epsilon delta

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Mazze Auf diesen Beitrag antworten »
epsilon delta
Ich bin jetzt also zur Epsilon-delta-stetigkeit durchgedrungen

Zeigen Sie das nicht stetig in x = 0 ist. Über die Grenzwerte, also linkseitiger und rechtsseitiger hab ich es bereits gezeigt, nun also das Epsilon-delta-kriterium.

Ich muss ein so das für alle





gilt. Mein Problem ist das f(0) garnicht definiert ist, wie soll ich dann damit umgehen?
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte ist nach Definition 1.

Wäre es nicht definiert, so müsste man es für die Funktion aus der Definitionsmenge streichen. Die führt aber dazu, dass die Funktion stetig wird.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

ist nicht definiert. Denn wenn Du nichts keinmal multiplizierst wie soll da 1 rauskommen?

es gilt



Ich soll aber trotzdem zeigen das die Funktion im Nullpunkt nicht stetig ist verwirrt
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Mazze,
Stetigkeit in einem Punkt in dem die Funktion nicht definiert ist. Mazze Du verwirrst mich. Wie ist deine Funktion denn für negative x definiert?
gruß
mathemaduenn
Tobias Auf diesen Beitrag antworten »

An einer Definitionslücke muss man schauen, ob die Funktion an dieser stelle hebbar ist, als ob der linksseitige Grenzwert mit dem rechtsseitigen übereinstimmt.



Demnach wäre deine Funktion also stetig. Benutzt du , was zwar offensichtlich nicht konventionell definiert wurde, aber aus praktischen Gründen häufig so festgelegt wird, dann lässt sich die Unstetigkeit zeigen.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Mazze
ich hab grad erst vor zwei Tagen von Philipp-ER gehört, dass die allgemeine Definition von 0^0=1 ist. Übrigens ist der Einwand von mathemaduenn sehr berechtigt. Du kannst gar nicht beweisen, dass der linksseitige Grenzwert nicht gegen 0^0 geht, weil 1. 0^0 bei dir nicht definiert ist und 2. 0^x für negative x nicht definiert ist, deine Funktion ist also nur für positive x definiert!

Zitat:
Denn wenn Du nichts keinmal multiplizierst wie soll da 1 rauskommen?

Darum geht es nicht. Es geht darum, wie 0^0 definiert ist, da ist eine mögliche Erklärung unnötig. Außerdem: Wo geht aus der äquivalenten Erklärung hervor, dass a^0=1 ?? Denn wenn Du a keinmal multiplizierst wie soll da 1 rauskommen? Dass das 1 wird, dafür gibts auch keine richtige Erklärung dieser Art.
Ich kann dir ja auch mal das zitat von Philipp-ER geben, dass die Definition von 0^0=1 logisch macht:

Zitat:
Original von Philipp-ER
0^0 ist sehr häufig definiert als 1 und die, die behaupten, 0^0 sei undefiniert, bekommen spätestens, wenn sie sich mit Potenzreihen beschäftigen, Probleme, weil die die Gestalt haben und sich hier alle einig sind, dass diese auch für x=0 definiert sind (bzw es ist einfach nur unpraktisch, hier immer Fallunterscheidungen zu machen oder die Reihe gekünstelt als schreiben zu müssen). Es ist einfach nur sinnvoll, 0^0 als 1 zu definieren und es gibt keinen Grund dagegen bzw es als 0 oder sonstwas zu definieren. Bestimmt kennst du
und damit wäre ja dann sehr sinnvollerweise nicht definiert, was jedoch niemand mit Verstand behaupten würde.

Naja, jeder, der behauptet, 0^0 sei undefiniert, wird diese Meinung bei Potenzreihen ablegen und deshalb sehe ich keinen Grund, es nicht einfach überall als 1 zu definieren.


PS: Hast du deine Behauptung, 0^0 sei nicht definiert (eigentlich kann es ja jeder definieren, wie er will, aber du weißt hoffentlich, was ich mein) jetzt nur auf deine Erklärung gestützt oder auch auf andere öffentliche Quellen, die diese Definition ebenfalls benutzen?
 
 
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

tjo, die Aufgabe heißt expliziet

Zeige das 0^x für x >= 0 nicht stetig im Nullpunkt ist. Da ich davon ausging das 0^0 nicht definiert ist (soweit ich weiß hab ich die Aussage in einem anderen thread augegriffen) entstand ein Problem. Und wenn man jetzt 0^0 halt als 1 definiert dann ist das Problem gelößt.

Nun wie ich auf die behauptung komme den linksseitigen Grenzwert zu kennen bzw. nicht zu kennen.



Da offensichtlich der rechte Grenzwert existiert aber der linke nicht existiert sind sie auf keinen Fall gleich, weil wären sie gleich wäre der linksseitige Grenzwert existent. Wenn sie aber auf keinen Fall gleich sind ist die Funktion in dem Punkt schon garnicht erst stetig.
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Mazze.
Das ist keine korrekte/sinnvolle Definition der allgemeinen Stetigkeit.
Sie gilt nur, wenn x0 Häufungspunkt der Mengen

und

ist, wobei X den Definitionsbereich von f bezeichnet.
Das ist hier offensichtlich nicht der Fall (0 ist im Definitionsbereich nach links isoliert), also kannst du sie auch nicht anwenden.
Mit epsilon-delta ist ja aber alles klar.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

