ok, ich habe hier nochmals ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} A \cap \bigcup_{b \in B}b = \bigcup_{b \in B}(A \cap b) \end{eqnarray*}$

Befassen wir uns mal mit der linken Seite des "=" bitte:

D.h., wenn $\begin{eqnarray*} x\in A \cap \bigcup_{b \in B}b \end{eqnarray*}$ , dann wird zuerst mal die Vereinigung der Mengen b(die B definiert) gebildet und mit dieser neuen Vereiniungsmenge schneide ich dann nochmals mit der Menge A und x ist dann ein Element aus dieser neuen Menge, richtig?

Nun zur "rechten Seite" des "=":

Also, wenn $\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{b \in B}(A \cap b) \end{eqnarray*}$ , dann werden sozusagen allen Mengen b(die B definiert) mit A geschnitten, bevor vereinigt wird. Und x ist ein Element aus der am Schluss vereinigten Menge, wo vorher schon für jede Menge b mit A geschnitten wurde. Richtig?

Und die Aussage stimmt, denn ob ich jetzt zuerst vermenge und dann den Schnitt ermittle, oder zuerst den Schnitt jeder einzelnen Menge ermittle und dann vermenge, bleibt sich ja gleich.

Aber was ist z.B. wenn $\begin{eqnarray*} A \cap b = {} \end{eqnarray*}$ ist? Wird diese dann so reingeschrieben und mit vermengt? Dann könnte ja die "rechte Seite" oben im Endergebnis eine leere Menge definieren und die link Seite z.b. gar nicht, bei gleichen Werten überall. Oder was meint ihr dazu?

Den Beweis versuche ich dann später zu machen.

10.10.2015, 10:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Probability
Aber was ist z.B. wenn $\begin{eqnarray*} A \cap b = \{\} \end{eqnarray*}$ ist? Wird diese dann so reingeschrieben und mit vermengt?

Ja. Na und? Ist doch nichts besonders, nur dass diese Menge dann nichts zur Vereinigung beiträgt.

Zitat:

Original von Probability
Dann könnte ja die "rechte Seite" oben im Endergebnis eine leere Menge definieren

Das passiert nur, wenn alle $\begin{eqnarray*} A \cap b = \{\} \end{eqnarray*}$ sind, und in dem Fall ist dann auch die linke Seite gleich $\begin{eqnarray*} \{\} \end{eqnarray*}$ . Ein umfassend richtiger Beweis erfasst diesen Fall (auch wenn das gar nicht direkt angesprochen werden muss).

Eine Anmerkung zur Symbolik:

Statt $\begin{align*} \bigcup_{b\in B} b \end{align*}$ kannst du auch einfach $\begin{align*} \bigcup B \end{align*}$ schreiben, das ist tatsächlich so definiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Im Unterschied zu $\begin{align*} \bigcup_{b\in B} \{b\} \end{align*}$ , das ist einfach schlicht identisch mit $\begin{align*} B \end{align*}$ .

10.10.2015, 12:09

Probability

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Achso okay danke.

Im Anhang befindet sich ein Beweis dazu.

Ein paar Fragen:

1. Also man hat immer eine Annahme und, dass was man zeigen will und das geht dann so:

Wir nehmen an: $\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{b \in B}(A \cap b) \end{eqnarray*}$ und zeigen folgendes: $\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{b \in B}(A \cap b) \end{eqnarray*}$ - Richtig?

1.1 Also da beides mal "x" vorkommt, heißt das nun, das der linke "Term" gleich dem ("=") rechtem Term ist. Richtig?

2. Muss man dann immer die jeweilige Definition von der "Vereinigung der Mengen" dazu schreiben, wie es hier gemacht wird: $\begin{eqnarray*} \exists b \in B : x \in (A \cap b) \end{eqnarray*}$ ?

3. Dann steht da "Nach Annahme gilt $\begin{eqnarray*} x \ in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{b \in B}(A \cap b) \end{eqnarray*}$ Warum schreibt man das jetzt so auf? Ich meine, ja ich habe laut meiner Annahme eine Menge A und eine Vereinigte Menge.

