Definitheit einer Matrix

17.10.2015, 20:58

Lewis123

Definitheit einer Matrix

Meine Frage:
Hi,
Ich habe eine Matrix X mit vollem Rang.
$\begin{eqnarray*} X=\begin{pmatrix} x_{11} &\dots & x_{1p} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n1} &\dots & x_{np} \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Wenn ich bestimme Vorraussetzung an die Elemente stelle, also
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{ij}=0 \textbf{ und } \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{ij}^2=1. \end{eqnarray*}$
Ist die Matrix $\begin{eqnarray*} X^tX \end{eqnarray*}$ , dann positiv definit?
Und warum?
Oder brauche ich noch weitere Vorraussetzungen um die pos Definitheit zu erreichen.

Meine Ideen:
Ich tappe noch etwas im Dunkeln

Aber vielen Dank für eure Hilfe!

18.10.2015, 08:58

bijektion

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Das soll vermutlich für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq p \end{eqnarray*}$ gelten?
Überleg dir erstmal, was es bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x_{ij}=0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ gilt, wenn du $\begin{eqnarray*} X^tX \end{eqnarray*}$ berechnest.

18.10.2015, 17:46

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Mir ist nicht klar, was die Bedingungen bewirken sollen verwirrt

Für $\begin{eqnarray*} Rang(X)=n<p \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nicht injektiv, also kann $\begin{eqnarray*} X^TX \end{eqnarray*}$ nicht pos def sein.
Für $\begin{eqnarray*} Rang(X)=p\leq n \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ injektiv und damit $\begin{eqnarray*} X^TX \end{eqnarray*}$ pos def.

18.10.2015, 22:18

Lewis123

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Danke schonmal!
ja, dass soll für alle j gelten!

Wenn ich das mal ausmultipliziere, bekomme ich

$\begin{eqnarray*} X^tX=\begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{n}x_{i1}^2 &\dots &\sum_{i=1}^{n} x_{i1}x_{ip} \\ \vdots & & \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} x_{i1}x_{ip} &\dots & \sum_{i=1}^{n}x_{ip}^2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} n &\dots &\sum_{i=1}^{n} x_{i1}x_{ip} \\ \vdots & & \vdots \\ \sum_{i=1}^{n} x_{i1}x_{ip} &\dots & n \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Aber wie gehts weiter?

18.10.2015, 22:19

Lewis123

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Damit wäre eine weitere Voraussetzung, dass X invertierbar sein muss! Danke

Ich meinte, das X vollen Rang haben muss. Sorry
Kann $\begin{eqnarray*} X^tX \end{eqnarray*}$ dann nicht auch neg definit sein? Warum ist sie dann deiner Meinung nach zwingend pos definit?
LG

18.10.2015, 22:25

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Zitat:

Original von Lewis123
Damit wäre eine weitere Voraussetzung, dass X invertierbar sein muss! Danke

wie kommst du jetzt darauf?

18.10.2015, 22:51

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Wenn du von einer Matrix mit vollem Rang ausgehst, dann gibt es nur die beiden von mir genannten Möglichkeiten - völlig egal, welche zusätzlichen Bedingungen du stellst.
Der Schlüssel ist mal wieder $\begin{eqnarray*} u^TX^TXu=(Xu)^T(Xu)=\|Xu\|^2 \end{eqnarray*}$

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