Vektor: Koordinaten und Komponenten

09.10.2015, 11:48

miau2323232323

Vektor: Koordinaten und Komponenten

Meine Frage:
Angenommen die Basis ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 16 \\ 22 \end{pmatrix} = 2*\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix} + 3*\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Die Koordinaten bezüglich der Basis sind $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und die Komponenten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 \\ 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ist das so richtig?

Die Koordinaten sind doch die Koeffizienten der Linearkombination mit der Basis, oder?

Und die Komponenten sind die Summanden der Linearkombination (also Basisvektor und Koeffizient)?

09.10.2015, 12:18

klauss

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RE: Vektor: Koordinaten und Komponenten

Zitat:

Original von miau2323232323
Der Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 16 \\ 22 \end{pmatrix} = 2*\begin{pmatrix} 6 \\ 9 \end{pmatrix} + 3*\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Die Koordinaten bezüglich der Basis sind $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und die Komponenten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 12 \\ 18 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Die Rechnung stimmt so nicht ...

Zitat:

Original von miau2323232323
Die Koordinaten sind doch die Koeffizienten der Linearkombination mit der Basis, oder?

Also die Koordinaten bezüglich der jeweiligen Basis. Würd ich gelten lassen.

Die Komponenten eines Vektors $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sind a und b. Diese beziehen sich allerdings grundsätzlich erstmal auf die Standardbasis, d. h. die Komponenten sind identisch mit den Koordinaten bezüglich der Standardbasis. Das heißt, dass ein Vektor immer dieselben Komponenten (bezüglich der Standardbasis) hat, aber beliebig unterschiedliche Koordinaten, je nach gewählter Basis.

09.10.2015, 12:37

miau2323232323

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Okay, d. h. Wenn ich den Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nehme, dann hat der je nach Basis andere Koordinaten, wenn er aber bazüglich der Standardbasis eben die Koordinaten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat, dann hat dieser Vektor immer die Komponenten 5 und 3?

Du schreibst, sie beziehen sich "grundsätzlich erstmal" auf die Standardbasis. Heißt das, es gibt noch andere Fälle?

09.10.2015, 12:52

klauss

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Zitat:

Original von miau2323232323
Du schreibst, sie beziehen sich "grundsätzlich erstmal" auf die Standardbasis. Heißt das, es gibt noch andere Fälle?

Jedenfalls wenn z. B. in einer Aufgabe etwas steht wie "Der Vektor (a,b) wird abgebildet auf (c,d) ...", ist, sofern sich aus dem Text nicht anderes ergibt, immer davon auszugehen, dass es sich um Koordinaten bezüglich der Standardbasis handelt, denn ein irgendein Bezugssystem benötigt man ja zuerst. Dass die Komponenten stattdessen Koordinaten zu einer anderen Basis darstellen sollen, wird eigentlich erst im Zusammenhang mit entsprechenden linearen Abbildungen interessant, die aber im Schulbereich nicht so verbreitet sind, da man dann zugleich auch mehr Theorie über Matrizen behandeln müßte.

09.10.2015, 13:13

miau2323232323

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Also mich interessiert hier schon ganz generell der Unterschied zwischen Komponenten und Koordinaten eines Vektors. Ich beschäftige mich auch mit linearen Abbildungen.

Ich verstehe, dass die Koordinaten immer bezüglich einer Basis angegeben werden und dann die Koeffizienten der Linearkombination mit dieser Basis sind.

Aber was genau sind ganz allgemein die Komponenten?

09.10.2015, 13:43

klauss

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Die Koordinaten hast Du ja schon korrekt charakterisiert.
Ich persönlich würde die Komponenten allgemein als die Einträge des Vektors bezeichnen. Diese sind wie gesagt im Fall der Standardbasis identisch mit den Koordinaten.
Hat man jedoch z. B. Abbildungsmatrizen, die Koordinaten bezüglich einer anderen Basis verarbeiten, muß man die Vektoren mit ihren Komponenten/Koordinaten zur Standardbasis zunächst umrechnen in Koordinaten zu der neuen Basis. Damit erhalten die Vektoren diese neuen Koordinaten als Einträge/Komponenten und werden so von der Matrix weiterverarbeitet.

09.10.2015, 13:49

miau2323232323

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Achsoo, d. h. Komponente ist kein mathematisch genau definierter Begriff?

Ich hatte mir hier diese Seite angeschaut:

brinkmann-du.de/mathe/gost/p50_vektor_05.htm#abs1

Er erklärt das zwar alles anhand der Standardbasis, aber ich dachte, Komponente wäre dann ganz allgemein der Summand einer Linearkombination. Dass also die Koordinate der Koeffizient ist und die Komponente dann Koeffizient*Basisvektor. Aber Letzteres scheint ja dann nur für die Standardbasis zu gelten.

09.10.2015, 14:14

klauss

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Zitat:

Original von miau2323232323
Achsoo, d. h. Komponente ist kein mathematisch genau definierter Begriff?

Vermutlich schon. Dazu könnte sich noch ein "Vollwert"-Mathematiker äußern. Augenzwinkern

Dieser Brinkmann bezieht sich wohl immer auf die Standardbasis.

Anschaulich beschreiben wirs mal so:
Die Koordinaten (3,4) und (-7,-5) könnten durchaus denselben Punkt in der Ebene bezeichnen, einmal wie gehabt bezüglich der Standardbasis, ein andermal bezüglich irgendeiner anderen Basis, die man bestimmen müßte. Eine Abbildungsmatrix könnte also aus (3,4) (-7,-5) machen und man würde dann (-7,-5) mit einer anderen Matrix weiterverarbeiten.

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