Äquivalenzrelationen

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25.10.2015, 10:27	C.F.Gauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelationen Edit (mY+): Bitte keine Hilfeersuchen, sie sind unnötig und werden entfernt! Meine Frage: Hallo, ich brauche Hilfe bei der Überprüfung, ob es sich bei gegebenen Relationen auch um Äquivalenzrelationen handelt: (a) $\begin{eqnarray} M=\mathbb R \end{eqnarray}$ , a~b äquivalent zu $\begin{eqnarray} a^{2}-b^2=0 \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} M=Z \end{eqnarray}$ , a~b äquivalent zu $\begin{eqnarray} a+b=1 \end{eqnarray}$ (c) $\begin{eqnarray} M=Z \end{eqnarray}$ , R={(a,b) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ ZxZ / a,b $\begin{eqnarray} \leq 0 \end{eqnarray}$ (d) $\begin{eqnarray} M=N \end{eqnarray}$ , R={(a,b) $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ NxN / $\begin{eqnarray} \exists c\leq N: a+b<c \end{eqnarray}$ } Meine Ideen: (a) Ich wandle a^2-b^2 =0 in a^2=b^2 um. Reflexivität erfüllt, da a^2=a^2 Symmetrie erfüllt, da aus a^2 = b^2 auch b^2 = a^2 folgt Transitivität erfüllt, da aus a^2 = b^2 und b^2 = c^2 auch a^2 = c^2 folgt. Also eine Äquivalenzrelation. (b) Aus a+b=1 mache ich a=1-b. Reflexivität nicht erfüllt, da a nicht = 1-a ist Symmetrie erfüllt, da b=1-a Transitivität nicht erfüllt, da aus a= 1-b und b= 1-c nicht a= 1-c folgt. Also keine Äqiuvalenzrelation. Passen die beiden Teilaufgaben so oder muss man ausführlicher argumentieren? Bei c und d komm ich überhaupt nicht weiter. Bei c haben a und b doch irgendwie gar keine Beziehung zueinander, es sind doch beide jeweils für sich einfach kleiner/gleich Null...? Bei d gibt es drei Variablen, muss ich dann so machen:? a+b =b+a > c, also Symmetrie erfüllt? Und wie bei Reflexivität und Transitivität? Bitte um Hilfe! Danke!!!
25.10.2015, 11:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(a) ist in Ordnung. (b) nicht reflexiv, also keine Äquivalenzrelation. Den Rest kannst Du Du sparen. Eine Relation $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ist immer eine Teilmenge des cartesischen Produkts $\begin{eqnarray} M\times M \end{eqnarray}$ . Für $\begin{eqnarray} a, b\in M \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} a\sim b \end{eqnarray}$ gleichbedeutend mit $\begin{eqnarray} (a,b)\in R \end{eqnarray}$ . Damit kannst Du noch einmal über (c) und (d) nachdenken.
25.10.2015, 12:49	C.F.Gauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Ich weiß schon, dass bei (b) auch nur nicht reflexiv gereicht hätte, aber ich wollte zur Übung eben alles nochmal durchmachen. Dein Hinweis war mir schon bewusst, aber so richtig komme ich trotzdem nicht auf den richtigen Pfad... Bitte ein konkreter Hinweis!
25.10.2015, 13:27	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
2 konkrete Hinweise zu (c) reflexiv: $\begin{eqnarray} 1\cdot 1=1>0 \end{eqnarray}$ zu (d) $\begin{eqnarray} \forall a,b\in \mathbb N:a+b<a+b+1 \end{eqnarray}$
25.10.2015, 14:26	C.F.Gauss	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hab wirklich drüber nachgedacht, aber es hilft mir nicht weiter... wieso 11, ich dachte, a und b müssen kleiner/gleich null sein... Entschuldigung, meine Angabe war falsch, bei (d) müsste es a+b>c statt a+b<c heißen! Aber wieso nimmst du jetzt a+b+1? Was ist mit c? Das ist mir alles noch so unklar! Bitte helft mir! Ich will* das wirklich verstehen!
