Polynomring R[x] euklidisch => R ist Körper

Neue Frage »

Max1324 Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomring R[x] euklidisch => R ist Körper
Liebes Forum,

ich habe folgendes zu beweisen:
Sei ein kommutativer Ring und der entsprechende Polynomring. Beweise, dass genau dann ein Euklidischer Integritätsbereich ist, wenn ein Körper ist.

Die Richtung von rechts nach links habe ich bereits bewiesen (mit dem Grad als Norm und der Polynomdivision).
Die andere Richtung bereitet mir allerdings Probleme. Ich habe zwar schon gezeigt, dass der Grad nicht die benötigten Eigenschaften für die Normfunktion erfüllt.

Aber wie zeige ich, dass es keine andere Funktion geben kann? Bisher habe ich noch keinen Widerspruch herleiten können.

Ein anderer Ansatz wäre zu zeigen, dass kein Hauptidealbereich ist. Beim Versuch, dies zu zeigen, bin ich ebenfalls gescheitert.

Für Tipps, dies zu lösen, wäre ich wirklich sehr dankbar.

Freundliche Grüße
Max
Max1324 Auf diesen Beitrag antworten »

Mittlerweile bin ich mir nicht sicher, ob die Aussage überhaupt stimmt...
Fällt vielleicht jemandem ein Beispiel für einen Integritätsbereich ein, der kein Körper ist, aber trotzdem ein Euklidischer Bereich ist?

Für gilt dies ja bekanntlich nicht. Ich habe nun ein wenig mit experimentiert, habe aber noch keine passende Bewertungsfunktion gefunden.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

hat Nullteiler.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Max1324
Mittlerweile bin ich mir nicht sicher, ob die Aussage überhaupt stimmt...


Das würde mich auch interessieren. Von "genau dann ... wenn" habe ich noch nicht gehört. Dass R[X] euklidischer Ring ist, wenn R Körper ist, OK. Aber umgekehrt?? Da ist mir bisher keine Begründung eingefallen oder hätte sowas irgendwo gelesen.
Max1324 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage dürfte tatsächlich stimmen. Ich habe sie mittlerweile bewiesen (zumindest, falls ich keinen Fehler eingebaut habe).

Ich nehme an, ist ein kommutativer Ring mit Eins, aber kein Körper, und zeige, dass kein Hauptidealbereich ist. Dann folgt, dass auch kein euklidischer Bereich ist.
Sei dazu ein nicht invertierbares Element von und das von erzeugte Ideal.
Annahme: ist ein Hauptideal. Sei so, dass . Wegen gilt dann , also . Daraus folgt nun wegen mittels Koeffizientenvergleich .
Wegen gilt , d. h. .
Koeffizientenvergleich liefert , wobei . Mit folgt: im Widerspruch zur Wahl von a, d. h. ist kein Hauptidealbereich.
Wenn man nun weiß, dass jeder euklidische Bereich ein Hauptidealbereich ist, folgt daraus, dass kein euklidischer Bereich ist.

(Ich unterscheide in der Notation nicht zwischen Elementen aus dem Ring und den konstanten Polynomen mit dem entsprechenden Koeffizienten. Aber ich denke, es ist jeweils klar, was gemeint ist.)

Falls ich einen Fehler eingebaut habe, bitte melden Big Laugh
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Max1324

Ich nehme an, ist ein kommutativer Ring mit Eins, aber kein Körper, und zeige, dass kein Hauptidealbereich ist. Dann folgt, dass auch kein euklidischer Bereich ist.

Hammer klar, natürlich reicht das. Da hatte ich nicht dran gedacht.

Zitat:

Sei dazu ein nicht invertierbares Element von und das von erzeugte Ideal.
Annahme: ist ein Hauptideal. Sei so, dass . Wegen gilt dann , also . Daraus folgt nun wegen mittels Koeffizientenvergleich .
Wegen gilt , d. h. .
Koeffizientenvergleich liefert , wobei . Mit folgt: im Widerspruch zur Wahl von a, d. h. ist kein Hauptidealbereich.
Wenn man nun weiß, dass jeder euklidische Bereich ein Hauptidealbereich ist, folgt daraus, dass kein euklidischer Bereich ist.


Ist OK. Man könnte das noch etwas abkürzen: , also a und c sind assoziert. Also muss das Ideal schon sein. Damit folgt im Widerspruch zur Wahl von a.
 
 
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »