Vektorenaufgabe Helikopter

22.10.2015, 20:08

AaronS

Vektorenaufgabe Helikopter

Hey an alle,
wir haben folgende Aufgabe bekommen:
Ein Helikopter fliegt geradlinig in Richtung Landeplatz, der sich in der xy-Ebene befindet. Die Flugbahn wird durch die Gerade
$\begin{eqnarray*} g=\left\{ \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}:\lambda \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$
beschrieben. Der Helikopter ist mit einem Suchscheinwerfer ausgestattet, der stets auf die Turmspitze, die sich im Punkt $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ mit dem Ortsvektor $\begin{eqnarray*} p=\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ befindet, ausgerichtet wird.

a. Wo landet der Helikopter?
b. In welcher Ebene liegen die Scheinwerferstrahlen?
c. (dazu später mehr, verwirrt mich gerade nur)
d. Der Helikopter hat die Flughöhe $\begin{eqnarray*} z=5 \end{eqnarray*}$ erreicht. Wie lang ist die Flugstrecke noch?

Nun meine Gedanken:
a. Der Landeplatz befindet sich in der xy-Ebene, also $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \lambda=8 \end{eqnarray*}$ setze, bekomme ich doch einen Richtungsvektor, der bei Addition mit dem Stützvektor $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ hätte und x und y doch somit geklärt wären, oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} +8 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 28 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

b. Hierzu fällt mir leider nichts ein, da ich nicht wirklich verstehe, was die von mir wollen.

d. Hier bin ich genauso vorgegangen, wie bei a., nur habe ich für $\begin{eqnarray*} \lambda=3 \end{eqnarray*}$ eingesetzt.
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} +3 \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Um jetzt den Abstand zwischen dem Landeplatz und dem Punkt bei $\begin{eqnarray*} z=5 \end{eqnarray*}$ zu berechnen, ziehe ich sie voneinander ab und bilde das Skalarprodukt, oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 28 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 20 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Skalarprodukt:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{20^2+10^2+\left(-5\right)^2 }=22,91 \end{eqnarray*}$

Puhh... ganz schön lang. Hoffe ihr könnt mir helfen.

LG

22.10.2015, 20:55

moody_ds

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RE: Vektorenaufgabe Helikopter

Zitat:

Original von AaronS
a. Der Landeplatz befindet sich in der xy-Ebene, also $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ . Wenn ich jetzt $\begin{eqnarray*} \lambda=8 \end{eqnarray*}$ setze, bekomme ich doch einen Richtungsvektor, der bei Addition mit dem Stützvektor $\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$ hätte und x und y doch somit geklärt wären, oder?

Zitat:

Original von AaronS
Um jetzt den Abstand zwischen dem Landeplatz und dem Punkt bei $\begin{eqnarray*} z=5 \end{eqnarray*}$ zu berechnen, ziehe ich sie voneinander ab und bilde das Skalarprodukt, oder?

Du berechnest die Länge des Vektors, seinen Betrag. Nicht das Skalarprodukt Augenzwinkern

Ist aber richtig gerechnet.

Zitat:

Original von AaronS
b. In welcher Ebene liegen die Scheinwerferstrahlen?

Ich würde vielleicht einfach die Ebenengleichung bestimmen auf der die Strahlen liegen. Die Ebene beinhaltet welche 3 Punkte?

22.10.2015, 21:32

AaronS

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Meinst du welche 3 Punkte eine Ebene generell beinhaltet? Weil das weiß ich ganz ehrlich nicht. Hatte leider keine dreidimensionalen kartesischen Koordinatensysteme in der Schule und muss mir das jetzt alles irgendwie selbst aneignen.

22.10.2015, 21:36

moody_ds

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Zitat:

Original von AaronS
Meinst du welche 3 Punkte eine Ebene generell beinhaltet?

Nicht ganz, aber 3 beliebige Punkte spannen eine Ebene auf, immer. Deswegen kippelt ein Tisch mit 3 Beinen auch nicht, aber mit 4. Weil der 4. Punkt nicht zwangsweise in der Ebene liegt, die von den anderen 3 aufgespannt wird.

