Bijektive Rechts- und Linkstranslation auf Halbgruppe G -> G Gruppe

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friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektive Rechts- und Linkstranslation auf Halbgruppe G -> G Gruppe
Guten Tag,

ich darf zeigen, dass aus der Bijektivität der Rechts- und Linkstranslation auf der Halbgruppe G folgt, dass G eine Gruppe ist.
Mit Rechts- und Linkstranslation meine ich folgendes:




Jetzt habe ich bereits aus der Surjektivität der beiden Translationen gefolgert, dass ein neutrales Element e für alle Elemente in G existiert.

Ich habe allerdings noch Probleme damit zu zeigen, dass auch zu jedem Element ein inverses existieren muss. Ich vermute stark, dass jetzt die Injektivität der Translationen zum Trangen kommt, weiß aber überhaupt nicht, wie ich ran gehen soll.
Ich weiß nur, was ich zeigen muss:


Vielen Dank für Eure Hilfe!! Gott
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Weil surjektiv ist, gibt es ein mit . Linkstranslation genauso. Bist Du sicher, dass Du die Existenz von mit der Surjektivität gezeigt hast ? Dann wäre doch die Injektivität überflüssig, oder nicht ?
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Bist Du sicher, dass Du die Existenz von mit der Surjektivität gezeigt hast ?
Ja. Wenn Du möchtest, kann ich den Beweis aufschreiben.

Zitat:
Dann wäre doch die Injektivität überflüssig, oder nicht ?
Das weiß ich nicht. Ich muss ja noch zeigen, dass zu jedem Element ein Inverses existiert. Vielleicht brauche ich die Injektivität dafür.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich die Injektivität nicht brauche, brauchst Du sie auch nicht. Beweise bitte die Existenz des neutralen Elements mit der Surjektivität.
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Beweise bitte die Existenz des neutralen Elements mit der Surjektivität.

OK. Was ich vergessen hatte zu erwähnen: sei fest gegeben.

Zum Beweis:



(Die jeweils erste Implikation gilt aufgrund der Surjektivität von bzw. , die jeweils zweite Implikation aufgrund der Definition von bzw. )

ist also zu neutral. Ist auch zu jedem beliebigen neutral? Ja! Denn:





Meine Frage ist jetzt, wieso damit auch schon ein inverses Element zu jedem beliebigen existiert, so wie Du geschrieben hast.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich glaube wir hatten das Thema schon mal im Matheboard : Beweis Gruppe

Dein Beweis "surjektiv " ist akzeptabel.
Mein Beweis "surjektiv funktioniert für jedes .

Also: Halbgruppe, alle Links- und Rechtstranslationen surjektiv Gruppe. Auf die Injektivität können wir verzichten.
 
 
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Mein Beweis "surjektiv funktioniert für jedes .
Wo steht der?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Oben in meiner 1. Antwort, denn die gilt in gleicher Weise für alle a wie die Surjektivität der Translationen für alle a in Deiner 1. Frage gilt. Warum hätte ich mir beim Antworten mehr Sorgfalt auferlegen sollen als Du beim Fragen ?

Nebenbemerkung: Ich wäre Dir sehr verbunden, wenn Du den Müll von Galileo nicht weiter verbreiten würdest. Diese mittelalterliche Denkweise missfällt mir. Galileo konnte es noch nicht besser wissen, aber wir wissen es heute besser.
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, ich verstehe. Ich habe Deine 1. Antwort einfach falsch interpretiert. Deswegen auch meine Bemerkung zur Injektivität in meinem 2. Post. Jetzt habe ich aber verstanden. Mein Problem lag auch darin, dass ich nicht wußte, dass
Danke für Deine Hilfe!!!
(Soll ich den kompletten Beweis noch aufschreiben?).

Zitat:
Warum hätte ich mir beim Antworten mehr Sorgfalt auferlegen sollen als Du beim Fragen ?
Habe ich denn nicht sorgfältig genug gefragt? Falls ja, bitte ich um Entschuldigung. Wo hätte ich sorgfältiger sein müssen?

Zitat:
Galileo konnte es noch nicht besser wissen, aber wir wissen es heute besser.
Da empfehle ich Dir die erkenntnistheoretischen Werke von Descartes. Darin wird klar, dass, wann immer jemand von gesichertem Wissen spricht, er eigentlich nur glaubt, er wisse etwas, abgesehen vom Wissen darüber, dass man selbst da ist und etwas empfindet, wenn man Descartes Argumentation folgt. Alles lässt sich bezweifeln, fast nichts beweisen. Ich mag das Zitat einfach, weil ich es schön finde. Im Übrigen muss eine Aussage nicht falsch sein, nur weil sie aus dem Mittelalter oder einer Zeit davor stammt. Nach dieser Logik dürftest Du den Satz des Pythagoras nie wieder anweden!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du hättest bei Deiner Frage schreiben können, dass die Links- und Rechtstranslation für alle a aus G bijektiv vorausgesetzt wird. Weil Du das nicht getan hast, habe ich gedacht, dass Du das implizit voraussetzt, also habe ich das auch bei meiner Antwort so gemacht. Alles noch einmal aufschreiben ist nicht nötig, ich glaube wir haben uns verstanden.
Du musst Dich nicht entschuldigen. "Love means, never to say I'm sorry." (Love Story). Wer aus Liebe zur Mathematik handelt, darf auch Fehler machen. Augenzwinkern

