Stone-Weierstraß: Unterhalbgruppe bzgl. +

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OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »
Stone-Weierstraß: Unterhalbgruppe bzgl. +
Sei eine nichtleere Unterhalbgruppe bzgl. +, dh. . Ist dann die lineare Hülle aller Funktionen dicht in )?

Meiner Meinung nach wären die Bedingungen von Stone-Weierstraß erfüllt, aber es scheint zu einfach, also habe ich glaube ich irgendwo etwas übersehen. Auf jeden Fall:

Der Satz von Stone-Weierstraß:
"Sei (K,T) ein kompakter topologischer Raum, und sei eine punktetrennende, nirgends verschwindende Algebra stetiger Funktionen. Dann ist A dicht in der Algebra aller stetigen Funktionen auf K."


Hier:

ist kompakt

Die lineare Hülle aller Funktionen ist eine Algebra. Es ist ein linearer Teilraum, da es die lineare Hülle ist und

exp(-nx) it streng monoton steigend, und daher auch punktetrennend.

Nirgends verschwindend folgt schon daraus, dass
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich das so machen?
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Was meinst du mit
Zitat:
?
Wo spielt das M eine Rolle?
Zitat:
ist kompakt
in welcher Topologie?
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

(Ich weiß nicht, warum das abgeschnitten wurde)
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Es steht nicht dabei, welche Topologie gemeint ist...also muss ich noch beweisen, dass hier kompakt ist?
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Dann ist wohl die Standardtopologie auf vorausgesetzt und darin ist nicht kompakt.
Edit: Also nein, so geht es nicht.
 
 
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok...also kann ich den Satz von Stone-Weierstrass gar nicht verwenden? Gibt es da einen anderen Weg? Außer dem Satz haben wir Dichte immer nur nach dem Kriterium und gezeigt...
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man vielleicht zeigen, dass es lokalkompakt ist? Ich habe gerade im Skript eine Version des Satzes von Stone-Weierstass für lokalkompakte Räume gefunden...

lokalkompakt: ein topologischer Hausdorffraum ist genau dann lokal kompakt, wenn er offene Teilmenge eines kompakten Hausdorff-Raumes ist. Dafür haben wir dann meistens die Alexandroff-Kompaktifizierung verwendet.
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Unsere Definition von Kompaktheit ist, dass jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Würde es dann nicht auch so gehen?:

Eine offene Überdeckung hat die Form . Dann kann man ein so wählen, dass . Dann wäre
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Eben,
Zitat:
Original von OhNo234
dass jede offene Überdeckung

Mach das mit Intervallen der Form für natürliche Zahlen.

Der Weg über die Einpunktkompaktifizierung sollte m.E. funktioneren.
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann werde ich es damit vesuchen. Danke!
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Version des Satzes ist:


"Sei (X,T) ein lokalkompakter Hausdorff-Raum, und sei ine punktetrennende, nirgends verschwindende Algebra. Dann ist A dicht in ."


Mit zwei Sachen habe ich noch Probleme:


1. ist die Menge aller stetigen , sodass

kompakt:


Dass exp(-nx) stetig ist, dürfen wir sicher verwenden, wie zeige ich aber den zweiten Teil?




2. Unsere Definition von lokaler Kompaktheit:

Ein topologischer Hausdorff-Raum (X,T) ist genau dann lokal kompakt, wenn er offene Teilmenge eines kompakten Hausdorff-Raumes ist, d.h. wenn es einen topologischen Hausdorff-Raum (Y, O) gibt, der kompakt ist, sodass X eine offene Teilmenge von Y ist, und sodass . Eine mögliche Wahl von Y ist die, dass man ein mit einem Element und setzt.


Reicht es dann zu sagen, dass ?
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bringe das gerade gar nicht zusammen...
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Für 1. verwende
Zu 2. Die Differenz zweier Mengen schreibt man mit \setminus Der Rest ist ok.
OhNo234 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!
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