@Philipp
Das mit den isolierten Punkten hatten wir ja schonmal..., aber ich hab mal meinen Lehrer gefragt:
Der hat gesagt, bei einem isolierten Punkt gilt diese limes-Definition auch, da dann ab "irgendwann" die Folge konstant wird:



und da is limes auch =f(x_0). verwirrt
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Je nachdem, wie man den Grenzwert definiert, ja. (Hast du zufällig eure Definition des Grenzwertes einer Funktion parat? Würde mich interessieren.)
Es ging hier aber um etwas anderes:
Mit den einseiten Grenzwerten funktioniert es nämlich nicht immer, wie du an dem einfachen Beispiel
f:[0,1]->R
f(x)=0
siehst.
Es macht absolut keinen Sinn, von einem linksseitigen Grenzwert in 0 bzw einem rechtsseitigen in 1 von f zu sprechen, doch natürlich ist die Funktion trotzdem sowohl in 0 als auch in 1 stetig.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Philipp-ER
Hast du zufällig eure Definition des Grenzwertes einer Funktion parat? Würde mich interessieren.


Da sind wir noch nicht. Ich hab ihn das nur mal aus Interesse in ner Pause gefragt. Wir haben nur die Definition des Grenzwertes von Folgen bis jetzt. Aber in meinem Buch, wo auch steht,
, da steht vor der Definition des Grenzwertes einer Funktion auch noch extra: "x_0 sei ein Häufungspunkt von D". Das wäre ja dann "falsch" (widersprüchlich).

@mazze
Um mal zum eigentlichen Problem zurück zu kommen, mit der Definition von 0^0=1 müsste doch was mit epsilon-delta gehen?!
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Um mal zum eigentlichen Problem zurück zu kommen, mit der Definition von 0^0=1 müsste doch was mit epsilon-delta gehen?!


Wie ich sagte mit 0^0 = 1 ist die Aufgabe kein problem.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Wie ich sagte mit 0^0 = 1 ist die Aufgabe kein problem.

Stimmt, einfacher gehts ja nich :P
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Philipp-ER...
f:[0,1]->R
f(x)=0
siehst.
Es macht absolut keinen Sinn, von einem linksseitigen Grenzwert in 0 bzw einem rechtsseitigen in 1 von f zu sprechen, doch natürlich ist die Funktion trotzdem sowohl in 0 als auch in 1 stetig.
...


Sorry, aber das Problem seh ich nicht ??


Ich verstehe auch die Unterscheidungen zw. 'euerem Epsilon-Delta'
und dem Grenzwert nicht. Darüber ist der doch definiert, zumindest
in einer Variante ...

Mal abgesehen von hier und da etwas unterschiedlich möglichen
GW-Definitionen, sind diese beiden Dinge für mich äquivalent.


smile
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Poff.
Mazze hatte argumentiert, dass die Funktion 0^x in 0 nicht stetig sei, da der linksseitge Grenzwert nicht existiert und damit

natürlich keine wahre Aussage ist.
Ich hatte ihn nur darauf hingewiesen, dass er im Falle (einseitig) isolierter Punkte des Definitionsbereiches nicht auf die Definition über die einseitigen Grenzwerte zurückgreifen darf, da sie automatisch sinnlos wird, obwohl natürlich eine Funktion auch in einem (einseitig) isolierten Punkt ihres Definitionsbereiches stetig sein kann, wie ich durch mein Beispiel andeuten wollte.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Philipp-ER,

Mazze macht einige merkwürdige Spielchen bei den Grenzwerten . Augenzwinkern
die von dir angeführte 'Begründung von Ihm' war auch in meinen
Augen falsch.


Aber das mit dem isolierten Punkt will mir nicht in den Kopf

Weder die 0 noch die 1 sind bei [0,1] isolierte Punkte und auch
die Null bei 'Mazze's Prob' ist kein isolierter Punkt.


Wenn eine Funktion nur von einer Seite heran zu einem Punkt
definiert ist, dann kannst bestenfalls auch nur von 'halbseitiger
Stetigkeit' in dem Punkt sprechen weiteres macht doch keinen
Sinn, für mich jedenfalls nicht.


Augenzwinkern
Philipp-ER Auf diesen Beitrag antworten »

0 und 1 sind einseitig isolierte Punkte und bei denen funktioniert die Definition mit den einseitigen Grenzwerten offensichtlich nicht, das wollte ich sagen.
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

folgendes Problem



Die Nullstelle des polynoms liegt bei x = 1. Das heißt jenen Punkt müsste man aus dem Definitionsbereich herausnehmen. Stetig ist sie jedenfalls nicht mehr da der intuitive Stetigkeitsbegriff das "durchzeichnen" fordert. Linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert kann ich nicht bestimmen da f(1) nicht definiert ist. Und mit epsilon delta kann ich auch nicht annehmen. Also wie kann ich die Stelle genau untersuchen?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mazze
Linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert kann ich nicht bestimmen da f(1) nicht definiert ist.


Warum nicht? Dafür brauchst du den Funktionswert an der Stelle doch nicht. Du kannst untersuchen, ob sich die Funktion dort stetig fortsetzen lässt (falls links- und rechtsseitiger GW übereinstimmen und endich sind).

Gruß vom Ben
Mazze Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab dann in beiden Fällen als Grenzwert, kann man das als "endlich" bezeichnen? Den Begriff stetig fortsetzbar kannte ich auch noch nicht (bzw. schon wieder vergessen?).
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

unendlich kann man nicht als endlich bezeichnen, nein Augenzwinkern

Wenn du etwa als links- und rechtsseitigen Genzert 5 bekommen hättest, hättest du 5 als Funktionswert an der Stelle definieren können und hättest eine Funktion erhalten, die in dieser Stelle stetig ist und in allen anderen Punkten mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt.

Gruß vom Ben
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