Fehler bei Galileo:
Die Mathematik ist kein Alphabet. Wenn schon etwas in der Art, dann ist die Mathematik eine Sprache.
Gott ist nicht beweisbar (Kant, Kritik der reinen Vernunft). Es ist nicht beweisbar, dass Gott oder sonst etwas die Welt "geschaffen" hat. Es bleibt die Frage offen, welche Welt gemeint ist.
"Die Welt in einer Sprache schreiben" ist eine sprachlich unhaltbare Konstruktion. Mit solchen Metaphern wird der zu untersuchende Zusammenhang zwischen Mathematik und Welt nicht aufgeklärt sondern verschleiert.

Danke für die Hinweise auf Descartes und Skeptizismus, aber beides führt nicht zum Ziel.
Ich mache Mathematik, also bin ich. Ich glaube an die Mathematik, und darin ist mehr wahr als alles, was bewiesen wurde oder bewiesen werden kann, also auch der Satz des Pythagoras.

An Pythagoras metaphysische Lehre andererseits glaubt heute vermutlich auch niemand mehr: "Segne uns, geheiligte Zahl, Du, die Du Götter und Menschen erschaffen hast. Oh heilige, heilige Tetraktys [=10], Du umfasst die Wurzel und den Ursprung der ewig fließenden Schöpfung."
friggonaut Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du hättest bei Deiner Frage schreiben können, dass die Links- und Rechtstranslation für alle a aus G bijektiv vorausgesetzt wird.
Genau das wußte ich nicht, da es, anscheinend aus Versehen, nicht bei der Aufgabe stand. Mir war nicht klar, dass das notwendig ist, damit überhaupt beweisbar ist, dass G eine Gruppe ist.

Zitat:
Die Mathematik ist kein Alphabet. Wenn schon etwas in der Art, dann ist die Mathematik eine Sprache.
Nun gut. Das Alphabet wird von Galileo als Teil der Sprache angesehen. Aus einem Alphabet wird eine Sprache geschaffen.

Zitat:
Gott ist nicht beweisbar
Genauso weinig, dass die Aussagen der Mathematik absolut wahr sind. (Descartes, Meditationen, siehe Einführung des Genius Malignus).

Zitat:
Es bleibt die Frage offen, welche Welt gemeint ist.
Ich denke mal, dass Galileo damit die Gesamtheit allen Seins meinte. So interpretiere ich das jedenfalls.

Zitat:
"Die Welt in einer Sprache schreiben" ist eine sprachlich unhaltbare Konstruktion.
Ich sehe es als Metapher dafür, dass jede Physik einen methematischen Hintergrund hat. Die Bausteine der Physik bzw. allen Seins liefert die Mathematik. Deswegen spricht Galileo vielleicht auch vom Alphabet und nicht gleich von einer ganzen Sprache. Er meint die elementaren Teile, die zusammen eine "Sprache" (oder eben die Welt) ergeben.

Zitat:
Ich glaube an die Mathematik, und darin ist mehr wahr als alles, was bewiesen wurde oder bewiesen werden kann
Dass Du bist, ist die Voraussetzung dafür, dass Du glauben kannst. Die Wahrheit Deiner Existenz ist also fundamental(er).
Die Aussage, dass irgendetwas "mehr wahr" ist als anderes, von einem zu lesen, der an die Mathematik glaubt, erstaunt mich. Die Mathematik gibt doch gerade vor, dass eine Aussage entweder wahr ist, oder aber eben nicht (tertium non datur).
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zu alten Philosophen und unglaubwürdigen Thesen habe ich genug gesagt.

Zum letzten Punkt: mit "mehr wahr ..." beziehe ich mich auf Kurt Gödel, der bewiesen hat, dass in der Mathematik nicht alles bewiesen werden kann, was wahr ist. Ich wollte damit folgendes sagen: Es gibt (endlich viele) bewiesene Sätze, diese sind wahr (z.B. der Satz des Pythagoras). Es gibt (unendlich viele) noch nicht bewiesene aber beweisbare Sätze, diese sind wahr (wir wissen nur noch nicht, welche das sind, und wir wissen nicht, welche (endlich viele) davon zukünftig bewiesen werden). Es gibt (unendlich viele) unbeweisbare Sätze, die wahr sind (wir werden nie wissen, welche das sind).
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