4. "Wähle ein $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in b \end{eqnarray*}$ ." Naja das ist ja klar, im Endeffekt ist x ja ein Element der Vereinigten Menge. Warum ist wegen $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x \in A \cap b \end{eqnarray*}$ ? Was bedeutet das? Ich verstehe da nicht wirklich, wie die das beweisen.

10.10.2015, 14:50

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Probability
1. Also man hat immer eine Annahme und, dass was man zeigen will und das geht dann so:

Wir nehmen an: $\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{b \in B}(A \cap b) \end{eqnarray*}$ und zeigen folgendes: $\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{b \in B}(A \cap b) \end{eqnarray*}$ - Richtig?

Nein, nicht richtig, denn das wäre nur eine Tautologie.

Übrigens: Wenn man Mengengleichheit $\begin{align*} M_1=M_2 \end{align*}$ zeigen will, dann macht man das typischerweise, indem man einerseits $\begin{align*} M_1\subset M_2 \end{align*}$ zeigt und andererseits $\begin{align*} M_2\subset M_1 \end{align*}$ . (Ob man dabei $\begin{align*} \subset \end{align*}$ oder $\begin{align*} \subseteq \end{align*}$ zeigt, ist Geschmacksache, denn beide Mengenoperatoren bedeuten im Grunde genommen dasselbe. $\begin{align*} M_1\subset M_2 \end{align*}$ bedeutet nicht, dass $\begin{align*} M_1 \end{align*}$ eine echte Teilmenge von $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ ist. Will man das ausdrücken, dann schreibt man $\begin{align*} \subsetneq \end{align*}$ . )
Man kann nun $\begin{align*} M_1\subset M_2 \end{align*}$ zeigen, indem man beweist, dass gilt
$\begin{align*} x\in M_1\Rightarrow x\in M_2 \end{align*}$
d.h. $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ muss Obermenge von $\begin{align*} M_1 \end{align*}$ sein, da alle Elemente aus $\begin{align*} M_1 \end{align*}$ auch in $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ sind.

Zitat:

2. Muss man dann immer die jeweilige Definition von der "Vereinigung der Mengen" dazu schreiben, wie es hier gemacht wird: $\begin{eqnarray*} \exists b \in B : x \in (A \cap b) \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ein Element in der Vereinigung von Mengen $\begin{align*} M_i \end{align*}$ enthalten ist, also $\begin{align*} x\in \bigcup_{i\in I}M_i \end{align*}$ , dann muss es ein $\begin{align*} M_i \end{align*}$ geben mit $\begin{align*} x\in M_i \end{align*}$ , oder mit dem Existenz-Quantor ausgedrückt $\begin{align*} \exists M_i: x\in M_i \end{align*}$

Zitat:

3. Dann steht da "Nach Annahme gilt $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{b \in B}(A \cap b) \end{eqnarray*}$ Warum schreibt man das jetzt so auf? Ich meine, ja ich habe laut meiner Annahme eine Menge A und eine Vereinigte Menge.

Du musst schon richtig lesen. Da steht: "Nach Annahme gilt $\begin{align*} x \in A \end{align*}$ und $\begin{align*} x \in \bigcup_{b \in B}b \end{align*}$ "

Zitat:

4. "Wähle ein $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in b \end{eqnarray*}$ ." Naja das ist ja klar, im Endeffekt ist x ja ein Element der Vereinigten Menge. Warum ist wegen $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} x \in A \cap b \end{eqnarray*}$ ? Was bedeutet das? Ich verstehe da nicht wirklich, wie die das beweisen.

Wenn $\begin{align*} x\in A \end{align*}$ und $\begin{align*} x\in b \end{align*}$ , dann ist natürlich auch $\begin{align*} x\in A\cap b \end{align*}$ .

10.10.2015, 15:18

Probability

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Ok, danke. Ich werde zu den jeweiligen Punkten etwas sagen.

