Komplexe Zahlen Lösungsmenge finden

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Drees Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Lösungsmenge finden
Hallo liebes Matheboard ich habe eine frage bei der ich leider nicht weiter komme.

Finden Sie alle Löosungen der Gleichung



und skizzieren Sie die Lösungsmenge in der Gaußschen Zahlenebene.


Normalerweise würde ich jetzt einfach ausmultiplizieren und die Z zusammenfassen und mit p/q oder polynomdivision die einzelnen Ergebnisse bestimmen aber mich wirft grad das aus der bahn. Wenn irgendwer einen Ansatz mir geben könnte wäre sehr nett smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Die sicherste Methode, wenn du noch nicht so sattelfest mit komplexen Zahlen bist:

Setze an, dann ist die dazu konjugiert komplexe Zahl gleich , dann beides einsetzen. Real- und Imaginärteil müssen dann beide Null sein, was das Bestimmungs-Gleichungssystem für ist.
Drees Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre das ganze dann muss ich das ganze nu ausmultipliezieren?

Sorry ich hab leider keinen schimmer wie ich da dann weiter kommen soll unglücklich

Willst du mir damit sagen das dort dann a=0 und b=0 oder wie soll ich das verstehen? Oder muss ich jetzt erst a und b durch umstellen bestimmen?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
...
Real- und Imaginärteil müssen dann beide Null sein, was das Bestimmungs-Gleichungssystem für ist.

Lies diesen Satz nochmals in Ruhe durch.
Nach dem Ausmultiplizieren entsteht eine komplexe Zahl mit einem Real- und einem Imaginärteil (fasse zusammen!), darin sind Terme in a und in b.
Durch das Nullsetzen des Real- und Imaginärteiles (NICHT a, b sind Null) entsteht dann das o.a. Gleichungssystem (quasi "Koeffizientenvergleich").

mY+
Drees Auf diesen Beitrag antworten »

Hm ich habe das ganze ausmultipliziert und bin da auf gekommen.
Die Imaginäre zahl hat sich beim ausmultiplizieren weg gekürzt.

Tut mir leid aber ich bin bei solchen aufgaben leider immer etwas langsam unglücklich

Ich sehe da einfach keinen Imaginär und Realteil.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das alles ist richtig.
Da die zweite Gleichung für a, b infolge der Reduktion lautet



liegt hier der Freiheitsgrad 1 vor, d.h. es gibt unendlich viele Lösungen*, weil es de facto nur eine signifikante Gleichung



gibt.

(*) Was angesichts der Aussage ".. skizziere die Lösungsmenge" auch zu erwarten war.

Tipp: Setze , berechne damit (ebenfalls in ), dann hast du bereits eine Parameterdarstellung der gesuchten Lösungsmenge ... (sie beinhaltet eine einparametrige Lösungsschar)
Geometrisch: Die Spitzen aller komplexen Zeiger der Lösungsmenge beschreiben in der komplexen Zahlenebene den Graphen der Ortskurve.

mY+
 
 
Drees Auf diesen Beitrag antworten »

Danke ersteinmal für deine Antworten.

Schule ist bei mir leider schon etwas her und ich muss jetzt momentan sehr daran arbeiten das alles zu verstehen bzw. nachzuholen was ich vergessen habe :S

Ich würde gerne noch 1-2 weitere fragen dazu stellen wenns ok ist smile

Warum nun kann ich sagen das ich b = 2t setzen kann? Wird da einfach substituiert ?

Tut mir leid wenn die frage bissel blöd ist aber ich möchte gerne verstehen was dahinter steckt smile

Ich muss eine lösungsschar also als unendliche Anzahl an Funktionen verstehen die anhand der Parameter sich verändern richtig?




Also wären meine beiden Geraden die den Raum aufspannen in dem sich meine Lösungsmenge befindet .
Also wäre die Lösungsmenge ?
Oder verstehe ich da etwas falsch tut mir leid ich mache heute zum ersten mal was mit Parameterdarstellung unglücklich
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

b = 2t wurde deswegen so gesetzt, um einen Bruch zu vermeiden, es wäre auch b = t oder b = 3t - 7 möglich gewesen, dazu besteht eben die Wahlfreiheit, um es möglichst übersichtlich zu machen.

Es geht letztendlich um die Lösungsmenge (a; b)
Der Parameter t ist ein Hilfsmittel, um a und b in diesem darzustellen, da es unendlich viele Lösungen gibt und a, b keine bestimmte Zahlen sind.