25.10.2015, 16:13	C.F.Gauss	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir da niemand auf die Sprünge helfen?
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25.10.2015, 18:28	C.F.Gauss	Auf diesen Beitrag antworten »
kennt sich damit wirklich keiner aus?
25.10.2015, 22:08	C.F.Gauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir jemand wenigstens einen Tipp geben, wie ich bei drei Variablen vorgehen soll?
26.10.2015, 11:41	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede Äquivalenzrelation $\begin{eqnarray} R\subset M\times M \end{eqnarray}$ ist reflexiv, symmetrisch und transitiv. Beachte insbesondere die Allquantoren bei der Definition dieser Eigenschaften. reflexiv: $\begin{eqnarray} \forall a\in M : (a,a) \in R \end{eqnarray}$ . (c) kannst Du drehen und wenden wie Du willst, wegen $\begin{eqnarray} 1>0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} (1,1) \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ . Die Reflexivität muss nicht nur für $\begin{eqnarray} (a,a)\in R \end{eqnarray}$ gelten, das gilt selbstverständlich. Vermutlich ist Dir noch nicht klar, dass die Reflexivität für alle $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ in der Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ gelten muss, nicht nur für eines, manche oder viele oder fast alle, sondern eben für alle, also in diesem Beispiel auch für $\begin{eqnarray} a=1\in M=\mathbb Z \end{eqnarray}$ . (d) wieso drehst Du jetzt das Zeichen in der Ungleichung um und dann noch einmal, so dass die ursprüngliche Definition wieder gilt ? Definiere $\begin{eqnarray} c:=a+b+1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} c:=a+b+4564 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} c:=2(a+b) \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} c:=(a+b)^3 \end{eqnarray}$ oder sonst ein $\begin{eqnarray} c\in \mathbb N \end{eqnarray}$ , das größer als $\begin{eqnarray} a+b \end{eqnarray}$ ist. Mit jeder derartigen Definition musst Du nur noch die drei Eigenschaften eine Äquivalenzrelation für alle $\begin{eqnarray} a, b\in \mathbb N \end{eqnarray}$ nachweisen. Es kann allerdings auch sein, dass ich Deine Definition falsch verstanden habe. Dafür kann ich nix, Du musst sauber schreiben, so wie sie dasteht, ist sie in jedem Falle falsch.
26.10.2015, 15:53	C.F.Gauss	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die Rückmeldung. das mit dem für alle a hatte ich tatsächlich so noch nicht verstanden, danke für die Aufklärung. Was ich noch nicht ganz verstehe, ist, warum du 1 und 1 multiplizierst. Bei der c) erkenne ich einfach die Beziehung noch nicht so recht. bei der d) hatte ich im ursprünglich Beitrag versehentlich < statt > geschrieben, darauf habe ich mit einem entsprechenden Beitrag hingewiesen. Aber ok, das mit a+b+1 kann man ja auch umgekehrt mit a+b-1 machen, oder? Trotzdem ist mir dann nicht klar, wie ich von a+b>a+b-1 aus Reflexivität, Symmetrie und Transitivität zeigt. Ich bin da einfach noch zu ungeübt, wäre toll, wenn jemand das als Beispiel man ausführlich vorrechnen könnte.
26.10.2015, 18:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(c) Es hilft vielleicht nichts, aber es schadet auch nichts, dass $\begin{eqnarray} (-1)\cdot (-1)=1\cdot 1=1 \end{eqnarray}$ ist. Wichtig hier ist $\begin{eqnarray} -1<0<1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} -1,1 \end{eqnarray}$ sind ganze Zahlen, also $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ nicht reflexiv. Man sieht durch die Multiplikation, dass für alle negativen ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (a,a)\in R \end{eqnarray}$ , für alle nichtnegativen ganzen Zahlen $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} (a,a)\notin R \end{eqnarray}$ . zu (d) Es ist immer noch unklar, wie die Relation definiert ist, denn die Menge heißt $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ und dann tritt in der Relation noch einmal $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ auf, nämlich in dem Ausdruck $\begin{eqnarray} \exists c\leq N \end{eqnarray}$ . Es ist sehr mysteriös, wie ein Element aus $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ kleiner gleich der Menge $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ sein soll. Wenn Du demnächst eine genaue Definition versuchst, dann schreibe bitte auch das Ungleichheitszeichen so, wie Du es nun endgültig wirklich haben möchtest.