Zu Punkt 1: Ja aber laut Bild, wird das ja auch so gemacht, oder nicht? Man muss ja was Annehmen und man muss ja dann auch sagen, was man zeigen will, oder nicht?

zu Punkt 2: Also sollte ich den Existzenz-Quantor immer niederschreiben, wenn ich die Vereinigung oder den Schnitt von Mengen habe und irgendetwas beweisen will?

zu Punkt 3: Ok, sorry, dass war mein Fehler. Ich meinte natürlich eh diesen Abschnitt, den du zitiert hast. Darum nochmal die Frage: Warum gilt nach Annahme "...."? Also warum schreibt man das so auf? Was erziele ich damit?

zu Punkt 4: Bedeutet, dass jetzt, dass x in A UND b vorkommen kann? Und damit haben wir ja einen Schnitt mit $\begin{eqnarray*} x \in A \cap b \end{eqnarray*}$ , da ja x in A UND b vorkommen kann.
Oder wie darf ich das verstehen?

11.10.2015, 14:21

Math1986

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Zitat:

Original von Probability
Zu Punkt 1: Ja aber laut Bild, wird das ja auch so gemacht, oder nicht? Man muss ja was Annehmen und man muss ja dann auch sagen, was man zeigen will, oder nicht?

Nein, auf dem Zettel steht: Wir nehmen an: $\begin{align*} x \in A \cap \bigcup_{b \in B}b \end{align*}$ und zeigen $\begin{align*} x \in \bigcup_{b \in B}(A \cap b) \end{align*}$ , bzw. die andere Richtung.

Du solltest dir den Zettel schon genau durchlesen.

Zitat:

Original von Probability
zu Punkt 2: Also sollte ich den Existzenz-Quantor immer niederschreiben, wenn ich die Vereinigung oder den Schnitt von Mengen habe und irgendetwas beweisen will?

Nein.

Für die Vereinigung genügt es zu zeigen, dass x in einem $\begin{align*} M_i \end{align*}$ enthalten ist - für den Schnitt ist jedoch zu zeigen, dass x in allen $\begin{align*} M_i \end{align*}$ enthalten ist - also Allquantor.

Zitat:

Original von Probability
zu Punkt 3: Ok, sorry, dass war mein Fehler. Ich meinte natürlich eh diesen Abschnitt, den du zitiert hast. Darum nochmal die Frage: Warum gilt nach Annahme "...."? Also warum schreibt man das so auf? Was erziele ich damit?

Weil aus $\begin{align*} x \in A \cap\bigcup_{b \in B}b \end{align*}$ nunmal $\begin{align*} x\in A \end{align*}$ und $\begin{align*} \bigcup_{b \in B}b \end{align*}$ folgt.

Zitat:

Original von Probability
zu Punkt 4: Bedeutet, dass jetzt, dass x in A UND b vorkommen kann? Und damit haben wir ja einen Schnitt mit $\begin{eqnarray*} x \in A \cap b \end{eqnarray*}$ , da ja x in A UND b vorkommen kann.
Oder wie darf ich das verstehen?

Die Frage verstehe ich nicht. Wenn $\begin{align*} x\in A \end{align*}$ und $\begin{align*} x\in b \end{align*}$ , dann ist natürlich auch $\begin{align*} x\in A\cap b \end{align*}$ . Das ist die Definition vom Schnitt. Was ist daran unklar?

11.10.2015, 14:22

Math1986

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Ob man dabei $\begin{align*} \subset \end{align*}$ oder $\begin{align*} \subseteq \end{align*}$ zeigt, ist Geschmacksache, denn beide Mengenoperatoren bedeuten im Grunde genommen dasselbe. $\begin{align*} M_1\subset M_2 \end{align*}$ bedeutet nicht, dass $\begin{align*} M_1 \end{align*}$ eine echte Teilmenge von $\begin{align*} M_2 \end{align*}$ ist. Will man das ausdrücken, dann schreibt man $\begin{align*} \subsetneq \end{align*}$ . )

Konventionssache. Da sollte man sich nicht drauf verlassen. Manche Autoren verwenden $\begin{align*} \subset \end{align*}$ auch im Sinne von $\begin{align*} \subsetneq \end{align*}$ .

11.10.2015, 14:41

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Math1986
Konventionssache. Da sollte man sich nicht drauf verlassen.

