Komplexe Gleichung x^6 + 64 = 0

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Approx Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Gleichung x^6 + 64 = 0
Hallo, es geht um folgende Gleichung:

x^6 + 64 = 0

Mein Ansatz war zunächst eine Substitution mit z=x^6
Nach der Resubstitution kommen die beiden komplexen Lösungen x1=-2i und x2=2i raus.

Ich habe meinen Tutor gefragt, ob die Lösungen richtig sind und ja, sie sind richtig. Aber neben diesen beiden Lösungen existieren noch 4 weitere Lösungen.

Da ich nicht weiter wusste, habe ich die Gleichung einfach mal in Wolframalpha eingegeben und es wurde mir eine alternative Gleichung rausgespuckt:

(x^2 + 4) * (x^4 - 4x^2 + 16) = 0

Ich habe jedoch keine Ahnung wie man drauf kommt.
Ich hoffe, jemand kann mir dabei weiterhelfen.

Danke im Voraus.
Günter67 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine komplexe Gleichung, deshalb besser z statt x:



Bei solchen Gleichungen macht man einen Ansatz in Polarkoordinaten:

sixty-four Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Gleichung x^6 + 64 = 0
Da du schon zwei Lösungen gefunden hast, kannst du dein Ausgangspolynom durch dividieren, dann bekommst du das Restpolynom 4. Grades. Das ist eine biquadratische Gleichung, die du durch Substitution lösen kannst.

Im Allgemeinen ist es aber besser, die Polarform

der komplexen Zahl zu verwenden.
Approx Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Polarform erst mal außen vor gelassen und es versucht wie sixty-four es gesagt hat.
Und statt x benutze ich ab jetzt z.

Zwei Lösungen habe ich schon mal:






Das daraus resultierende Polynom heißt dann:




Division des Ausgangspolynoms:










Substitution durch:








Resubstitution:










Habe ich alles richtig gemacht?

P.S.: Habe mich mal in Latex geübt. Dauert zwar alles ein wenig länger, aber sieht deutlich besser aus Wink
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Approx





Selbst wenn ich mal die mittlere Zeile mit den im Zähler als Tippfehler verbuche, meinst du also ? geschockt

Unsinn! Die Polynomdivision richtig durchgeführt ergibt sich das, was bei dir im Eröffnungsbeitrag doch schon mal richtig stand, nämlich .

Das könnte man übrigens reell weiter zerlegen unter Nutzung diverser binomischer Formeln:



und daran die noch fehlenden zwei Paare konjugiert komplexer Nullstellen direkt ablesen.


P.S.: Zumindest im LaTeX gibt es Fortschritte.
Approx Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ja das war ein Tippfehler. Soll natürlich und nicht heißen!

Aber dann verstehe ich nicht, wie du auf deine Gleichung kommst. Und eine Polynomdivision habe ich auch nicht angewendet bzw. sehe keine.. verwirrt

Tut mir leid, ich glaube, ich brauche noch ein wenig Hilfe.
 
 
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Approx
Aber dann verstehe ich nicht, wie du auf deine Gleichung kommst.

Welche Gleichung meinst du denn?

Zitat:
Original von Approx
Polynomdivision habe ich auch nicht angewendet bzw. sehe keine.. verwirrt

Die Division (z^6 + 64) / (z² + 4) nennt man auch Polynomdivision. smile

Hier gibt es auch einen Workshop: [WS] Polynomdivision
Approx Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Welche Gleichung meinst du denn?


Ich meine diese Gleichung von HAL 9000:




Weil ich habe nämlich folgende Gleichung bei der Division raus:



klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Approx
Weil ich habe nämlich folgende Gleichung bei der Division raus:



Auf der linken Seite hast du letztlich den Bruch . Und das kannst du nun mittels der Polynomdivision umformen in . smile
Approx Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, so ist das gemeint. Alles klar danke!

Ich habe jetzt die Polynomdivision mal selbst durchgeführt und komme auf das gleiche Ergebnis.
Jedoch verstehe ich folgende Umformung nicht von HAL 9000:

Zitat:
Original von HAL 9000
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die (hoffentlich) allseits bekannte und beliebte 3. binomische Formel. Augenzwinkern
Approx Auf diesen Beitrag antworten »

Auf der rechten Seite der Gleichgung habe ich die 3. Binomiche Formel erkannt.
Ich meine aber die Umformung von links nach rechts.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn wir die 3.binomische Formel für die Werte und verwenden, kommt genau das raus, was ich geschrieben habe.

EDIT: Ok, zunächst mal wäre das unter Beibehaltung der Termreihenfolge , aber die geringfügige Umgruppierung in den Termen rechts sollte doch erkennbar sein.
Approx Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, ich hab's jetzt verstanden.
Das war auch meine letzte Frage.
Vielen vielen Dank an alle! Freude
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