Direkter Beweis abschätzung zwischen harmonische und geometrische Mittel

27.10.2015, 08:32

Mimi11

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Direkter Beweis abschätzung zwischen harmonische und geometrische Mittel

Meine Frage:
Hi, ich habe hier eine Aufgabe mit der ich Probleme habe.
Es seien x und y zwei positive reelle Zahlen. Beweisen Sie bitte direkt die Abschätzung zwischen harmonischem und geometrischen Mittel:
$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y} }\leq \sqrt{x\cdot y} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Kann mir jemand Helfen und mir vielleicht ein Ansatz geben. Ich hab Probleme mit dem Abschätzen. unglücklich

unglücklich

27.10.2015, 08:42

klarsoweit

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RE: Direkter Beweis abschätzung zwischen harmonische und geometrische Mittel
Erweitere den Bruch mit x*y . Dann schau zu, daß du den Nenner wegbekommst.

27.10.2015, 09:25

Mimi11

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RE: Direkter Beweis abschätzung zwischen harmonische und geometrische Mittel
Also wenn ich den Bruch erweitere kommt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\left(x*y\right) }{x*y} \end{eqnarray*}$
somit würde nur die 2 übrig bleiben da x und y sich weg kürzen lassen
also 2<= $\begin{eqnarray*} \sqrt{x*y} \end{eqnarray*}$

27.10.2015, 09:44

klarsoweit

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RE: Direkter Beweis abschätzung zwischen harmonische und geometrische Mittel

Zitat:

Original von Mimi11
Also wenn ich den Bruch erweitere kommt:

$\begin{eqnarray*} \frac{2\left(x*y\right) }{x*y} \end{eqnarray*}$

Hää? Wie hast du das gerechnet? verwirrt

verwirrt

27.10.2015, 09:59

Mimi11

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Wenn ich den bruch erweitere nehme ich unten und oben mal. Ich erweitere mit (x*y) im zähler steht also 2*(x*y)
Also kommt dahin 2xy. Im nenner nehme ich 1/x *xy und 1/y *xy das ergibt xy* xy oder nicht

27.10.2015, 10:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mimi11
Im nenner nehme ich 1/x *xy und 1/y *xy das ergibt xy* xy oder nicht

Da solltest du dir das Distributivgesetz nochmal genauer ansehen. Lehrer

Lehrer

Vielleicht war mein Tipp nicht so gut und ich hätte eher sagen sollen, daß du 1/x + 1/y zu einem Bruch zusammenfassen sollst. Nun ja, such dir aus, was du rechnen willst. smile

smile

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27.10.2015, 10:17

MH15

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Es könnte sein das ich was falsch gerechnet habe ich bin im Bus smile

smile

könnte ich das auch mit der bernouli ungleichung lösen ? Wenn ich den bruch zusammen fasse was habe ich dann davon? Kann ich dann sehen das die abschätzung gilt ?

27.10.2015, 10:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von MH15
könnte ich das auch mit der bernouli ungleichung lösen ?

Nein.

Zitat:

Original von MH15
Wenn ich den bruch zusammen fasse was habe ich dann davon? Kann ich dann sehen das die abschätzung gilt ?

Gemach, gemach. Man muß das Ganze so umbauen, daß man auf eine Ungleichung kommt, an der man direkt ablesen kann, daß diese gilt. Letztlich wird auch die 2. binomische Formel eine Rolle spielen.

27.10.2015, 10:28

Mimi11

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Warum kann ich das nicht mit der bernouli ungleichung lösen ? Ja aber genau das weiss ich nicht wann ich das rauslesen kann?

27.10.2015, 10:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mimi11
Warum kann ich das nicht mit der bernouli ungleichung lösen ?

Wenn du einen Weg kennst, gerne. Ich kenne keinen. smile

smile

Zitat:

Original von Mimi11
Ja aber genau das weiss ich nicht wann ich das rauslesen kann?

Eins nach dem anderen. Nun mach doch mal die Umformungen, die ich gepostet habe.

27.10.2015, 10:48

Mimi11

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Also ich habe das jetzt gemacht kriege aber das hier raus und weiß nicht wie mir das weiterhilft verwirrt

verwirrt

2/x+y/x*y<= wurzel x*y

27.10.2015, 10:51

klarsoweit

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Mir scheint, es gelingt dir immer noch nicht $\begin{eqnarray*} (\frac 1 x + \frac 1 y) \cdot xy \end{eqnarray*}$ fehlerfrei auszurechnen. geschockt

geschockt

27.10.2015, 10:55

Mimi11

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Ich habe den bruch unten zusammengefasst ich weiss echt nicht warum das falsch ist.

27.10.2015, 11:05

klarsoweit

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Ich habe nicht gesagt, daß es falsch ist. Aber um

Zitat:

Original von Mimi11
2/x+y/x*y

als $\begin{eqnarray*} \frac{2}{\frac{x+y}{xy}} \end{eqnarray*}$ anzusehen, braucht man schon eine Portion Phantasie. Nun denn. Jetzt nimm die Regel "durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert".

Dividiere anschließend die ganze Ungleichung durch $\begin{eqnarray*} \sqrt{xy} \end{eqnarray*}$ .

27.10.2015, 11:13

Mimi11

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Also ich habe eine menge phantasie Big Laugh

Big Laugh

also habe ich dann diesen bruch 2*xy/x+y
Aber warum muss ich die ganze ungleichung durch wurzel x*y dividieren ?

