Stone-Weierstraß: Unterhalbgruppe bzgl. + |
20.10.2015, 17:11 | OhNo234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Stone-Weierstraß: Unterhalbgruppe bzgl. + Meiner Meinung nach wären die Bedingungen von Stone-Weierstraß erfüllt, aber es scheint zu einfach, also habe ich glaube ich irgendwo etwas übersehen. Auf jeden Fall: Der Satz von Stone-Weierstraß: "Sei (K,T) ein kompakter topologischer Raum, und sei eine punktetrennende, nirgends verschwindende Algebra stetiger Funktionen. Dann ist A dicht in der Algebra aller stetigen Funktionen auf K." Hier: ist kompakt Die lineare Hülle aller Funktionen ist eine Algebra. Es ist ein linearer Teilraum, da es die lineare Hülle ist und exp(-nx) it streng monoton steigend, und daher auch punktetrennend. Nirgends verschwindend folgt schon daraus, dass |
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21.10.2015, 18:35 | OhNo234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann ich das so machen? |
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21.10.2015, 23:16 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was meinst du mit
Wo spielt das M eine Rolle?
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22.10.2015, 13:49 | OhNo234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
(Ich weiß nicht, warum das abgeschnitten wurde) |
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22.10.2015, 13:52 | OhNo234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es steht nicht dabei, welche Topologie gemeint ist...also muss ich noch beweisen, dass hier kompakt ist? |
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22.10.2015, 19:09 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann ist wohl die Standardtopologie auf vorausgesetzt und darin ist nicht kompakt. Edit: Also nein, so geht es nicht. |
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22.10.2015, 19:33 | OhNo234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok...also kann ich den Satz von Stone-Weierstrass gar nicht verwenden? Gibt es da einen anderen Weg? Außer dem Satz haben wir Dichte immer nur nach dem Kriterium und gezeigt... |
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22.10.2015, 21:56 | OhNo234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Kann man vielleicht zeigen, dass es lokalkompakt ist? Ich habe gerade im Skript eine Version des Satzes von Stone-Weierstass für lokalkompakte Räume gefunden... lokalkompakt: ein topologischer Hausdorffraum ist genau dann lokal kompakt, wenn er offene Teilmenge eines kompakten Hausdorff-Raumes ist. Dafür haben wir dann meistens die Alexandroff-Kompaktifizierung verwendet. |
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22.10.2015, 22:16 | OhNo234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Unsere Definition von Kompaktheit ist, dass jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Würde es dann nicht auch so gehen?: Eine offene Überdeckung hat die Form . Dann kann man ein so wählen, dass . Dann wäre |
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22.10.2015, 22:24 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eben,
Mach das mit Intervallen der Form für natürliche Zahlen. Der Weg über die Einpunktkompaktifizierung sollte m.E. funktioneren. |
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22.10.2015, 23:10 | OhNo234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ok, dann werde ich es damit vesuchen. Danke! |
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23.10.2015, 05:27 | OhNo234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Version des Satzes ist: "Sei (X,T) ein lokalkompakter Hausdorff-Raum, und sei ine punktetrennende, nirgends verschwindende Algebra. Dann ist A dicht in ." Mit zwei Sachen habe ich noch Probleme: 1. ist die Menge aller stetigen , sodass kompakt: Dass exp(-nx) stetig ist, dürfen wir sicher verwenden, wie zeige ich aber den zweiten Teil? 2. Unsere Definition von lokaler Kompaktheit: Ein topologischer Hausdorff-Raum (X,T) ist genau dann lokal kompakt, wenn er offene Teilmenge eines kompakten Hausdorff-Raumes ist, d.h. wenn es einen topologischen Hausdorff-Raum (Y, O) gibt, der kompakt ist, sodass X eine offene Teilmenge von Y ist, und sodass . Eine mögliche Wahl von Y ist die, dass man ein mit einem Element und setzt. Reicht es dann zu sagen, dass ? |
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23.10.2015, 08:30 | OhNo234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bringe das gerade gar nicht zusammen... |
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23.10.2015, 18:05 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für 1. verwende Zu 2. Die Differenz zweier Mengen schreibt man mit \setminus Der Rest ist ok. |
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24.10.2015, 19:24 | OhNo234 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke! |
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