Ungleichung direkt beweisen

26.10.2015, 18:11

MH15

Ungleichung direkt beweisen

Meine Frage:
Hallo alle zusammen ich habe folgende Aufgabe(siehe Bild). Ich weiß jetzt nicht genau ob ich die Bernoulische Ungleichung Benutzen muss und vor allem wie ich es benutzen kann.Ich habe es mal ohne versucht ich weiß aber nicht so ganz ob es richtig ist.

Meine Ideen:
Ich habe gerechnet
$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{(n+1)^{2} } \right)^{n+ 1} \geq 1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{(n+1)^{2} } \right)^{n}\cdot \left(1-\frac{1}{(n+1)^{2} } \right)^{1} \geq 1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ dann teile ich auf beiden seiten mit $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{(n+1)^{2} } \right)^{1} \end{eqnarray*}$
dann kommt ich mit Nebenrechnung auf:

$\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{(n+ 1)^{2} } \right)^{n} \geq - \frac{1}{n+ 1} \end{eqnarray*}$

26.10.2015, 18:18

IfindU

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RE: Analysis
Irgendwie hast du 2 positive Zahlen genommen, eine durch die andere geteilt und hast etwas negatives rausbekommen. Da wird also etwas nicht stimmen.

Und mit Bernoulli ist das ein Einzeiler.

26.10.2015, 19:00

MH15

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RE: Analysis
Danke erstmal für die schnelle Antwort. Freude

Das ist meine Nebenrechnung:
$\begin{eqnarray*} \frac{1-\frac{1}{n+1 } }{1-\frac{1}{(n+1)^{2} } } \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n+1}) \cdot (1-(n+1)^{2}) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)-1-(n+1)^3+(n+1)^2}{n+1} =\frac{(n+1)-1-(n+1)}{n+1}=\frac{-1}{n+1} \end{eqnarray*}$
Wo ist denn der Fehler verwirrt

26.10.2015, 19:02

IfindU

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RE: Analysis
$\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n+1}) \cdot (1-(n+1)^{2})=\frac{(n+1)-1-(n+1)^3+(n+1)^2}{n+1} \end{eqnarray*}$ ist falsch. Es ist $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n+1}) = \frac n { n+1} \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n+1}) \cdot (1-(n+1)^{2})=\frac n {n+1} (1-(n+1)^{2}) \end{eqnarray*}$ . Man erweitert nicht den zweiten Faktor noch einmal. Erweitern ist bei Addition angesagt, nicht beim multiplizieren.

Edit: Bin wohl müde: $\begin{eqnarray*} \frac 1 { 1 + \frac 1 b} \end{eqnarray*}$ ist sicherlich auch nicht $\begin{eqnarray*} 1+b \end{eqnarray*}$ .

26.10.2015, 20:14

MH15

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Ohh sorry hast recht, das war falsch aber auf dein Ergebnis komme ich trotzdem nicht.
Wie kommst du denn auf b? verwirrt

$\begin{eqnarray*} (\frac{n}{n+1})\cdot (1-(n+1)^2)= \left(\frac{n}{n+1} \right) \cdot (-n^{2}-2n)= \frac{-n^{3}-2n^2 }{n+1} \end{eqnarray*}$

26.10.2015, 21:08

IfindU

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Das b ist bei dir $\begin{eqnarray*} -\frac 1 {(n+1)^2} \end{eqnarray*}$ . Und die falsche Umformung führst du durch.

26.10.2015, 22:11

MH15

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Könntest du mir bitte nochmal erklären was ich falsch mache denn jetzt bin ich total verwirrt.

27.10.2015, 07:50

IfindU

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RE: Analysis
Dieser Schritt $\begin{eqnarray*} \frac{1-\frac{1}{n+1 } }{1-\frac{1}{(n+1)^{2} } } =(1-\frac{1}{n+1}) \cdot (1-(n+1)^{2}) \end{eqnarray*}$ ist falsch. Schließlich ist $\begin{eqnarray*} \frac 1 { a + b} = \frac 1 a + \frac 1 b \end{eqnarray*}$ im Allgemeinen falsch.

27.10.2015, 09:14

MH15

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RE: Analysis
Wie geht das denn sonst ? kannst du mir helfen bitte geschockt

27.10.2015, 09:27

MH15

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Wo habe ich denn, das gemacht: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a+b}=\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \end{eqnarray*}$ ?