Natürlich kann der Zusammenhang zwischen a und b auch direkt hergestellt werden, es ist so, als würde der Parameter t eliminiert.
Damit ist

b = - (2/3)*a + 2

Dies stellt in der komplexen Zahlenebene die Gleichung einer Geraden dar, analog wie in einem x-y - Koordinatensystem die Gleichung y = -(2/3)x + 2

Die Darstellung
x = 0 + 2t
y = 3 - 3t

ist die Parameterdarstellung dieser Geraden mit dem Stützpunkt (0;3) und dem Richtungsvektor (2; -3)

Auf dieser Geraden liegen, wie schon gesagt, die Spitzen aller Zeiger der Lösungsmenge.
Die Lösungsmenge ist also als Schar komplexer Zeiger anzugeben, die von O ausgehen und in Punkten dieser Geraden enden.

mY+
Drees Auf diesen Beitrag antworten »

Puh ich bin mit den ganzen begriffen gerade ehrlich gesagt ziemlich überfordert :/

Ich versuche mal die sachen zu definieren smile
Eine Schar sind also mehrere Kurven die sich mit dem Parameter t unterscheiden richtig?

Zitat:
Die Lösungsmenge ist also als Schar komplexer Zeiger anzugeben, die von O ausgehen und in Punkten dieser Geraden enden.


Diesen Satz verstehe ich nicht genau.

Die Formel von hab ich mir jetzt nochmal angeschaut und verstanden.

Also muss die Gerade durch die beiden von dir genannten punkte gehen.

Müssten dann nicht die Lösungsmenge bei liegen oder gehen die zeiger auch in die negative richtung?

Ich habe also quasi alle winkel und längen aller komplexen zahlen die ihre spitze auf dieser geraden haben von 0 bis .

Ich weiß nun leider nicht wie das mit den Funktionsscharen funktioniert wie gesagt ich bin schon eine ganze weile aus der Schule raus traurig
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist einfacher als du denkst, quasi ja auch schon fertig.
Die Lösungsmenge ist die Menge aller , für die gilt: ...... (hier schreibe die Beziehung zwischen a, b)

Schreibe dies nun in Mengenschreibweise, geht das?
Und dann kommt noch die - dir bereits mehrmals genannte - geometrische Interpretation!
Zeichne in der komplexen Zahlenebene* die Gerade (ich habe nur einen Punkt angegeben, wo liegt ein zweiter?) und einige in Frage kommende aus der Lösungsmenge ein.

(*) Wie legt man die komplexe Zahlenebene fest?

mY+
Drees Auf diesen Beitrag antworten »

Da ja gesagt wurde das hier der Freiheitsgrat 1 vorliegt müsste ja ein zweiter punkt bestimmt werden können indem ich t verändere.
Ich nenne nun mal unseren zweiten Punkt für den gilt .
Also das müsste doch jetzt einen weiteren punkt auf meiner geraden ergeben oder nicht quasi einen weiteren Ortsvektor.

Da müsste dann skalar multipliziert und dann addieren für unseren zweiten Punkt raus kommen.

Ich musste mir erst klar machen wie Vektorrechnung funktioniert ich hatte bisher leider keine Ahnung aber das Thema ist echt interessant. Big Laugh

Mit komplexe Zahlenebene feslegen meinst du Im(z) und Re(z) also quasi wie ich da jetzt den real und imaginärteil festlege?


Unsere ortsvektoren wären somit die Komplexen zahlen also in meinem beispiel dann

Für a würde dann ja gelten und für b .

Also müsste Z dann sein.

Daraus folgt dann, dass unser Lösungsmenge . (Ich weiß leider nicht genau wie ich das jetzt in mengenschreibweise darstellen muss.

Ist mein Gedankengang denn nun schonmal richtig.

Und nochmal vielen vielen dank an Sie das sie sich die Zeit nehmen das mit mir durchzugehen.

Geometrisch kann ich ja einfach die nach a umgestellte Formel nehmen.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lösungsmenge ist nun für die Endpunkte der komplexen Zeiger richtig.
Die Lösungsmenge für alle komplexen Zahlen hast du zwar auch schon skizziert, aber korrekt lautet sie



Möglich wäre auch



wobei erstgenannte eleganter und übersichtlicher ist, weil man und sofort durch direktes Einsetzen von erhält.

[attach]39466[/attach]

Auf dieser Geraden liegen die Endpunkte aller von O ausgehenden Zeiger der Lösungsmenge.
-----------

Übrigens duzen wir uns hier im Forum, ich habe effektiv keine Probleme damit Big Laugh

mY+
Drees Auf diesen Beitrag antworten »

Super Big Laugh Ich freu mich grad richtig das ich das verstanden habe.
Mathe macht mir echt viel spaß nur leider merke ich das mir wie schon gesagt sehr viel schulwissen fehlt.

Ich denke mal von mir werden noch mehr fragen dieser Art kommen. smile

Liebe Grüße und einen schönen Sonntag dir smile

Drees
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