Abstand mittels Vektoren bestimmen

23.10.2015, 20:47

rosa4ka 2

Abstand mittels Vektoren bestimmen

Meine Frage:
Die Aufgabe habe ich im Anhang Reingestellt

Meine Ideen:
Hier wäre ich auf die Idee gekommen
Mit folgender Formel zu arbeiten :

$\begin{eqnarray*} cos(fi) = \frac{\vec{a}\cdot \vec{b} }{|\vec{a} | | \vec{b} | } \end{eqnarray*}$

23.10.2015, 20:53

moody_ds

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Würde ich auch so machen. Im ürbigen meinst du Phi und fi Augenzwinkern

Was kriegst du raus?

Und könnte ein Moderator verschieben? Sonstiges trifft hier ja nicht zu.

25.10.2015, 22:25

rosa4ka 2

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ehrlich gesagt da hier keine Vektoren angegeben sind, habe ich eine kleines Problem das durchzublicken und anzuwenden.
Ich habe so angefangen. das sieht aber irgendwie falsch aus..

25.10.2015, 23:35

moody_ds

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Okay, ich nehme einfach mal an dass dir bewusst ist dass es mehrere Möglichkeiten gibt die Punkte in ein Koordinatensystem zu zeichen. Das erlaubt uns uns auszusuchen wo P liegen soll.
Ein schicker Punkt P wäre doch zum Beispiel P(0|5).

Mit diesem Wissen stell doch mal deine Ortsvektoren auf. Und du hast noch den Zusammenhang mit dem Cosinus des Winkels. Daraus lassen sich Gleichungen aufstellen die du lösen können solltest.

edit: Ich weiß nicht ob euer Thema aktuell Vektorrechnung ist, aber anderer Weg der mir noch eingefallen ist, wäre über den Sinussatz zu gehen. Mit den gegeben Größen lassen sich alle Winkel berechnen und schlussendlich auch die gesuchte Strecke.

28.10.2015, 15:51

rosa4ka 2

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Ja unser Thema ist Vektorrechnung.

welche schritte muss ich denn dabei Tun ?

28.10.2015, 17:04

moody_ds

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Also wie gesagt, wir können uns P hinzeichnen wo wir wollen, da er ja nur den Abstand 5 vom Ursprung haben muss. Daher kann man auch sagen dass er auf einem Kreis mit dem Radius 5 liegt.

[attach]39538[/attach]

Aber damit wir es einfacher zu rechnen haben, legen wir ihn hier hin

[attach]39540[/attach]

Nun wissen wir, dass Q den Abstand 7 von P hat.

[attach]39541[/attach]

Um das geforderte Dreieck (Ursprung,P,Q) nun eindeutig zu bestimmen haben wir neben den beiden Längen von $\begin{eqnarray*} \vec{P} = \vec{0P} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{Q} = \vec{0Q} \end{eqnarray*}$ auch noch cos(\alpha) gegeben.

Du kannst daraus 3 Gleichungen aufstellen:

(I) $\begin{eqnarray*} |\vec{P}| = 5 \end{eqnarray*}$
(II) | $\begin{eqnarray*} \vec{Q-P}| = 7 \end{eqnarray*}$
(III) $\begin{eqnarray*} cos(\alpha) = \ldots \end{eqnarray*}$
Die Werte für $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ kennst du, und für $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ kannst du erstmal $\begin{eqnarray*} \vec{Q} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nehmen. $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sind mit den Gleichungen zu bestimmen.

28.10.2015, 21:42

rosa4ka2

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Ich habe mir versucht ein Überblick dafür zu verschaffen.
Und eine Gleichung aufzustellen.
Ist diese richtig ?

28.10.2015, 23:33

mYthos

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Was willst du mit diesen Gleichungen anfangen?
Es sind alles Identitäten, damit kommst du nicht weiter.
-----------------
Gehen wir vielleicht nochmals zum Anfang, zu der Skizze der Aufgabe 2.4
Daraus kann unmittelbar die Gleichung*

$\begin{eqnarray*} 5^2 + y^2 - 2 \cdot 5 \cdot y \cdot \frac 1 5 = 49 \end{eqnarray*}$

erstellt werden.
Die quadratische Gleichung liefert 2 Lösungen, deren positive ist der gesuchte Abstand y

---------------------------

(*) Warum dies so ist:
Zwischen der Länge des Differenzvektors $\begin{eqnarray*} \vec a - \vec b \end{eqnarray*}$ zweier Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec a, \ \vec b \end{eqnarray*}$ , deren Beträgen und dem Cosinus des Winkels ( $\begin{eqnarray*} \varphi = \text{Winkel }(\vec a, \vec b) \end{eqnarray*}$ besteht die Beziehung

$\begin{eqnarray*} (\vec a - \vec b)^2 = |\vec a|^2 + |\vec b|^2 - 2 |\vec a| |\vec b| \cos \varphi \end{eqnarray*}$

Dies folgt unmittelbar nach Quadrieren des Differenzvektors und aus der Definition des Skalarproduktes $\begin{eqnarray*} \vec a \cdot \vec b = |\vec a| |\vec b| \cos \varphi \end{eqnarray*}$
Und auch ein Analogon zum Cosinussatz ist für Insider sehr evident Big Laugh

.

mY+

29.10.2015, 00:20

moody_ds

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Zitat:

Original von mYthos
Was willst du mit diesen Gleichungen anfangen?
Es sind alles Identitäten, damit kommst du nicht weiter.

(II) -> $\begin{eqnarray*} |\begin{pmatrix} x-0 \\ y-5 \end{pmatrix}| = \sqrt{x^2+(y-5)^2} = 7 \end{eqnarray*}$
(III) -> $\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} = \frac{\vec{a} \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{5} = \frac{\vec{a} \vec{b}}{35} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 7 = 5y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7}{5} = y \end{eqnarray*}$

Und dann y einsetzen in (II).

Dann erhält man die Koordinaten von Q und kann mit |0Q| ebenfalls den gesuchten Abstand ermitteln.

Mag nicht der eleganteste Weg sein, aber führt auch zum Ziel Augenzwinkern

29.10.2015, 00:56

mYthos

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@moody, das wurde missverstanden!
Ich meinte die Gleichungen 1. 2. 3. in dem Scan von rosa

Ich fürchtete, dass sie wohl so nicht weiterkommt, daher habe ich den kürzeren vektoriellen Weg vorgeschlagen.

mY+

29.10.2015, 01:21

moody_ds

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Achso

rosas Beitrag ist bei mir irgendwie unter gegangen. Ich denk aber dass dein Weg auch am nächsten an der Aufgabe ist. Zumindest sehe ich da größeren Bezug zur Vektorrechnung.

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