Ich habe, $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{n+1} }:\frac{1}{1-\frac{1}{n+1^{2} } } \end{eqnarray*}$ dann habe ich mit dem kehrwert mal genommen.

Also kommt, da doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{n+1} }\cdot {1-(n+1)^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

27.10.2015, 09:40

IfindU

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{1}{n+1} }:\frac{1}{1-\frac{1}{(n+1)^{2} } } = \left( \frac{1}{1-\frac{1}{n+1} }\right) \cdot \left({1-\frac{1}{(n+1)^{2} } } \right) \end{eqnarray*}$
so ists korrekt.

@klarsoweit Ich war gerade einkaufen, bin gerade erst wieder gekommen Augenzwinkern

27.10.2015, 09:41

klarsoweit

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RE: Analysis

Zitat:

Original von MH15
Das ist meine Nebenrechnung:
$\begin{eqnarray*} \frac{1-\frac{1}{n+1 } }{1-\frac{1}{(n+1)^{2} } } \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n+1}) \cdot (1-(n+1)^{2}) \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)-1-(n+1)^3+(n+1)^2}{n+1} =\frac{(n+1)-1-(n+1)}{n+1}=\frac{-1}{n+1} \end{eqnarray*}$
Wo ist denn der Fehler verwirrt

So ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} \frac{1-\frac{1}{n+1 } }{1-\frac{1}{(n+1)^{2} } } = \frac{\frac{n}{n+1}}{\frac{n^2+2n}{(n+1)^2}} = \frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$

Aber ich frage mich, ob das irgendwas bringt. Wie IfindU schon sagte, kommt man mit der Bernoulli-Ungleichung sofort ans Ziel.

EDIT: ich dachte, IfindU war ausgeloggt. Bin dann wieder weg.

27.10.2015, 10:03

MH15

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RE: Analysis
Ja ich würde das gerne mit der Bernouli ungleichung machen wie geht das aber? Ich weiss das ich als vorraussetzung x>-1 brauche

27.10.2015, 10:09

IfindU

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RE: Analysis
Dann schreib die Ungleichung mal genau auf, mit allen Voraussetzungen. Dann überlege dir wie man die "freien" Parameter wie z.B. x zu wählen hat, damit es ähnlich zur Aufgabe aussieht.

27.10.2015, 10:24

MH15

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Es gilt ja für die Bernouli ungleichung das man x>-1 braucht und die gleichung ist ja ab -1 gültig sage ich mal aber wie suche ich das aus ? Was tausche ich mit der bernouli ungleischung aus das verstehe ich nicht ganz

27.10.2015, 10:38

klarsoweit

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Im Prinzip lautet doch die Bernoulli-Ungleichung so:

$\begin{eqnarray*} (1 + x)^{hugo} \geq 1 + hugo \cdot x \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleiche das mal mit $\begin{eqnarray*} \left(1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right)^{n+1} \end{eqnarray*}$ .

Was könnte das x sein und was das hugo?

27.10.2015, 18:33

MH15

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Also ich würde mal denken das x= 1/(n+1)^2 oder nur (n+1)^2 und Hugo wäre doch n+1?

28.10.2015, 08:50

klarsoweit

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Zitat:

Original von MH15
Also ich würde mal denken das x= 1/(n+1)^2

Nun ja, damit es paßt, mußt du das Vorzeichen noch mitnehmen. Also: $\begin{eqnarray*} x := \frac{-1}{(n+1)^2} \end{eqnarray*}$

Und damit gehst du nun in die Bernoulli-Ungleichung.

28.10.2015, 10:34

MH15

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heißt das jetzt das da steht $\begin{eqnarray*} 1 - (\frac{-1}{\left(n+1\right)^2 })^{n+1} \geq 1+ n+1 * \frac{-1}{\left(n+1\right)^2 } \end{eqnarray*}$
und was hilft mir das jetzt ? kann ich sagen das wenn die bernouli Gleichung gilt gilt es auch wenn ich das x ersetzte ? und muss ich dafür was überprüfen wenn ich die bernouli Gleichung benutzen möchte ?