Da hast du recht.

Zitat:

Manche Autoren verwenden $\begin{align*} \subset \end{align*}$ auch im Sinne von $\begin{align*} \subsetneq \end{align*}$ .

Diese Konvention ist aber nicht so üblich. Im Regelfall sind meiner Erfahrung nach $\begin{align*} \subset \end{align*}$ und $\begin{align*} \subseteq \end{align*}$ identisch. Und wenn nicht, dann wird das explizit erwähnt.

@Probability
In dem Beweis ist außerdem ein Schreibfehler. Das zweite " $\begin{align*} \subseteq \end{align*}$ " müsste eigentlich " $\begin{align*} \supseteq \end{align*}$ " heißen.

11.10.2015, 16:30

Probability

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Okay Okay, danke Leute. Jetzt hats "Klick" gemacht. Ich kann den Beweis nun nachvollziehen.

Jedoch ist folgender doch noch etwas kniffliger:
$\begin{eqnarray*} A \backslash \bigcap_{b \in B} b = \bigcup_{b \in B}(A \backslash b) \end{eqnarray*}$

Erstmal zur Erklärung, was da überhaupt passiert:
- Linke Seite: B ist die Menge der Mengen b und diese Mengen b werden "geschnitten", d.h. die neue Menge definiert dann alle gemeinsamen Elemente aller b's. Dann werden alle Elemente von der "neuen Menge" von A abgezogen, d.h. alle gemeinsamen Elemente die A und die "neue Menge" definieren werden "weggeschmissen" und man hat wieder eine neue Menge.

- Rechte Seite: Hier wird für jedes b geguckt, wo gemeinsame Elemente mit der Menge A sind, wenn man gemeinsame Elemente finden, dann werden sie "weggeschmissen". So entsteht für jede Menge b eine "neue Menge" und diese "neuen Mengen" werden dann vereinigt, d.h. alle Elemente der "neuen Mengen" werden in einen "Topf" geschmissen und dann ensteht wieder eine neue Menge(doppelte Elemente gibt es natürlich nicht, 2x9 wäre 9 z.B.).

Wenn ich mir also den Vorgang so durchdenke für die linke und rechte Seite, dann ist mir nicht klar, warum die Menge, die links rauskommt, genau dieselben Elemente enthalten soll, wie die Menge, die rechts rauskommt.

Könnt ihr mir bitte weiterhelfen?

11.10.2015, 18:24

Math1986

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Der Ansatz ist der selbe wie in der Aufgabe davor. Du nimmst dir ein $\begin{align*} x\in A \setminus\bigcap_{b \in B} b \end{align*}$ und zeigst dann $\begin{align*} x\in\bigcup_{b \in B}(A \setminus b) \end{align*}$ , und umgekehrt.

13.10.2015, 00:56

Probability

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Gut, dann lass mal loslegen.

" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} x \in A \backslash \bigcap_{b \in B} b \end{eqnarray*}$ beliebig. Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{b \in B}(A \backslash b) \end{eqnarray*}$ . Dazu ist zu zeigen $\begin{eqnarray*} \exists b \in B : x \in b \end{eqnarray*}$ .

Nach Annahme gilt $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \not\in \bigcap_{b \in B} b \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \exists b \in B : x \not\in b \end{eqnarray*}$ .
Wähle $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in b \end{eqnarray*}$ . Für dieses b gilt: $\begin{eqnarray*} x \in (A \backslash B) \end{eqnarray*}$ .

Es folgt $\begin{eqnarray*} \exists b \in B : x \in (A \backslash B) \end{eqnarray*}$ und damit die Behauptung.

" $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{b \in B}(A \backslash b) \end{eqnarray*}$ beliebig. Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} x \in A \backslash \bigcap_{b \in B}b \end{eqnarray*}$ .
Dazu ist zu zeigen $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \bigcap_{b \in B}(b) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x \not\in \bigcap_{b \in B} b \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \exists b \in B : x \not\in b \end{eqnarray*}$ .