27.10.2015, 11:27

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mimi11
Also ich habe eine menge phantasie Big Laugh

Big Laugh

also habe ich dann diesen bruch 2*xy/x+y

Wenn schon kein Latex, dann bitte Klammern: 2*xy/(x+y)

Zitat:

Original von Mimi11
Aber warum muss ich die ganze ungleichung durch wurzel x*y dividieren ?

Weil es hilft. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Im Anschluß multiplizierst du die Ungleichung mit (x+y).

@Kun: leider war dein Beitrag eine Komplettlösung. Dies entspricht nicht den Boardregeln und daher habe ich ihn als Spam entfernt.

27.10.2015, 11:31

Mimi11

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Wie siehst du aber das das hilft ? Sieht man das dann das die abschätzung gilt?

27.10.2015, 11:40

klarsoweit

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Das ist halt eine Ungleichung, für die man eine gewisse Erfahrung benötigt. Generell ist die Idee, den Bruch zu vereinfachen und alles auf eine Seite zu bringen. Wenn man zum erstenmal mit so einer Ungleichung konfrontiert wird, muß man auch mal etwas rumprobieren und je nach persönlichem Geschick wird man einen Tag oder länger brauchen. Diese Zeit willst du dir natürlich sparen. Deshalb vertraue mir. Alles wird gut. Augenzwinkern

Augenzwinkern

27.10.2015, 18:28

Mimi11

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Also ich habe es jetzt gerechnet und komme nur bis hier hin und weiß nicht was das mir bringt
verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \frac{2xy}{x+y} \cdot \frac{1}{\sqrt{x\cdot y} } \leq 1= \frac{2xy}{(x+y)\cdot \sqrt{xy} } \leq 1 \end{eqnarray*}$ jetzt Multipliziere ich mit (x+y)
$\begin{eqnarray*} \frac{(2xy)(x+y)}{(x+y)\cdot \sqrt{xy} } \leq x+y= \frac{2xy}{\sqrt{xy} } \leq x+y \end{eqnarray*}$

28.10.2015, 08:46

klarsoweit

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Zitat:

Original von Mimi11
$\begin{eqnarray*} \frac{(2xy)(x+y)}{(x+y)\cdot \sqrt{xy} } \leq x+y= \frac{2xy}{\sqrt{xy} } \leq x+y \end{eqnarray*}$

Möglicherweise meinst du $\begin{eqnarray*} \frac{(2xy)(x+y)}{(x+y)\cdot \sqrt{xy} } \leq x+y \Leftrightarrow \frac{2xy}{\sqrt{xy} } \leq x+y \end{eqnarray*}$

Jetzt erinnern wir uns an die Wurzelrechnung: $\begin{eqnarray*} \frac{2xy}{\sqrt{xy} } \leq x+y \Leftrightarrow 2\sqrt{xy} \leq x+y \end{eqnarray*}$

Noch eine kleine Umformung führt zu: $\begin{eqnarray*} x - 2\sqrt{xy} + y \geq 0 \end{eqnarray*}$

Und nun kommt die 2. binomische Formel ins Spiel. Ich hoffe, du kennst diese noch. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2015, 10:19

Mimi11

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Ja das wäre doch dann $\begin{eqnarray*} (x-y)^{2}\geq 0 \end{eqnarray*}$ . stimmt das? smile

smile

28.10.2015, 10:55

klarsoweit

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Das mit der binomischen Formel mußt du nochmal üben. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} (\sqrt x - \sqrt y)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

28.10.2015, 11:16

Mimi11

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Achso vielen vielen dank smile

smile

und da etwas ^2 immer etwas Positives ist bzw >=0 heißt das das es gilt oder ? Big Laugh

Big Laugh

28.10.2015, 11:21

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Genau. Allerdings macht man den eigentlichen Beweis so, daß man mit der wahren Aussage $\begin{eqnarray*} (\sqrt x - \sqrt y)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ anfängt und dann daraus die Behauptung folgert. smile

smile

28.10.2015, 11:25

Mimi11

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Achso also sind wir immer noch nicht fertig mit der aufgabe böse

böse

ich soll also Beweisen das es gilt ? aber ich kann es doch schon sehen wie soll ich das beweisen ?

28.10.2015, 11:35

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Nun ja, das ist jetzt eher eine Geschmacksfrage, wie man einen guten für den Leser verständlichen Beweis aufzieht. Da wir ausschließlich Äquivalenzumformungen gemacht haben und am Ende auf eine wahre Aussage gekommen sind, wäre der Beweis prinzipiell fertig. Aber du hast dich ja auch am Anfang gefragt, warum macht der bloß diese Umformungen. Von daher bevorzuge ich einen Beweis, bei dem man von einer wahren Aussage die zu beweisende Behauptung schlußfolgert.

In diesem Fall nimmst du also die Ungleichung $\begin{eqnarray*} (\sqrt x - \sqrt y)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ und machst alle Umformungsschritte rückwärts. Sauber aufschreiben mußt du es ja eh. Dann kannst du auch mit dem Ende anfangen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.10.2015, 11:50

Mimi11

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ach okay so ist das also einfach mal als Übung und ich muss dann wieder auf den Anfang kommen das ist ja mal cool Big Laugh

Big Laugh

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