Du musst dir jetzt überlegen welche 3 Punkte du kennst die auf jeden Fall in der Ebene der Scheinwerfer liegen.

22.10.2015, 21:47

AaronS

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Habe gerade etwas in einem Skript gefunden:

Eine Ebene im Raum ist durch drei Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a},\vec{b},\vec{c}\in \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ bestimmt:

Es gilt für jeden Punkt $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R^{3} \end{eqnarray*}$ auf der Ebene, dass $\begin{eqnarray*} \lambda, \mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ existieren, so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} x=a+\lambda \left(b-a\right) +\mu \left(c-a\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \\ b_3-a_3 \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} c_1-a_1 \\ c_2-a_2 \\ c_3-a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{a} = Ortsvektor \end{eqnarray*}$ , der auf die Ebene führt
$\begin{eqnarray*} \vec{b}-\vec{a} = Richtungsvektor \end{eqnarray*}$ , der in der Ebene verläuft
$\begin{eqnarray*} \vec{c}-\vec{a} = Richtungsvektor \end{eqnarray*}$ , der in der Ebene verläuft

Wenn das der richtige Ansatz ist, dann setze ich mich morgen mal da ran und versuche mich mal mit Hilfe von Zeichnungen und logischem Denken durchzukämpfen.

LG

22.10.2015, 22:09

moody_ds

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Das ist der richtige Ansatz, aber das hättest du nicht extra nochmal so schön abtippen müssen Tränen

Mach's dir morgen nicht zu kompliziert: Guck dir 2 Lichtstrahlen an.

22.10.2015, 23:24

AaronS

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Mit jedem Mal abtippen oder generell mit jedem benutzen von LaTeX verbessern sich aber die Fähigkeiten in der Hinsicht. Deswegen dachte ich, ist es nicht das schlimmste, wenn ich das mal mache Augenzwinkern

Super, den Tipp behalte ich mal im Hinterkopf!
LG Aaron

23.10.2015, 18:47

AaronS

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Ich habe nochmal kurz eine Verständnisfrage zu b.)
Geht es um die Ebene, die entsteht, wenn der Hubschrauber von
$\begin{eqnarray*} P_1= \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} P_2=\begin{pmatrix} 28 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ fliegt und dabei die Scheinwerferstrahlen die ganze Zeit auf die Turmspitze gerichtet sind?
Dann kann ich ja sagen:
$\begin{eqnarray*} a_{Turmspitze}=\begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} b_{Startpunkt}= \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} c_{Landeplatz}=\begin{pmatrix} 28 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Setze das in die von mir wunderbar abgetippte Formel
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \\ b_3-a_3 \end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} c_1-a_1 \\ c_2-a_2 \\ c_3-a_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
ein und bekomme den Vektor, der die Ebene in Parameterform darstellt.

Allerdings frage ich mich noch, wie ich $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ wähle?? verwirrt

lg aaron

23.10.2015, 19:01

moody_ds

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Zitat:

Original von AaronS
Allerdings frage ich mich noch, wie ich $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ wähle?? verwirrt

Wenn dafür einsetzt erhälst du doch nur einen Punkt. Du möchtest doch eine Ebene haben smile

23.10.2015, 19:18

AaronS

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Achso...

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix} +\lambda\begin{pmatrix} -4-10 \\ -2-2 \\ 8-4 \end{pmatrix}+\mu\begin{pmatrix} 28-10 \\ 14-2 \\ 0-4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das dann schon die Lösung?

23.10.2015, 19:22

moody_ds

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"ein und bekomme den Vektor, der die Ebene in Parameterform darstellt."

Als Nachtrag: Ein einzelner Vektor stellt die Ebene nicht in Parameterform dar Augenzwinkern

23.10.2015, 19:58

AaronS

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Hammer.. Ihr seid großartig. Dann gucke ich mal, ob ich c. auch so verstehe. Falls nicht, melde ich mich Augenzwinkern

schönes Wochenende

23.10.2015, 20:17

moody_ds

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Danke gleichfalls Wink

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