26.10.2015, 19:32	C.F.Gauss	Auf diesen Beitrag antworten »
zu c) ach so, und um das zu zeigen, darf ich mir dann einfach eine Rechenart aussuchen...?? Oder warum Multiplikation. Weil das kartesische Produkt hat doch mit der normalen Multiplikation wenig zu tun, oder? zu d) Oh, tut mir leid, jetzt weiß ich, was du meinst! Der Schreibfehler ist, dass da statt $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ stehen müsste! Mit N ist die Menge der natürlichen Zahlen gemeint. Sorry dafür!!
26.10.2015, 19:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
(c) Um zu einer Lösung zu gelangen, muss man nachdenken, das ist erlaubt. Gelegentlich macht das Nachdenken kleine Umwege. Wenn Du den Beweis aufschreibst, darfst du ihn ändern, Du darfst insbesondere unnötige Multiplikationen ganzer Zahlen wegstreichen. Ganz unabhängig sind Rechenoperationen und kartesische Produkte nicht, denn $\begin{eqnarray} \cdot :\mathbb Z\times \mathbb Z\to \mathbb Z, (x,y)\to z \end{eqnarray}$ ist eine auf dem kartesischen Produkt definierte Funktion. (Auch diese Anmerkung musst Du nicht in Deinen Beweis aufnehmen.) (d) na also, dann ist doch alles klar - oder nicht ? Für je zwei natürliche Zahlen a und b sind fast alle natürlichen Zahlen c größer als die Summe a+b, endlich viele natürliche Zahlen d sind kleiner als die Summe a+b.
26.10.2015, 20:11	C.F.Gauss	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, meine Verwirrung nimmt eher zu... Ich glaub, es würde vielleicht am meisten bringen, wenn jemand die Teilaufgaben jeweils ausführlich vorrechnet und mir genau erklärt wie es geht, weil offenbar hab ich das Thema noch nicht so verstanden, dass man mich mit Hinweisen auf die richtige Fährte bringen kann...
27.10.2015, 13:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was habe ich falsch gemacht ? Mir ist alles klar, und Dir nicht ? Das muss anders werden, also jedenfalls der Teil, der Dich betrifft. (c) $\begin{eqnarray} R=\{(a,b)\in\mathbb Z\times \mathbb Z\|a,b\le 0\} \end{eqnarray}$ ist nicht reflexiv, weil $\begin{eqnarray} (1,1)\notin R \end{eqnarray}$ . Also ist $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ keine Äquivalenzrelation. (d) $\begin{eqnarray} R=\{(a,b)\in\mathbb N\times \mathbb N\|\exists c\in \mathbb N \; : \; a+b<c\} \end{eqnarray}$ ist eine Äquivalenzrelation. Beweis: $\begin{eqnarray} \forall (a,b)\in\mathbb N\times \mathbb N\exists c\in \mathbb N \; : \; a+b<c \end{eqnarray}$ , z.B. $\begin{eqnarray} c:=a+b+1\Rightarrow R=\mathbb N\times\mathbb N \end{eqnarray}$ . Also bilden alle natürlichen Zahlen eine Äquivalenzklasse, damit haben wir (trivial) eine Klassenzerlegung von $\begin{eqnarray} \mathbb N \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ist ein Äquivalenzrelation. q.e.d. Wenn Du den Zusammenhang zwischen Äquivalenzrelationen auf $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und Klasseneinteilungen von $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ noch nicht kennst, darfst Du die 3 Eigenschaften für $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ auch einzeln beweisen (ich garantiere, dass das langweilig sein wird).

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