Erzeugendensystem von R

17.10.2015, 00:01

Homunculus

Erzeugendensystem von R

Meine Frage:
Die gestellte Aufgabe lautet folgendermassen:
"Geben Sie ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ aufgefasst als $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorraum."
Ich verstehe das so: Man soll eine Menge von Vektoren (eindimensionale) angeben, welche voneinander linear unabhängig sind und mit denen man ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ konstruieren kann.
Diese Menge soll ausserdem ein Vektorraum über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sein.

Meine Ideen:
Meine Idee ist, dass ich als Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nehme.
Jeder Vektor in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ lässt sich als Linearkombination mit (a1,..,an) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ der Vektoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ darstellen.
Zudem ist $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ automatisch auch ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .
Mein Bauchgefühl sagt mir allerdings das ich irgendwo etwas falsch verstanden habe und diese Lösung nicht wirklich Sinn macht.
Verstehe ich die Aufgabe wie sie geschrieben ist korrekt? Schon da zweifle ich ein wenig. Ich wäre froh wenn mir jemand helfen, oder meine Lösung bestätigen könnte.
Vielen Dank im Voraus.

17.10.2015, 00:08

conRubi

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Zitat:

Vektoren (eindimensionale) angeben

Vektoren haben keine Dimension.
Vektorräume haben eine Dimension.

Zitat:

Jeder Vektor in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ lässt sich als Linearkombination mit (a1,..,an) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ der Vektoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ darstellen.

Das ist zwar richtig beantwortet aber die Fragstellung nicht.
Es soll ein Erzeugendensystem über den rationalen Zahlen sein. Dementsprechend dürfen die Koeffizienten (a1,...,an) auch nur rational sein.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ erzeugt als $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray*} [latex]\mathbb Q \end{eqnarray*}$ [/latex]

17.10.2015, 00:51

Homunkulus

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Sehr vielen Dank für die schnellen Hinweise trotz später Stunde!
Ich sehe das Problem. Gehe ich richtig in der Annahme, dass dafür $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ selbst ein Erzeugendensystem für $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, welches die Bedingungen erfüllt?
Das Problem mit den Koeffizienten wäre doch dann gelöst, da die Aussage nun wäre:
Jeder Vektor in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ lässt sich als Linearkombination mit (a1,..,an) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ der Vektoren in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ darstellen.
Und dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ ist haben wir in der Vorlesung bereits bewiesen.

17.10.2015, 10:19

Elvis

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Stimmt, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist ein Erzeugendensystem des rationalen Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Die analoge Aussage gilt für jeden Vektorraum $\begin{eqnarray*} V/K \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} \forall x\in V : x=1\cdot x \end{eqnarray*}$
Leider ist dieses Erzeugendensystem nicht linear unabhängig , sonst wäre es eine Basis. Wir wissen, dass jeder Vektorraum eine Basis hat, aber niemand kennt eine Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb R/\mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

17.10.2015, 13:35

Homunkulus

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Interessante Bemerkung! Aber nur um ganz sicher zu sein, $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist eine valide Lösung für die Aufgabe oder?

17.10.2015, 14:19

Elvis

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Ja. Es geht aber auch eine Nummer kleiner. Alle positiven nichtrationalen reellen Zahlen und 1 sind auch ein Erzeugendensystem : $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\ge 0}\backslash \mathbb Q\cup\{1\} \end{eqnarray*}$ .
Wer bietet weniger ?

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