Summanden aus einer Summe herausbekommen.

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johnasnils Auf diesen Beitrag antworten »
Summanden aus einer Summe herausbekommen.
Meine Frage:
Hallo ich sitze gerade vor einer Programmier-Knobelaufgabe und glaube einen Lösungsansatz gefunden zu haben, dafür müsste ich aber folgendes bestimmen können.

Gegeben ist der Ausdruck: 2+2+2+2+3+3+4.

Die Summe ist ja 18.
Nun soll ich aber den Ausdruck nicht kennen.
Ich würde gerne wissen, ob es eine Möglichkeit gibt die Summe so zu zerteilen, dass ich am Ende exakt wieder diese Summanden herausbekomme.
Modulorechnung ist erlaubt und die Zahlen liegen im Bereich der natürlichen Zahlen.

Würde mich sehr über eure Hilfe freuen (-:

Meine Ideen:
Das Problem ist, dass man die 18 in alle möglichen Summen zerteilen kann.

Deshalb habe ich mir überlegt, ob es nicht möglich ist, die Summanden noch spezifischer zu definieren, ohne ihre Konkreten Werte zu kennen um die Lösungsmenge weiter einzugrenzen. Ich dachte da an:

Wurzelaus(a²+a²+a²+a² + b²+b²+c²) = 18.

jz dürfte man ja 18 nicht in beliebige Zahlen zerteilen sondern nur in welche, bei denen die Summe der quadrate in der Wurzel 18 herauskommt.

Es darf im übrigen auch mit dem Modulooperator gerechnet werden, wenn es die Rechnungen irgendwie einfacher macht.
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summanden aus einer Summe herausbekommen.
Dieser Fragesteller ist zuletzt im Jahr 2015 "aktiv" gewesen und hat einen geeigneten Ansatz vermutlich schon gefunden. Bei einer (falls erlaubt) geänderten Anordnung der Summanden (2+2+3+4+3+2+2) denke ich an eine diskrete und symmetrische Dichteverteilung, womit ich sicherlich vom Thema abweichen würde, da der Fragesteller zweimal auf "Modulo" hinweist.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich beteilige mich mal ein wenig an den archäologischen Ausgrabungen: Verwunderlich ist, wie johnasnils von einer Summe erklärungslos übergeht zu , so als wäre das derselbe Term. Ist es natürlich nicht! Sein geht über in die eigenständige Diophantische Gleichung

.

Diese kann so gelöst werden: Zunächst mal konzentrieren wir uns auf nichtnegative Lösungen, denn mit sind auch die bis zu 8 Tripel offenkundig Lösungen. (*)

Modulo 2 folgt zunächst und somit . Wir setzen und bekommen eingesetzt und vereinfacht . Wiederum modulo 2 erhält man und somit . Wir setzen und gelangen so zu , umgestellt .

Solche Quadratsummen sind gut erforscht, u.a. weiß man dass genau dann Lösungen besitzt, wenn alle Primfaktoren von nur in gerader Potenz in der Primfaktorzerlegung von vorkommen. D.h., ein einziger Primfaktor in ungerader Potenz reicht aus, diese Gleichung unlösbar zu machen. Im Falle der Lösbarkeit ist demnach , wobei nur die Primfaktoren 2 sowie enthalten darf und nur Primfaktoren . Außerdem gilt dann für alle Lösungen und , so dass man im Grunde genommen die Gleichung betrachtet. Ist prim, so gibt es (bis auf die Reihenfolge) genau eine nichtnegative Lösung dieser Gleichung .

Gehen wir nun die möglichen Fälle für durch (ich nenne jeweils nur eine Lösung (a,e), das vertauschte Paar (e,a) ist dann automatisch auch Lösung):

bedeutet , also (s.o.) und , ergibt Lösung (9,0).

bedeutet , keine Lösung wegen .

bedeutet , ergibt Lösung (8,3).

bedeutet , keine Lösung wegen .

bedeutet , also und , ergibt Lösung (7,0).

bedeutet , keine Lösung wegen .

bedeutet , also und , ergibt Lösung (3,0).

Macht summa summarum und rückgerechnet auf (a,b,c) = (a,2d,2e) die 8 Lösungen (9,0,0), (0,0,18), (8,4,6), (3,4,16), (7,8,0), (0,8,14), (3,12,0), (0,12,6). Aus diesen 8 nichtnegativen Lösungstripeln werden durch (*) dann insgesamt 36 ganzzahlige Lösungen.
DrummerS Auf diesen Beitrag antworten »

Den Übergang zum Wurzel-Ausdruck habe ich auch nicht verstanden. Möglicherweise könnten die Summanden im ursprünglichen Ausdruck auch als Folge aufgefasst werden: . Die Summe der ersten n Glieder dieser Folge könnten dann berechnet werden mit:



Wenn n = 7 gesetzt wird, ergibt das 18.

EDIT: ..., wenn im rechten Ausdruck für k = n = 7 eingesetzt wird.
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