Wähle $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in A \backslash b \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} x \not\in b \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \forall b \in B : x \not\in b \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \in A \backslash \bigcap_{b \in B} b \end{eqnarray*}$

Hmm, bin mir nicht ganz sicher, ob das stimmt. Weiß nocht nicht so recht, wann und wo ich die Quantoren benutzen sollen. Vorallem auch wegen der Negation, die drinnen ist. Da ist es ja auch einmal vertauscht oder?

Was meint ihr zu meinem Beweis?

13.10.2015, 12:34

Math1986

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Zitat:

Dazu ist zu zeigen $\begin{eqnarray*} \exists b \in B : x \in b \end{eqnarray*}$ .

Nein, zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} \exists b \in B : x \in A\setminus b \end{eqnarray*}$ (unten hast dus auch falsch notiert).

Zitat:

Wähle $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in b \end{eqnarray*}$ . Für dieses b gilt: $\begin{eqnarray*} x \in (A \backslash B) \end{eqnarray*}$ .

Gemeint ist wohl: Wähle $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \not\in b \end{eqnarray*}$ . Für dieses b gilt: $\begin{eqnarray*} x \in (A \backslash b) \end{eqnarray*}$ .

Der Rest stimmt aber.

Zur anderen Richtung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} x \in \bigcap_{b \in B}(b) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} x \not\in \bigcap_{b \in B} b \end{eqnarray*}$ ,

Dies ist ein Widerspruch in sich. verwirrt

verwirrt

13.10.2015, 22:39

Probability

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Okay, danke, war wohl doch zu spät^^.

Hier nochmals:
" $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} x \in A \backslash \bigcap_{b \in B} b \end{eqnarray*}$ beliebig. Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{b \in B}(A \backslash b) \end{eqnarray*}$ . Dazu ist zu zeigen $\begin{eqnarray*} \exists b \in B : x \in (A \backslash b) \end{eqnarray*}$ .

Nach Annahme gilt $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \not\in \bigcap_{b \in B} b \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \exists b \in B : x \not\in b \end{eqnarray*}$ .
Wähle $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \not\in b \end{eqnarray*}$ . Für dieses b gilt: $\begin{eqnarray*} x \in (A \backslash b) \end{eqnarray*}$ .

Es folgt $\begin{eqnarray*} \exists b \in B : x \in (A \backslash B) \end{eqnarray*}$ und damit die Behauptung.

" $\begin{eqnarray*} \supseteq \end{eqnarray*}$ "
Sei $\begin{eqnarray*} x \in \bigcup_{b \in B}(A \backslash b) \end{eqnarray*}$ beliebig. Zu zeigen ist $\begin{eqnarray*} x \in A \backslash \bigcap_{b \in B}b \end{eqnarray*}$ .
Dazu ist zu zeigen $\begin{eqnarray*} x \in A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \not\in \bigcap_{b \in B}b \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \exists b \in B : x \not\in b \end{eqnarray*}$ .

Wähle $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in A \backslash b \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} x \not\in b \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \forall b \in B : x \not\in b \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \in A \backslash \bigcap_{b \in B} b \end{eqnarray*}$

Stimmt der All-Quantor bei der Rückrichtrung überhaupt? Ich habe da ja x not in b drinnen? Wo und wann ich diese Quantor benutzen soll, weiß ich noch nicht so recht.
Kansnt du mir da noch weiterhelfen bitte?

Folgendes ist mir klar:
Existenz-Quantor bedeutet: "es existiert ein ...., für das gilt:"
All-Quantor bedeutet: "für alle ..., gilt:"

13.10.2015, 23:27

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Probability

Wähle $\begin{eqnarray*} b \in B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x \in A \backslash b \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} x \not\in b \end{eqnarray*}$ . Dann gilt: $\begin{eqnarray*} \forall b \in B : x \not\in b \rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x \in A \backslash \bigcap_{b \in B} b \end{eqnarray*}$

Das Rote ist falsch. Es gilt allerdings das gewünschte
$\begin{align*} \Rightarrow x\notin\bigcap_{b\in B}b\Rightarrow x\in A\setminus \bigcap_{b\in B}b \end{align*}$

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