28.10.2015, 10:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von MH15
heißt das jetzt das da steht $\begin{eqnarray*} 1 - (\frac{-1}{\left(n+1\right)^2 })^{n+1} \geq 1+ n+1 * \frac{-1}{\left(n+1\right)^2 } \end{eqnarray*}$

Immer schön Klammern setzen und bitte auch nicht Vorzeichen und Klammern verhuddeln.

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{-1}{(n+1)^2 } \right)^{n+1} \geq 1+ (n+1) \cdot \frac{-1}{\left(n+1\right)^2 } \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MH15
kann ich sagen das wenn die bernouli Gleichung gilt gilt es auch wenn ich das x ersetzte ?

Du kannst sagen, daß du die Bernoulli-Ungleichung mit x = ... anwendest.

Zitat:

Original von MH15
und muss ich dafür was überprüfen wenn ich die bernouli Gleichung benutzen möchte ?

Daß eben die Bedingung für das x, nämlich x > -1 erfüllt ist.

Zitat:

Original von MH15
und was hilft mir das jetzt ?

Jetzt noch ein kleiner Schritt (kürzen) und dann hast du den Beweis der Ungleichung fertig. Augenzwinkern

28.10.2015, 11:13

MH15

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wenn ich das kürze würde das hier raus kommen $\begin{eqnarray*} \left(1+ \frac{-1}{\left(n+1\right) } \right)^{n+1} \geq \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$ ich weiß nicht genau ob man links die (n+1)^2 mit der Potzenz (n+1) kürzen kann ?
Wie überprüfe ich denn ob man die bernouli Ungleichung nutzen kann? ich weiß das x>= -1 sein muss aber wie überprüfe ich das wie kann ich das aufschreiben ?

28.10.2015, 11:27

klarsoweit

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Ich weiß nicht, was du da rechnest. Wenn du auf der rechten Seite in
$\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{-1}{(n+1)^2 } \right)^{n+1} \geq 1+ (n+1) \cdot \frac{-1}{\left(n+1\right)^2 } \end{eqnarray*}$

kürzt, dann hast du $\begin{eqnarray*} \left(1 + \frac{-1}{(n+1)^2 } \right)^{n+1} \geq 1+ \frac{-1}{n+1} \end{eqnarray*}$ und das ist genau die Behauptung. (Ist das denn wirklich so schwer? verwirrt

)

Zitat:

Original von MH15
Wie überprüfe ich denn ob man die bernouli Ungleichung nutzen kann? ich weiß das x>= -1 sein muss aber wie überprüfe ich das wie kann ich das aufschreiben ?

Du mußt ja nur prüfen, daß $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(n+1)^2} > -1 \end{eqnarray*}$ ist. Das zu beweisen, sollte ja wohl machbar sein.

28.10.2015, 11:46

MH15

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Also ich habe an diesem Punkt einfach weiter gerechnet bzw einfach weiter gekürzt.
An diesem punkt sieht man das ? aber die linke Seite ist doch kleiner als die rechte da der bruch von der linken seite eindeutig größer ist als in der rechten (der nenner). Und es heßt doch umso größer der Nenner umso kleiner der Bruch oder kann man das einfach so sagen das das gilt wegen der bernouli gleichung ?

28.10.2015, 12:06

klarsoweit

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RE: Ungleichung direkt beweisen
Also ich weiß jetzt nicht so richtig, was du meinst bzw. wo dein Problem ist. Um welche Brüche geht es bei dir und welcher Bruch ist größer als was?

Wir können ja auch mal die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{(n+1)^{2} } \right)^{n+ 1} \geq 1-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ exemplarisch für ein Paar Werte rechnen.

n=1:
linke Seite: $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{(1+1)^2} \right)^{1+1} = (1 + \frac{-1}{4})^2 = \frac{9}{16} \end{eqnarray*}$

rechte Seite: $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{1+1} = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, ist die Ungleichung erfüllt.

n=2:
linke Seite: $\begin{eqnarray*} \left(1-\frac{1}{(2+1)^2} \right)^{2+1} = (1 + \frac{-1}{9})^3 = \frac{512}{729} \end{eqnarray*}$

rechte Seite: $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{2+1} = \frac 2 3 \end{eqnarray*}$

Wie man sieht, ist die Ungleichung erfüllt.

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Ungleichung direkt beweisen

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